1、第2讲导数在研究函数中的应用最新考纲1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.会用导数解决实际问题知 识 梳 理1函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则：(1)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f(x)0.()(2)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件()(3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值
2、点的充要条件()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()解析(1)函数f(x)在(a，b)上单调递增，则在(a，b)上有f(x)0，故(1)错(2)f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，(2)错(3)如f(x)x3，当x0时，f(x)0，而函数f(x)在R上为增函数，所以x0不是极值点，故(3)错答案(1)(2)(3)(4)2.(教材改编)函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在区间(a，b)内极小值点的个数为()A1 B2 C3 D4解析导函数f(x)的图像与x轴的交点中，左侧图像在x轴下方，右侧图像
3、在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点答案A3(2017郑州调研)函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1 C1，) D(0，)解析函数yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y0，则可得00，函数f(x)单调递增，当x(2,2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增故f(x)在x2处取得极小值，a2.答案D5(2014全国卷改编)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是_解析依题意得f(x)k0在(1，)上恒成立，即k在(1，)上恒成立，x1，01时，g(x)0.(1)解由题意得f(x)2ax(x0)当a0时，f(x)
4、0时，由f(x)0有x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增(2)证明令s(x)ex1x，则s(x)ex11.当x1时，s(x)0，所以ex1x，从而g(x)0.规律方法用导数讨论(证明)函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求f(x)；(2)确认f(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f(x)0时为增函数；f(x)0时为减函数【训练1】 设f(x)ex(ax2x1)(a0)，试讨论f(x)的单调性解f(x)ex(ax2x1)ex(2ax1)exax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)aex(x2)当a时，f(x)ex(x2)20恒成立，函数f(x)在R上单调递增；当0a时，
5、有2，令f(x)aex(x2)0，有x2或x，令f(x)aex(x2)0，有x2，函数f(x)在和(2，)上单调递增，在上单调递减；当a时，有2，令f(x)aex(x2)0时，有x或x2，令f(x)aex(x2)0时，有2x，函数f(x)在(，2)和上单调递增；在上单调递减.考点二求函数的单调区间(易错警示)【例2】 (2015重庆卷改编)已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，求函数g(x)的单调减区间解(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以f0，即3a20，解得a.(2)由(1)得g(x)ex故g
6、(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0，得x(x1)(x4)0.解之得1x0或x0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f(x)0)则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.但1(0，)，舍去当x(0,5)时，f(x)0.f(x)的增区间为(5，)，减区间为(0,5)考点三已知函数的单调性求参数(易错警示)【例3】 (2017西安模拟)已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围解(1)h(x)ln xax22x，x0.h(x)
7、ax2.若函数h(x)在(0，)上存在单调减区间，则当x0时，ax2有解设G(x)，所以只要aG(x)min.(*)又G(x)21，所以G(x)min1.所以a1.即实数a的取值范围是(1，)(2)由h(x)在1,4上单调递减，当x1,4时，h(x)ax20恒成立，(*)则a恒成立，所以aG(x)max.又G(x)21，x1,4因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a.当a时，h(x)x2，x1,4，h(x)0，当且仅当x4时等号成立(*)h(x)在1,4上为减函数故实数a的取值范围是.易错警示(1)特称命题理解不清，不能将第(1)问转化为ax20有解，难以得到不等式(*)错
8、求a的取值范围(2)错误理解“f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解”导致在第(2)问中(*)处易错求h(x)0时，令3x2a0，得x0，f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件4可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1函数f(x)xln x的单调递减区间为()A(0,1) B(0，
9、)C(1，) D(，0)(1，)解析函数的定义域是(0，)，且f(x)1，令f(x)0，解得0xf(c)f(d)Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(e)f(d)解析依题意得，当x(，c)时，f(x)0，因此，函数f(x)在(，c)上是增函数，由abf(b)f(a)答案C4若函数f(x)2x33mx26x在区间(2，)上为增函数，则实数m的取值范围为()A(，2) B(，2C. D.解析f(x)6x26mx6，当x(2，)时，f(x)0恒成立，即x2mx10恒成立，mx恒成立令g(x)x，g(x)1，当x2时，g(x)0，即g(x)在(2，)上单调递增，m2.答案D
