1、浙江省湖州市安吉县2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一选择题（共8小题，每小题5分）.1如果复数是纯虚数，那么实数m等于（）A1B0C0或1D0或12某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如表所示：编号身高编号身高编号身高117361691116821797177121753175817513172417391741416951701018215176那么这组数据的第80百分位数是（）A175B176C176.5D1703在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，AB的中点，则异面直线EF和C1D所成角的大小是（）ABCD4在ABC中，A9
2、0，则k的值是（）A5B5CD5从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：至少有1个白球与至少有1个黄球；至少有1个黄球与都是黄球；恰有1个白球与恰有1个黄球；至少有1个黄球与都是白球其中互斥而不对立的事件共有（）A0组B1组C2组D3组6已知向量不共线，若，则m（）A12B9C6D37设a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对应边的边长，若a1，b，A30是B60的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8在三棱锥PABC中，已知PA平面ABC，ABAC，AB1，AC5，则三棱锥PABC的外接球的体积为（）A24
3、B36C72D144二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9给出如下数据：第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18则这两组数据的（）A平均数相等B中位数相等C极差相等D方差相等10下列对各事件发生的概率判断正确的是（）A某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从
4、每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为D设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是11正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点则（）A直线D1D与直线AF垂直B直线A1G与平面AEF平行C平面AEF截正方体所得的截面面积为D点A1和点D到平面AEF的距离相等12在ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，且BC6，AD2，则（）AABC面积最大值是12BC不可能是5D三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面
5、积为 14若直线m与不重合的平面、所成的角相等为，则与 15如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15，山脚A处的俯角为45，已知BAC60，则山的高度BC m16已知单位向量，满足，记，则对任意R，的最小值是 四解答题（共6小题）17如图，在四棱锥PABCD中，O是AD边的中点，PO底面ABCD，PO1在底面ABCD中，BCAD，CDAD，BCCD1，AD2（）求证：AB平面POC；（）求二面角BAPD的余弦值18在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有
6、赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分现有甲乙两队进行排球比赛：（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权设两队打了x（x4）个球后甲赢得整场比赛，求x的取值
7、及相应的概率P（x）19统计局就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在1000，1500）元（1）求月收入在3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在2500，3000）的应抽取多少？20在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（bcsinA）sinCc（1cosAcosC）（）求B的值；（）在SABC，A，a2c这三个条件中任选
8、一个，补充在下列问题中，并解决问题若b3，_，求ABC的周长21已知向量（1，2），（2，1），+（t+1），+（1）写出平面向量基本原理的内容，并由此说明能否成为一组基底；（2）若对于任意非0实数t，与均不共线，求实数k的取值范围22如图，三棱柱ABCA1B1C1所有的棱长为2，M是棱BC的中点（）求证：A1M平面ABC；（）在线段B1C是否存在一点P，使直线BP与平面A1BC所成角的正弦值为？若存在，求出CP的值；若不存在，请说明理由参考答案一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1如果复数是纯虚数，那么实数m等于（）A1B0C0或1D0或1解：是纯虚数，解得m0或1故选：D2某校高一
9、年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如表所示：编号身高编号身高编号身高117361691116821797177121753175817513172417391741416951701018215176那么这组数据的第80百分位数是（）A175B176C176.5D170解：这15个数据按照从小到大排列，可得168，169，170，172，173，173，174，175，175，175，176，177，179，182，因为80%1512，所以第80百分位数是第12项与第13项数据的平均数，即为故选：C3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，AB的中点，则异面直线EF
10、和C1D所成角的大小是（）ABCD解：在正方体中连接A1B，CD1，且CD1C1DO，E，F分别是棱AA1，AB的中点，EFA1B，又ABCD1，EFCD1，COD即为异面直线EF和C1D所成角的平面角，平面CDD1C1为正方形，COD异面直线EF和C1D所成角的大小故选：D4在ABC中，A90，则k的值是（）A5B5CD解：ABC中，A90，2（2k）+320，求得k5，故选：A5从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：至少有1个白球与至少有1个黄球；至少有1个黄球与都是黄球；恰有1个白球与恰有1个黄球；至少有1个黄球与都是白球其中互斥而不对立
