1、第 1 页 共 4 页江西省重点中学盟校 2021 届高三第一次联考数学（理）主命题：余江一中吴永标辅命题：新余四中 吴昱临川二中 汪少宇一选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合|13Axx，0,4|2xBx y,则 AB（）（A）1,3（B）1,2（C）0,2（D）2,32.61 2x的二项展开式中第三项是（）（A）4240 x（B）160（C）3160 x（D）260 x3.复数 z 的共轭复数为 z，0zz是 z 为纯虚数的（）条件（A）充要（B）充分不必要（C）必要不充分（D）既不充分也不必要4.过双曲线
2、22221(00)xyabab,的右焦点 F 作它的渐近线l 的垂线，垂足为 P，若2PFObS（O是坐标原点），则 cb （）（A）5（B）2（C）5（D）35.直三棱柱的侧棱长和底面边长均为 2，主视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（）（A）2（B）3（C）4（D）2 36.若函数32()1f xxaxbx 在1x 处取极值 0，则 ab（）（A）0（B）2（C）2（D）17.已知直线210axby 和221xy 相切，则 ab 的最大值是（）（A）14（B）12（C）22（D）18.设二元一次不等式组603100,40 xyxyxy，所表示的平面区域为 D，使函数log(01)ay
3、x aa且的图像过区域 D 的 a 的取值范围是（）（A）1 11,23，（B）102+3，（C）1 12+3，（D）11 23，第 2 页 共 4 页9.()sin()(0,0,)f xAxA的图像如右所示,下列有关它的描述正确的是（）(A)6(B)把()f x 图像向左平移 23 单位长度，可得2cos2yx(C)把()f x 图像向右平移 6 单位长度，可得2cos2yx(D)为得到它的图像可将2sinyx的图像向右平移 512 单位长度，再把所得图像上各点的横坐标变为原来的 1210.碳-14 年代测定法由时任美国芝加哥大学教授威拉得利比(Willard Frank Libby)发明，
4、威拉得利比因此获得诺贝尔化学奖。碳是有机物的元素之一，生物在生存的时候，由于需要呼吸，其体内的碳-14 含量大致不变，生物死去后会停止呼吸，此时体内的碳-14 开始减少，人们可通过检测一件古物的碳-14 含量，来估计它的大概年龄，这种方法称之为碳定年法。设fN 是生物样品中的碳-14 的含量，0N 是活体组织中碳-14 的含量，t 为生物死亡的时间（单位年），已知012tTfNN（其中 T 为碳-14 半衰期，且 T=5730），若 2021 年测定某生物样本中089fNN，则此生物大概生活在哪个朝代（）（A）西周（B）晋代（C）宋代（D）明代参考资料：2log 31.585西周：公元前 10
5、46 年前 771 年晋代：公元 265公元 420宋代：公元 907公元 1279明代：公元 1368公元 164411.已知圆 O:224xy与抛物线22ypx交于 A,B 两点，且2 3AB,则如图所示阴影部分绕 x 轴旋转形成的旋转体的体积是（）（A）116（B）43（C）196（D）13612.数列 na中na 表示与n 最接近的整数，则122021111.aaa()（A）4388 45（B）148815（C）888 9（D）4188 45二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，满分共 20 分）13.已知向量1,2,1,ab，若a b，则 14.数列 na前 n 项和为nS，
6、且满足11,1nnSanNa，则na 15.已知某农场某植物高度,0.04，且 66,如果这个农场有这种植物10000棵，试估计该农场这种植物高度在区间6.2,6.4 上的棵数为第 3 页 共 4 页参考数据：若2,，则0.6826，220.9544，330.997416.在 ABC中，角,A B C 的对边分别为,a b c，3b，6(coscos)3aBbAa，tan2tanCA，则cos_B 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明或演算步骤.）（一）必考题：共 60 分17.（12 分）首项为 2 的等差数列 na，满足124a a a成等比数列，且12021a
7、a.(1)求 na的通项公式；(2)记数列11nnnNa a的前 n 项和为nT，若5052021nT，求 n 的值.18.（12 分）如图已知四棱台1111A BABCCDD的上底面和下底面都是正方形，且11ABAA,112A B,1AA 平面1111A B C D.（1）证明:111A DDD C C 平面；（2）求二面角11DCDB的平面角的大小.19.（12 分）“低碳出行”，一种降低“碳”的出行，以低能耗、低污染为基础，是环保的深层次体现，在众多发达国家被广大民众接受并执行，S 市即将投放一批公共自行车以方便市民出行，减少污染，缓解交通拥堵，现先对 100 人做了是否会考虑选择自行车
8、出行的调查，结果如下表.(1)如果把 45 周岁以下人群定义为“青年”，完成下列 22 列联表，并问你有多少把握认为该地区市民是否考虑单车与他(她)是不是“青年人”有关?参考：22()()()()()n adbcKab ac cdnbdabcd(2)S 市为了鼓励大家骑自行车上班，为此还专门在几条平时比较拥堵的城市主道建有无障碍自行车道，该市市民小明家离上班地点 10km,现有两种上班方案给他选择：第 4 页 共 4 页方案一：选择自行车，走无障碍自行车道以 19kmh 的速度直达上班地点.方案二：开车以 30 kmh 的速度上班，但要经过 A、B、C 三个易堵路段，三个路段堵车的概率分别是