10、5(2017上饶模拟)函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)解析由f(x)2x4，得f(x)2x40，设F(x)f(x)2x4，则F(x)f(x)2，因为f(x)2，所以F(x)0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增又F(1)f(1)2(1)42240，故不等式f(x)2x40等价于F(x)F(1)，所以x1.答案B二、填空题6已知函数f(x)(x22x)ex(xR，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为_解析因为f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex
11、(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x，所以函数f(x)的单调递增区间为(，)答案(，)7已知函数f(x)x24x3ln x在区间t，t1上不单调，则t的取值范围是_解析由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t0)，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数由h(1)0知，当0x0，从而f(x)0；当x1时，h(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，
12、)10已知函数f(x)x3ax2xc，且af.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)(f(x)x3)ex，若函数g(x)在x3,2上单调递增，求实数c的取值范围解(1)由f(x)x3ax2xc，得f(x)3x22ax1.当x时，得af322a1，解得a1.(2)由(1)可知f(x)x3x2xc，则f(x)3x22x13(x1)，列表如下：x(1，)f(x)f(x)递增递减递增所以f(x)的单调递增区间是和(1，)；f(x)的单调递减区间是.(3)函数g(x)(f(x)x3)ex(x2xc)ex，有g(x)(2x1)ex(x2xc)ex(x23xc1)ex，因为函数
13、g(x)在x3,2上单调递增，所以h(x)x23xc10在x3,2上恒成立，只要h(2)0，解得c11，所以c的取值范围是11，)能力提升题组(建议用时：20分钟)11函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，则()Aabc BcbaCcab Dbca解析依题意得，当x0，则f(x)在(，1)上为增函数；又f(3)f(1)，且101，因此有f(1)f(0)f，即有f(3)f(0)f，ca0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_解析令g(x)，则g(x)0，x(0，)，所以函数g(x)在(0
14、，)上单调递增又g(x)g(x)，则g(x)是偶函数，g(2)0g(2)则f(x)xg(x)0或解得x2或2x0的解集为(2,0)(2，)答案(2,0)(2，)14已知函数f(x)ln x，g(x)axb.(1)若f(x)与g(x)在x1处相切，求g(x)的表达式；(2)若(x)f(x)在1，)上是减函数，求实数m的取值范围解(1)由已知得f(x)，f(1)1a，a2.又g(1)0ab，b1，g(x)x1.(2)(x)f(x)ln x在1，)上是减函数，(x)0在1，)上恒成立，x2(2m2)x10在1，)上恒成立，则2m2x，x1，)，x2，)，2m22，m2.故实数m的取值范围是(，2.特
15、别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.第2课时导数与函数的极值、最值考点一用导数研究函数的极值(多维探究)命题角度一根据函数图像判断极值【例11】 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析由题图可知，当x3，此时f(x)0；当2x1时，01x3，此时f(x)0；当1x2时，11x0，此
16、时f(x)2时，1x0，由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值答案D命题角度二求函数的极值【例12】 求函数f(x)xaln x(aR)的极值解由f(x)1，x0知：(1)当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；(2)当a0时，令f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.命题角度三已知极值求参数【例13】 已知关于x的函数f(x)x3bx2cxbc在
17、x1处有极值，试求b，c的值解f(x)x22bxc，由f(x)在x1处有极值，可得解得或若b1，c1，则f(x)x22x1(x1)20，f(x)没有极值若b1，c3，则f(x)x22x3(x3)(x1)当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)f(x)001f(x)极小值12极大值当x1时，f(x)有极大值，满足题意故b1，c3为所求规律方法(1)求函数f(x)极值的步骤：确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值；如果左负右正
18、，那么f(x)在x0处取极小值(2)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同应注意，导数为零的点不一定是极值点对含参数的求极值问题，应注意分类讨论【训练1】 设函数f(x)ax32x2xc(a0)(1)当a1，且函数图像过(0,1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围解由题意得f(x)3ax24x1.(1)函数图像过(0,1)时，有f(0)c1.当a1时，f(x)3x24x1.令f(x)0，解得x1；令f(x)0，解得x1.所以函数在和(1，)上单调递增；在上单调递减故函数f(x)的极小值是f(1)1321
19、2111.(2)若f(x)在R上无极值点，则f(x)在R上是单调函数，故f(x)0或f(x)0恒成立当a0时，f(x)4x1，显然不满足条件；当a0时，f(x)0或f(1)0恒成立的充要条件是(4)243a10，即1612a0，解得a.综上，a的取值范围是.考点二利用导数求函数的最值【例2】 (2017郑州模拟)已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex，令f(x)0，得xk1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(
20、x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k，当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1.当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上可知，当k1时，f(x)mink；当1k0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切，(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值解(1)由f(x)aln xbx2，得f(x
