1、专题跟踪训练(六)1(2015安徽卷)已知函数f(x)(a0，r0)(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若400，求f(x)在(0，)内的极值解(1)由题意知xr，所求的定义域为(，r)(r，)f(x)，f (x)，所以当xr时， f (x)0，当rx0，因此， f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，); f(x)的单调递增区间为(r，r)(2)由(1)的解答可知f (r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减因此，xr是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，)内的极大值为f(r)100.2(2015济南模拟)设函数f(x)xax2bln x，曲线yf
2、(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)2x2.解(1)f (x)12ax.由已知条件得即解得(2)证明：因为f(x)的定义域为(0，)，由(1)知f(x)xx23ln x.设g(x)f(x)(2x2)2xx23ln x，则g(x)12x.当0x0，当x1时，g(x)0时，g(x)0，即f(x)2x2.3(2015东北三校联考)设函数f(x)xaln x(aR)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴垂直，求函数f(x)的极值；(2)当a4时，若不等式f(x)1在区间1,4上有解，求实数a的取值范围解函数f(x)的定义域为(0，)(
3、1)f(x)1，所以f(1)5a，故曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率等于5a.由题意可得5a0，解得a5.此时，f(x).由f(x)0解得x1或4.f(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x(0,1)1(1,4)4(4，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的极大值为f(1)15ln 13，极小值为f(4)45ln 4310ln 2.(2)由不等式f(x)1在区间1,4上有解可知，f(x)在区间1,4上的最大值不小于1.由(1)知f(x)，对于方程x2ax40，(a)2414a216，当a4,4时，0，故f(x)0恒成立，f(x)在1,4上单调
4、递增，故f(x)在1,4上的最大值为f(4)4aln 432aln 2，故由f(4)1，得32aln 21，解得a.又a4,4，所以a.当a0，f(x)0的两根为x1，x2.此时x10，x20，故f(x)在1,4上单调递增，故知，a，又a4，故a0时， f(x)2aaln .解(1)f(x)的定义域为(0，), f (x)2e2x(x0)当a0时， f (x)0, f (x)没有零点；当a0时，因为ye2x单调递增，y单调递增，所以f (x)在(0，)上单调递增，又f (a)0，当b满足0b且b时，f (b)0时， f (x)存在唯一零点(2)证明：由(1)，可设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0，当x(0，x0)时， f (x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时， f(x)取得最小值，最小值为f(x0)由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln 2aaln .故当a0时， f(x)2aaln .