11、的事件共有（）A0组B1组C2组D3组解：对于，“至少有1个白球”发生时，“至少有1个黄球”也会发生，比如恰好一个白球和一个黄球，故中的两个事件不互斥对于，“至少有1个黄球”说明有黄球，黄球的个数可能是1或2，而“都是黄球”说明黄球的个数是2，故这两个事件不是互斥事件恰有1个白球与恰有1个黄球，这两件事是同一件事，都表示取出的两个球中，一个是白球，另一个是黄球是同一事件故不是互斥事件至少有1个黄球说明有黄球，黄球的个数可能是1或2，而“都是白球”说明白球的个数是2，故这两个事件是互斥事件且是对立事件；故选：A6已知向量不共线，若，则m（）A12B9C6D3解：向量不共线，3+m+（m+2），解
12、得1，m3故选：D7设a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对应边的边长，若a1，b，A30是B60的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：由正弦定理可知 sinBb0B180B60或120若a1，b，A30则B60或120B60能推出A30故选：B8在三棱锥PABC中，已知PA平面ABC，ABAC，AB1，AC5，则三棱锥PABC的外接球的体积为（）A24B36C72D144解：如图，PA平面ABC，AB平面ABC，PAAB，同理：PAAC，又ABAC，该三棱锥是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的体对角线就是该长方体外接球的直径，
13、又长方体的体对角线为：，外接球的直径2R6，R3，球的体积V36，故选：B二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9给出如下数据：第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18则这两组数据的（）A平均数相等B中位数相等C极差相等D方差相等解：对于A，第一组数据的平均数为，第二组数据的平均数为，所以两组数据的平均数不相等，故选项A错误；对于B，第一组数据的中位数是7，第二组数据的中位数是16，所以两组数据的中位数不相等，故选项B错误；对于C，第一组数据的极差为13211，第二组数据的极差为221111，所以两组数据的极差相等，故选项
14、C正确；对于D，第一组数据的方差为（3）2+（11）2+（5）2+（13）2+（7）2+（2）2+（6）2+（8）2+（9）24.112+3.892+2.112+5.892+0.112+5.112+1.112+0.892+1.892，第二组数据的方差为（12）2+（20）2+（14）2+（22）2+（16）2+（11）2+（15）2+（17）2+（18）24.112+3.892+2.112+5.892+0.112+5.112+1.112+0.892+1.892，所以两组数据的方差相等故选：CD10下列对各事件发生的概率判断正确的是（）A某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯
15、是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为D设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是解：对于A，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的情况是：前2个路口都遇到绿灯，第3个路口遇到红灯，其概率为P，故A正确；对于B，此密码被破译的对立事件是三个人同时没有破译密码，此密码被破译的概率为P
16、1（1）（1）（1），故B错误；对于C，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为：P，故C正确；对于D，由题意得，解得P（A）P（B），故D错误故选：AC11正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点则（）A直线D1D与直线AF垂直B直线A1G与平面AEF平行C平面AEF截正方体所得的截面面积为D点A1和点D到平面AEF的距离相等解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），E（1，2，0），F（0，2，1），D（0，0，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），G（2，2，1），对于A，（0，0，2
17、），（2，2，1），20，直线D1D与直线AF不垂直，故A错误；对于B，（0，2，1），（1，2，0），（2，2，1），设平面AEF的法向量（x，y，z），则，取y1，得（2，1，2），0，A1G平面AEF，直线A1G与平面AEF平行，故B正确；对于C，连接AD1，FD1，E，F分别是BC，CC1的中点，面AEF截正方体所得的截面为梯形AEFD1，面AEF截正方体所得的截面面积为：S，故C正确；对于D，由B知平面AEF的法向量（2，1，2），点A1到平面AEF的距离h，点D到平面AEF的距离d，点A1和点D到平面AEF的距离相等，故D正确故选：BCD12在ABC中，D，E分别是BC，AC的中点
18、，且BC6，AD2，则（）AABC面积最大值是12BC不可能是5D解：设ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于A，当ADBC时不等式等号成立，所以ABC面积最大值为6，故A错误；对于B，在ABD中，当时，不等式等号成立，故B正确；对于C，因为，所以，解得，因为，所以，故可能是5，故C错误；对于，所以，又，所以故选：BD三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为解：如图所示，正三角形绕AB旋转一周，所得的几何体为两个同底的圆锥，圆锥的底面半径为rOC，所以几何体的表面积为S2故答案为：14若直线m
19、与不重合的平面、所成的角相等为，则与平行或相交解：直线m与不重合的平面、所成的角相等为，有可能是两个平面平行，也有可能两个平面相交，故答案为：平行或相交15如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15，山脚A处的俯角为45，已知BAC60，则山的高度BC600m解：如图在RtAMD中，由|MD|400，DAM45，得|AM|MD|400，在AMC中，AMC45+1560，MAC180456075ACM180607545由正弦定理得，解得|AC|400在RtABC中，|BC|AC|sin60400600（m）故山的高度|BC|600m故答案为：60016已知单位向量，满足，记，