21、)2bx(x0)函数f(x)在x1处与直线y相切解得(2)由(1)知f(x)ln xx2，则f(x)x，当xe时，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得1x0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，由于ex0.令f(x)0，则g(x)ax2(2ab)xbc0，3和0是yg(x)的零点，且f(x)与g(x)的符号相同又因为a0，所以3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.规律方法(
22、1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值【训练3】 (2017衡水中学月考)已知函数f(x)ax1ln x(aR)(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，任意x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的最大值解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，函数f
23、(x)在(0，)上单调递减f(x)在(0，)上没有极值点当a0时，由f(x)0，得0x0，得x，f(x)在上递减，在上递增，即f(x)在x处有极小值综上，当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点；当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点(2)函数f(x)在x1处取得极值，f(1)a10，则a1，从而f(x)x1ln x.因此f(x)bx21b，令g(x)1，则g(x)，令g(x)0，得xe2，则g(x)在(0，e2)上递减，在(e2，)上递增，g(x)ming(e2)1，即b1.故实数b的最大值是1.思想方法1利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失
24、分2求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小3可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.4.若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值易错防范1求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能2求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论3解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1下
25、列函数中，既是奇函数又存在极值的是()Ayx3 Byln(x)Cyxex Dyx解析由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数yx3单调递增(无极值)，D选项中的函数既为奇函数又存在极值答案D2(2017石家庄质检)若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，若tab，则t的最大值为()A2 B3 C6 D9解析f(x)12x22ax2b，则f(1)122a2b0，则ab6，又a0，b0，则tab29，当且仅当ab3时取等号答案D3已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()A. B.
26、C. D1解析由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0，即a23a180，a6或a0时，f(x)2x0；当x0时，f(x)3x233(x1)(x1)，当x0，f(x)是增函数，当1x0时，f(x)0时，ex1，aex0，r0)(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若400，求f(x)在(0，)内的极值解(1)由题意可知xr，所求的定义域为(，r)(r，)f(x)，f(x).所以当xr时，f(x)0；当rx0.因此，f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，)；f(x)的单调递增区间为(r，r)(2)由(1)的解答可知f
27、(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减因此，xr是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，)内的极大值为f(r)100，f(x)在(0，)内无极小值；综上，f(x)在(0，)内极大值为100，无极小值10(2017衡水中学二调)已知函数f(x)xln x，g(x)(x2ax3)ex(a为实数)(1)当a5时，求函数yg(x)在x1处的切线方程；(2)求f(x)在区间t，t2(t0)上的最小值解(1)当a5时，g(x)(x25x3)ex，g(1)e.又g(x)(x23x2)ex，故切线的斜率为g(1)4e.所以切线方程为ye4e(x1)，即y4ex3e.(2)函数f(x)
28、的定义域为(0，)，f(x)ln x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极小值当t时，在区间t，t2上f(x)为增函数，所以f(x)minf(t)tln t.当0t0，b0，d0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，d0 Da0，b0，c0，d0，f(0)d0.又x1，x2是函数f(x)的极值点，且f(x)3ax22bxc0，x1，x2是方程3ax22bxc0的两根由图像知，x10，x20，因此b0.答案A13(2015陕西卷)函数yxex在其极值点处的切线方程为_解析由yxex可得yexxexex(x1)，从而可得yxex在(，1)上递减，在(1，)上递增，所
29、以当x1时，yxex取得极小值e1，因为y|x10，故切线方程为ye1，即y.答案y14(2016山东卷改编)设f(x)xln xax2(2a1)x(常数a0)(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1处取得极大值求实数a的取值范围(1)解由f(x)ln x2ax2a，可得g(x)ln x2ax2a，x(0，)所以g(x)2a.又a0，当x时，g(x)0，函数g(x)单调递增，当x时，g(x)0，函数g(x)单调递减函数yg(x)的单调增区间为，单调减区间为.(2)由(1)知，f(1)0.当0a1，由(1)知f(x)在内单调递增，可得当x(0,1)时，f(x)0.
