1、20192020学年度第二学期期中考试高一数学试题（B）本试卷共4页 满分150分注意事项：1答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上2第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号答案写在试卷上无效3第卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效4填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤第卷（选择题 共
2、60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知i虚数单位，则复数（ ）A. -1B. iC. D. 1【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘除运算即可求解.【详解】.故选：A【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了基本运算求解能力，属于基础题.2.直线a在平面外，则 ()A. aB. a与至少有一个公共点C. aAD. a与至多有一个公共点【答案】D【解析】直线在平面外，包括两种情况，一种是平行，另一种相交，故选D3.已知正方形ABCD的边长为1，则为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】利用向量模的求
3、法以及向量的数量积即可求解.【详解】由正方形ABCD的边长为1，可得，即所以，故选：B【点睛】本题考查了向量模的求法，向量的数量积，考查了基本运算求解能力，属于基础题.4.已知，i是虚数单位，若，则a的值为（ ）A. 1或-1B. 1C. -1D. 4【答案】A【解析】【分析】直接计算，然后解方程可得【详解】由题意，解得故选：A【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题5.化简后等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量运算律运算，向量的加法即可.【详解】故选：C【点睛】本题考查了向量的加法以及向量运算律，属于容易题.6.一船向正北方向航行,看见正
4、西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西60方向上,另一灯塔在船的南偏西75方向上,则这艘船的速度是 ( )A. 5海里/时B. 海里/时C. 10海里/时D. 海里/时【答案】C【解析】【分析】在中，计算得到， ，在计算得到，得到答案.【详解】如图依题意有,从而,在中,求得,这艘船的速度是 (海里/时)【点睛】本题考查了三角函数的应用，属于简单题.7.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的底面积是侧面积的（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设底面半径为，得出等边圆锥的母线长，计算其底面积和侧面积后可得【详解】
5、设底面半径为，则等边圆锥的母线长为，底，侧，所以故选：C【点睛】本题考查圆锥的侧面积，考查等边圆锥的概念，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题关键8.如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“乐”所对的面是（ ）A. 1B. 7C. 0D. 2【答案】A【解析】【分析】根据正方体的展开图，找出三组对面即可解题.【详解】由已知中的正方体表面展开图可得：和对面，和快对面，和乐对面，故选：A【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，熟悉表面展开图是解题的关键，属于基础题.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，选对但不全的得3分，
6、有选错的得0分9.在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据向量的三角形法则、四边形法则，逐一分析选项即可.【详解】对于A：在四边形ABCD中，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误.故选：ABD.【点睛】本题考查向量的线性运算，需牢记向量的三角形法则与四边形法则，属基础题.10.已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）A. 若则B. 若则C. 若，则D. 若，则【答案】ACD【解析】【分析】由线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、线面平行的性质定理，以
7、长方体为载体逐一分析即可得出结论【详解】解：若，则且使得，又，则，由线面垂直的判定定理得，故A对；若，如图，设，平面为平面，设平面为平面，则，故B错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；若，则，又，则，故D对；故选：ACD【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理、面面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理，通常借助长方体为载体进行判断，属于基础题11.若为钝角三角形，且，则边C的长度可以为（ ）A. 2B. 3C. D. 4【答案】AD【解析】【分析】由条件，又，所以在中为钝角的可能为角或角,所以，或，解得答案.【详解】由三角形的边长能构成三角形，则有，又，所以在中为钝角的可能为角或角.则或所
8、以或，解得：或所以选项A、D满足.故选：AD【点睛】本题考查余弦定理的应用，做题时要注意钝角这个条件，钝角可能的情况，属于中档题.12.已知正方体,过对角线作平面交棱于点,交棱于点,下列正确的是（ ）A. 平面分正方体所得两部分的体积相等；B. 四边形一定是平行四边形；C. 平面与平面不可能垂直；D. 四边形的面积有最大值.【答案】ABD【解析】分析】由正方体的对称性可知,平面分正方体所得两部分的体积相等;依题意可证,故四边形一定是平行四边形;当为棱中点时,平面,平面平面;当与重合,当与重合时的面积有最大值.【详解】解: 对于A：由正方体对称性可知,平面分正方体所得两部分的体积相等,故A正确;
