1、3定积分的简单应用3.1平面图形的面积1.在下面所给图形中阴影部分的面积S及相应的表达式中,正确的有()A.B.C.D.解析:应是S=dx,应是S=dx-(2x-8)dx,和正确.故选D.答案:D2.由曲线y=x2与直线x+y=2所围成的图形的面积为()A.B.4C.D.5解析:由得交点坐标为(-2,4)和(1,1).则所求图形的面积为S=(2-x)dx-x2dx=x3+6-3=.答案:C3.由y=sin x及y=-sin x在区间0,上所围成的图形的面积为()A.2B.C.2D.4解析:所围成图形的面积为S=sin x-(-sin x)dx=2sin xdx=2(-cos x)=2(-cos
2、 +cos 0)=4.答案:D4.由曲线y=x2+2x,直线x=-1,x=1及x轴所围成的图形的面积为()A.B.2C.D.解析:S=(-x2-2x)dx+(x2+2x)dx=2.答案:B5.若两条曲线y=x2与y=cx3(c0)围成的图形的面积是,则c等于()A.B.C.1D.解析:由得x=0或x=.0xcx3,曲线围成的图形的面积S=(x2-cx3)dx=.c3=.c=.答案:B6.由抛物线y=x2-x,直线x=-1及x轴围成的图形的面积为()A.B.1C.D.解析:所求的面积S=(x2-x)dx+(x-x2)dx=1.答案:B7.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x,y),则点M取自
3、阴影部分的概率为.解析:3x2dx=x3=1,即阴影部分的面积为1.因为长方形区域的面积为3,所以所求概率为.答案:8.由两条曲线y=x2,y=x2与直线y=1围成的平面区域的面积是.解析:如图,y=1与y=x2交于点A(1,1),C(-1,1);y=1与y=交于点B(2,1),D(-2,1).由对称性可知所求面积S=2.答案:9.求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积.解如图,所求面积S=A1+A2,解方程组得交点坐标为(2,2),(8,-4).A1部分:由y=,y=-,x=2,x=0围成,所以A1=-(-)dx=2dx=2.A2部分:由y=4-x,y=-,x=2和x=8围成
4、,所以A2=4-x-(-)dx=.故S=18.10.设点P在曲线y=x2上,且从原点向点A(2,4)移动,如果直线OP,曲线y=x2及直线x=2所围成的两部分图形的面积分别记为S1,S2.(1)当S1=S2时,求点P的坐标;(2)当S1+S2有最小值时,求点P的坐标和最小值.解(1)设点P的横坐标为t(0t2),则点P的坐标为(t,t2),直线OP的方程为y=tx.S1=(tx-x2)dx=t3,S2=(x2-tx)dx=-2t+t3.因为S1=S2,所以t=,点P的坐标为.(2)由(1)知S=S1+S2=t3+-2t+t3=t3-2t+,S=t2-2.令S=0,得t2-2=0.因为0t2,所以t=.当0t时,S0;当t0,所以当t=时,S有最小值,此时点P的坐标为(,2).