30、所以f(x)在(0,1)内单调递减，在内单调递增所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意当a时，1，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意当a时，00，f(x)单调递增，当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以f(x)在x1处取极大值，符合题意综上可知，实数a的取值范围为.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.第3课时导数与函数的综合应用考点一用导数研究生活中的优化问题【例1】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位
31、：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x0，又由h0可得0r5，故函数V(r)的定义域为(0,5)，(2)因V(r)(300r4r3)(0r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上
32、为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.所以当r5，h8时，该蓄水池的体积最大.考点二利用导数研究函数的零点或方程的根【例2】 (2014全国卷)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)没有实根综上，g(x)0在R有唯一实根，即
33、曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点规律方法(1)本题求解的关键是通过构造函数，把曲线与直线交点问题转化为函数零点问题来解决(2)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图像判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用【训练2】 (2016北京卷节选)设函数f(x)x3ax2bxc.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)设ab4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.因为f(0)c，f(0)b，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线
34、方程为ybxc.(2)当ab4时，f(x)x34x24xc，所以f(x)3x28x4.令f(x)0，得3x28x40，解得x2或x.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，2)2f(x)00f(x)cc所以，当c0且c0，存在x1(4，2)，x2，x3，使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的单调性知，当且仅当c时，函数f(x)x34x24xc有三个不同零点考点三导数在不等式中的应用(多维探究)命题角度一不等式恒成立问题【例31】 已知函数f(x)ln x，若f(x)x2在(1，)上恒成立，求a的取值范围解ln x0，axln xx3，令g(x)xln xx3，则h(x)
35、g(x)1ln x3x2，h(x)6x.当x(1，)时，h(x)0，h(x)在(1，)上是减函数，h(x)h(1)20，即g(x)0.g(x)在(1，)上也是减函数，g(x)g(1)1，当a1时，f(x)x2在(1，)上恒成立.命题角度二证明不等式【例32】 (2016全国卷)设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x(1，)时，11，证明当x(0,1)时，1(c1)xcx.(1)解依题意，f(x)的定义域为(0，)f(x)1，令f(x)0，得x1，当0x0，f(x)单调递增当x1时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明由(1)知f(x)在x1处取得最大值，且最大
36、值f(1)0.所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，ln xx1，ln1，因此11，设g(x)1(c1)xcx，则g(x)c1cxln c.令g(x)0，解得x0.当x0，g(x)单调递增；当xx0时，g(x)0，g(x)单调递减由(2)知1c，故0x01.又g(0)g(1)0，故当0x0.所以当x(0,1)时，1(c1)xcx.规律方法(1)利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h(x)0.(2)不等式恒成立通常可以利用函数的单调性求出最值解决解答相应的参数不等式，如果易分离参数，
37、可先分离变量，构造函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论【训练3】 (2017西安模拟)已知函数f(x)ln x.(1)求函数F(x)的最大值；(2)证明：0时，0xe；当F(x)e，故F(x)在(0，e)上是增函数，在(e，)上是减函数，故F(x)maxF(e).(2)证明令h(x)xf(x)xln x，则h(x)1，当h(x)0时，0x0时，x1，故h(x)在(0,1)上是减函数，在(1)上是增函数，故h(x)minh(1)1.又F(x)max1，故F(x)h(x)，即g(x)时，找到函数h(x)f(x)g(x)的零点是解题的突破口2在讨论方程的根的个数、研究函数图像与x轴(或某直
