1、河南省南阳市第一中学校2021届高三数学上学期第四次月考试题 理一选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1设集合，则（ ）ABCD2已知：“函数在上是增函数”，：“”，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3设为等差数列的前项和，则（ ）A-6B-4C-2D24平面向量,则向量在向量方向上的投影为（ ）AB1CD5如果满足，的有两个，那么x的取值范围为（ ）AB CD6已知当时，取得最大值，则下列说法正确的是（ ）A是图像的一条对称轴B在上单调递增C当时，取得最小值D函数为奇函数7已知为定义在上的奇函数，且对任意的，当时，则不等式的解集为
2、ABCD8已知正方形的边长为，以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点，则的最大值是（ ）ABCD9高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域是（ ）ABCD10已知数列的通项公式是，其中 的部分图像如图所示，为数列的前n项和，则的值为（ ）A1 B0 C D11已知函数定义域为，且函数的图象关于直线对称当时，（其中是的导函数），若，则，的大小关系是（ ）ABCD12已知函数，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有（ ）函数
3、是周期函数； 函数既有最大值又有最小值；函数的定义域为，且其图象有对称轴；对于任意的，（是函数的导函数）ABCD二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知实数满足约束条件，则的最大值是_.14已知函数为奇函数，则实数a的值为_.15已知，等差数列的前项和为，且，则的值为_.16在四边形中，则四边形的对角线的最大值为_.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、推理和演算步骤.）17已知函数，且.（1）求函数的最小正周期；（2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的范围.18在中，角所对的边分别为，且.（1）求角； （2）若是的中点，且，求的周长.19记
4、是正项数列的前项和，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.20已知数列的前项和为，若，（）求证：数列是等差数列； （）求数列的前项和21已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.22已知函数，.（1）求的单调区间；（2）当时，证明：；（3）证明：.（参考数据：自然对数的底数）南阳市一中2020年秋期高三第四次月考理数试题答案1B 2B 3A 4A 5C 6B 7C 8D 9A 10D 11D 12A13 14 15 1617（1）依题意得，故函数的最小正周期为.（2）由函数在区间上有两个不同的零点，则方程在区间上有两个相异的实根，令
5、，则的图象与直线在区间上有两个交点，由，可得，令，得，因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，且，画出在区间上的图象，如下图，当，即时，的图象与直线在区间上有两个不同交点.故实数的取值范围是.18（1）由题意，因为，可得.所以，即，因为，所以，所以.（2）因为为的中点，所以在中，因为，所以.在中，因为，所以.因为，所以，即，即 在中，由余弦定理可得，即联立，解得.故的周长为.19（1）因为是和的等比中项，所以，当时，由得：，化简得，即或者（舍去），故，数列为等差数列，因为，解得，所以数列是首项为、公差为的等差数列，通项公式：.（2） ，.20解：（）证明：由题意得，
6、又，数列是以1为首项，1为公差的等差数列（）由（）可得，则， 则，得，21（1）函数的定义域为，令，得. 当时，；当时，.所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）若恒成立，即恒成立时，即，即，设，则，当时，则当时，函数在上单调递增，此时，即成立，所以，符合题意；当时，则当时，函数在区间上单调递减，则，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.22（1）解：函数的定义域为，又，当时，当时，的单调减区间为，单调增区间为；（2）证明：要证明，即证明.设，故，当时，故在递增.故，在递增，故恒成立，故当时，即有；（3）证明：（，）.即证明，由（1）可知在单调递增，故对于恒成立，而依据第（2）问，当时，故时，故又，即，故，（，）.