20、则对任意R，的最小值是解：设，建立如图所示的直角坐标系，则A（1，0），B（0，1），C在单位圆上运动，取E（0，），P（，0），直线AE的方程为x+y0，AEO，已知，设（1），则，作DHy轴于点H，则|（1）|2|，又|2+|+2|2|（）|2|2|，|+|，因此，2（|+|）+2|2（|+|），作点P关于直线AE的对称点P，设P（x0，y0），则，解得，连接PD，则|+|+|x0|，于是，2（|+|），当D（，），对应，且C为DP于单位圆O的交点时取得最小值，最小值为故答案为：四解答题（共6小题）17如图，在四棱锥PABCD中，O是AD边的中点，PO底面ABCD，PO1在底面ABCD中，
21、BCAD，CDAD，BCCD1，AD2（）求证：AB平面POC；（）求二面角BAPD的余弦值【解答】（）证明：在四边形ABCD中，因为BCAD，O是AD的中点，则BCAO，BCAO，所以四边形ABCO是平行四边形，所以ABOC，又因为AB平面POC，CO平面POC，所以AB平面POC；（）连结OB，因为PO平面ABCD，所以POOB，POOD，又因为点O时AD的中点，且，所以BCOD，因为BCAD，CDAD，BCCD，所以四边形OBCD是正方形，所以BOAD，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），所以，设平面BA
22、P的法向量为，则，即，令y1，则xz1，故，因为OB平面PAD，所以是平面PAD的一个法向量，所以，由图可知，二面角BAPD为锐角，所以二面角BAPD的余弦值为18在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分现有甲乙两队进行排球比赛：（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，
23、乙赢一局接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权设两队打了x（x4）个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率P（x）解：（1）依题意，甲队将以3：1或3：2的比分赢得比赛若甲队以3：1的比分赢得比赛，则第4局甲赢，若甲队以3：2的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢故甲队最后赢得整场比赛的概率为（2）依题意，每次发球，发球队得分的概率为，接发球方得分的概率为甲接下来可
24、以以16：14或17：15赢得比赛，故x取值为2或4若甲乙比分为16：14，则x取值为2，其赢球顺序为“甲甲”，对应发球顺序为“甲甲”，若甲乙比分为17：15，则x取值为4，其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”，对应发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”，19统计局就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在1000，1500）元（1）求月收入在3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽
25、样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在2500，3000）的应抽取多少？解：（1）月收入在3000，3500的频率为：0.0003（35003000）0.15；（2）频率分布直方图知，中位数在2000，2500），设中位数为x，则0.0002500+0.0004500+0.0005（x2000）0.5，解得x2400，根据频率分布直方图估计样本数据的中位数为2400；（3）居民月收入在2500，3000的频率为0.0005（30002500）0.25，所以10000人中月收入在2500，3000的人数为0.25100002500（人），再从10000人用分层抽样方法抽出100人，则月收入在
26、2500，3000的这段应抽取10025人20在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（bcsinA）sinCc（1cosAcosC）（）求B的值；（）在SABC，A，a2c这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题若b3，_，求ABC的周长解：（）因为（bcsinA）sinCc（1cosAcosC），可得bsinC+ccos（A+C）c0，即sinC（sinBcosB）sinC，因为C（0，），sinC0，所以sinBcosB2sin（B）1，即sin（B），因为0B，B，所以B，可得B（）若选择条件，因为SABCacsin，所以ac9，由余弦定理可得cos，所以a2+c
27、218，可得（a+c）236，又a+c0，解得a+c6，因此ABC的周长为a+b+c9若选择条件A，在ABC中，由正弦定理可得2，所以a2sin，c2sin（），所以ABC的周长为a+b+c+3+若选择条件a2c，由余弦定理可得cos，所以4c2+c292c2，即c23，解得c，a2，因此ABC的周长为a+b+c3+321已知向量（1，2），（2，1），+（t+1），+（1）写出平面向量基本原理的内容，并由此说明能否成为一组基底；（2）若对于任意非0实数t，与均不共线，求实数k的取值范围解：（1）平面向量基本定理的内容：如果、是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数
28、1、2，使1+2因为向量（1，2），（2，1），所以不共线，所以可以成为一组基底；（2）假设，则由对应系数成比例可得0，即t2+t+k0，向量x，y不共线，则对任意非0实数t都无解，所以k（t2+t），而函数（t2+t）（t+），当t时，（t2+t）的最大值为，所以，即实数k的取值范围为（）22如图，三棱柱ABCA1B1C1所有的棱长为2，M是棱BC的中点（）求证：A1M平面ABC；（）在线段B1C是否存在一点P，使直线BP与平面A1BC所成角的正弦值为？若存在，求出CP的值；若不存在，请说明理由解：（1）证明：连接AM，BC2，M是BC中点，A1MBC，A1M1又，A1MAM，AMBCM，AM，BC平面ABC，A1A平面ABC（2）由（1）知MA，MB，MA1两两垂直，以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，MA1为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（，1，1），（，2，1），假设（），（0，1），（），取平面A1BC的法向量（1，0，0），直线BP与平面A1BC所成角为，直线BP与平面A1BC所成角的正弦值为，sin，整理得8218+90，由（0，1），解得CP