38、线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用注意转化思想与数形结合思想的应用3在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较易错防范1利用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到“a0时，有0的解集是()A(2,0)(2，) B(2,0)(0,2)C(，2)(2，) D(，2)(0,2)解析x0时0，(x)在(0，)为减函数，又(2)0，当且仅当0x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数故x2f(x)0的解集为
39、(，2)(0,2)答案D3若关于x的不等式x33x29x2m对任意x2,2恒成立，则m的取值范围是()A(，7 B(，20C(，0 D12,7解析令f(x)x33x29x2，则f(x)3x26x9，令f(x)0得x1或x3(舍去)f(1)7，f(2)0，f(2)20，f(x)的最小值为f(2)20，故m20.答案B4(2017景德镇联考)已知函数f(x)的定义域为1,4，部分对应值如下表：x10234f(x)12020f(x)的导函数yf(x)的图像如图所示当1a2时，函数yf(x)a的零点的个数为()A1 B2C3 D4解析根据导函数图像，知2是函数的极小值点，函数yf(x)的大致图像如图所
40、示由于f(0)f(3)2,1a0，则a的取值范围是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)解析a0时，不符合题意，a0时，f(x)3ax26x.令f(x)0，得x0或x.若a0，则由图像知f(x)有负数零点，不符合题意则a0知，此时必有f0，即a310，化简得a24.又a0，所以a0)，为使耗电量最小，则速度应定为_解析由yx239x400，得x1或x40，由于0x40时，y40时，y0.所以当x40时，y有最小值答案407已知函数yx33xc的图像与x轴恰有两个公共点，则c_.解析设f(x)x33xc，对f(x)求导可得，f(x)3x23，令f(x)0，可得x1，易知f(x)在(，1
41、)，(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减若f(1)13c0，可知c2；若f(1)13c0，可得c2.答案2或28(2017长沙调研)定义域为R的可导函数yf(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且f(0)1，则不等式1的解集为_解析构造函数g(x)，则g(x).由题意得g(x)0恒成立，所以函数g(x)在R上单调递减又g(0)1，所以1，即g(x)0，所以不等式的解集为(0，)答案(0，)三、解答题9据环保部门侧定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k0)现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们
42、连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和设ACx(km)(1)试将y表示为x的函数；(2)若a1，且x6时，y取得最小值，试求b的值解(1)设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中k为比例系数，且k0，从而点C处受污染程度y.(2)因为a1，所以，y，yk，令y0，得x，又此时x6，解得b8，经验证符合题意，所以，污染源B的污染强度b的值为8.10(2017榆林月考)已知函数f(x)ln x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x1时，f(x)0得解得0x.故f(x)的单调递增区间是.(2)证明令F(x)f(x)(x1)，x(0，)则有F(
43、x).当x(1，)时，F(x)1时，F(x)1时，f(x)1时，f(x)0，g(x)6x22x1的200恒成立，故f(x)0恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点答案A12(2017山东省实验中学诊断)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)xf(x)0，则()A3f(1)f(3)C3f(1)f(3) Df(1)f(3)解析由于f(x)xf(x)，则0恒成立，因此在R上是单调递减函数，f(3)答案B13(2017安徽江南名校联考)已知x(0,2)，若关于x的不等式0.即kx22x对任意x(0,2)恒成立，从而k0，因此由原不等式，得k0，函数f(x)在(1,2)上单调递增，当x(0,1
44、)时，f(x)0，函数f(x)在(0,1)上单调递减，所以k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点(1)解由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f().(2)证明由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)0，f()0，所以f(x)在区间(1，上仅有一个零点综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