9、对于B：因为平面,平面平面,平面平面,.同理可证：,故四边形一定是平行四边形,故B正确;对于C：当为棱中点时,平面,又因为平面,所以平面平面,故C不正确;对于D：当与重合,当与重合时的面积有最大值,故D正确.故选:ABD【点睛】本题考查正方体的截面的性质, 解题关键是由截面表示出相应的量与相应的关系,考查空间想象力.第卷（非选择题 共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.在中，若，则_【答案】【解析】【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】在中，由正弦定理：可得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，需熟记定理内容，属于基础题.14.在复平面内，若zm2（1
10、+i）m（4+i）6i（i为虚数单位）所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围为_.【答案】(3,4)【解析】【分析】把给出的复数整理为a+bi（a，bR）的形式，然后由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求得实数m的取值范围详解】解：zm2（1+i）m（4+i）6i（m24m）+（m2m6）i，且z所对应的点在第二象限，解得3m4实数m的取值范围为（3，4）故选B【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了不等式组的解法，是基础题15.已知向量，满足，且，则与的夹角为_【答案】【解析】【分析】将两边平方，求得向量与的夹角的余弦值，再求得向量与的夹角【详解】平面向量与满足，若，设向量与的
11、夹角为，则有，即，即，求得，又，得.故答案为：【点睛】本题考查了向量的模，向量数量积的定义，将两边平方是关键，属于基础题16.如下图1，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如下图2，这时水面恰好为中截面，则水的体积为_，图1中容器内水面的高度是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】图2中水所占部分为四棱柱，由棱柱体积公式可得，同理在图1中由三棱柱体积公式可计算出高【详解】在图2中，水所占部分为四棱柱四棱柱底面积为，高为，体积为，设图1中水高度为，则，解得故答案为：；【点睛】本题考查棱柱的体积，掌握棱柱体积公式是解题基础本题考查了学生的
12、空间想象能力，运算求解能力四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（1）计算；（2）在复数范围内解关于x的方程：【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用复数的乘除运算即可求解.（2）利用配方以及复数的四则运算即可求解.【详解】解：（1）；（2）由，配方得，即，所以【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了运算求解能力，属于基础题.18.已知向量，（1）若，求向量的坐标；（2）若，求向量的坐标【答案】（1），或；（2），或【解析】【分析】（1）设，由条件可列出方程，解出方程组即可得到答案.（2）设,由条件可列出方程,解出方程组即可得到答案.【详解】
13、（1）解：设，因为，所以，又，所以，解得或即，或；（2）设，因为，所以，又，所以，解得或即，或【点睛】本题考查根据向量的模长、向量平行和垂直建立关于向量坐标的方程，求解向量的坐标，考查运算能力，属于基础题.19.如图，在三棱锥中，底面ABCM，N分别为PB，PC的中点（1）求证：平面ABC；（2）求证：平面平面PAC；（3）若，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由题意可得，再利用线面平行的判定定理即可证出.（2）由线面垂直的性质定理可得，再由，利用线面垂直的判定定理可得平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可证出.（3）利用等体法：【详解】证
14、明：（1）M，N分别为PB，PC的中点，所以，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC；（2）底面ABC，平面ABC，所以，因为，所以，又，所以平面PAC，平面ABC，所以平面平面PAC；（3）由（2）知，平面PAC，所以平面PAC，在三角形PAC中，所以【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、等体法求三棱锥的体积，考查了考生的推理能力，需熟记锥体的体积公式，属于基础题.20.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角A的大小；（2）若，求c的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理可得，从而得；（2）由两角和的正弦公式
15、和诱导公式求得，再由正弦定理可得【详解】解：（1）由正弦定理可得，由余弦定理得，因为，所以；（2）由（1）可知，因为，B为的内角，所以，故，由正弦定理得【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，解题关键是用正弦定理进行边角转换21.如图所示，在正方体（1）求AC与所成角的大小；（2）若E，F分别为AB，AD的中点，求EF与平面所成角的正切值【答案】（1）60；（2）.【解析】【分析】（1）由是正方体，可得从而与AC所成的角就是AC与所成的角，根据三角形的几何性质即可求解.（2）连接BD，所以，所以EF与平面所成角即等于BD与平面所成角，即角即为所求，根据边长关系，即可求得正切值.【详解】解：（1）如
16、图所示，连接，由是正方体， 易知，从而与AC所成的角就是AC与所成的角，即与AC所成的角为60（2）连接BD，在正方体中，E，F分别为AB，AD的中点，所以EF与平面所成角即等于BD与平面所成角，设BD与AC交于点O，连接，因为，且，所以平面，所以平面平面，所以即为BO在平面的射影所在的线段；即为BO与平面所成的角，设该正方体边长为2，得，所以EF与平面所成角的正切值为【点睛】本题考查空间中异面直线所成的角、线面角的求法，解题的关键在于通过平移找到线线角、线面角，并根据几何性质求解，属中档题.22.如图，在平面四边形ABCD中，（1）若，求BC的长；（2）若，求；求【答案】（1）；（2）；.【解析】【分析】（1）由余弦定理求出，再用公式求得面积；（2） 设，在中用正弦定理表示出，然后在中把用表示后，再由正弦定理得的等式，从而可求出.，再利用两角和的正弦公式展开，计算可得.【详解】解：（1）在中，由余弦定理得，即，解得；（2）设，在中，由正弦定理得，即，(i)在中，由正弦定理得，即，(ii)(i)(ii)两式相除，得，即，整理得，又因为，所以，即，所以，所以【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，同角三角函数的基本关系式，两角和的正弦公式，着重考查正、余弦定理在几何图形中的计算，属于中档题.