9、1 1 12 2 3，且是相互独立的，并且每次堵车的时间都是 10 分钟（假设除了堵车时间其他时间都是匀速行驶）若仅从时间的角度考虑，请你给小明作一个选择，并说明理由.20.（12 分）已知抛物线 M:22(0)ypx p与椭圆 N:22221(0)xyabab在第一象限交于 E 点，且它们有公共的焦点 F，O 是椭圆的中心.（1）若 EFx轴，求椭圆的离心率；（2）若 EF 不与 x 轴垂直，椭圆的另一个焦点为 F，已知1OF ，且EFF的周长为 6,过 F 的直线l 与两曲线从上至下依次交于 A,B,C,D 四点（其中,A CM B DN），若347ABBCCD，求l 的方程.21.（12
10、 分）已知1()1()xf xeaxxR.（1）若()f x 存在最小值，求此时 a 的取值范围，并求出()f x 的最小值；（2）当1x 时，()ln0f xx恒成立，求 a 的取值范围.（二）选考题：共 10 分.请考试在第 22 题和 23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.22、（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为1xtcosytsin（t 为参数，0），曲线C 的参数方程为1 sinxcosy（为参数），以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设C 与l 交于,A B
11、两点（异于原点），求 OAOB的最大值.23、（10 分）选修 4-5：不等式选讲（1）证明不等式11abababab并指出等号成立的条件；（2）求11()111xxf xxx 的最小值.江西省重点中学盟校 2021 届高三第一次联考理科数学答案123456789101112BDCADAABBCCD10、025730ln57302log 335730 0.17974ln 2fNNt11、1220135191,(34)236aVxdxxdx 12、设nak，则1122knk，即221144kknkk所以nak数的项共有 2k 项，45k 时，21980kk，22080kk所以1980198144
12、45aa122021111.aaa 114124441884545kk 13、2 14、2122nnnan 15、10000 0.1359135916、cos B 6617、（1）设数列 na的公差为 d，则由题意21113ada ad-1 分2112da dda或者0d-3 分又1202102aadd-4 分11 22naann-6 分（2）1111 114141nna an nnn-8 分1111111.4223141nnTnnn-10 分由 505412021nn得2020n-12 分18、由棱台性质知：平面 ABCD平面1111A B C D，AD 11A D,取11A D 的中点 E
13、，1ADAA且 AD 1A E 四 边 形11ADA D 是 平 行 四 边 形 DE、1AA 平 面ABCD1AAAD112A DDD222111111+=A DD DA DA DDD-2 分1AA 平面1111A B C D111C DAA又1111C DA D，11C D 平面11A D DA-4 分故1A D11C D，又11A DDD，1111=DDC DD111A DDD C C 平面-6 分（2）如图建坐标系 D（0,1,1）,1B(2,0，0)1D(0,2，0）1C(2,2，0),C(1,1，1)由（1）知11=A DDD G（0,1,1）是平面一个法向量-7 分令(,)nx
14、y z是平面11CD B 的一个法向量，设1(1,1,1)B C ,11(2,2,0)B D 111022000,n B Dxyxy zn B C 令=10 x yz则(1,1,0)n-9 分111,22 2cos n A D -11 分所以二面角11DGDB的平面角为120-12 分19、（1）完成表格如下-2 分骑车不骑车合计45 岁以下35155045 岁及其以上203050合计55451002227 6-3 41005 30-15 20=9.17.87950 50 55 4511 9（3）-5 分所以有 95%把握认为该地区市民是否考虑骑自行车与他(她)是不是“青年人”有关-6 分。（
15、2）方案一：上班的时间是：1019=106001919（h）分钟-7 分方案二：1030=13h=20 分钟，设开车上班时间是 分钟，则上班时间是一个离散型随机变量，取值可能 20、30、40、50.-8 分分别设 A、B、C 三个路段堵车的概率是 P AP BP C，则由相互独立事件发生的概率公式,1 1 21=20=2 2 36PP AP BP C +=30=1-1-+1-1-1-1-PP AP BP CP BP CP AP AP CP B1 1 21 1 15=2+=2 2 32 2 312+=40=1-+1-1-PPAP BP CP BPAP CP CPAP B1 1 11 1 21=
16、2+=2 2 32 2 331 1 11=50=2 2 312P（）,-10 分所以1511100=20+30+40+50=6123123E（）-11 分因为=E（）100600319，所以选择骑自行车。-12 分20、（1）由条件22,(,)22pbbEpccaa，-2 分221021eee-4 分（2）1=2pOFc，622ac2,1,2acp2224;1.543xyMyx N方程方程分依题意可令l 方程1xmy 且0m-6 分设,),1122(,)A x yC xy,),3344(,)B x yD xy方法一：结合图形，由347ABBCCD得3377ABBCBCCD 37.7ACBD分2
17、214404xmyymyyx 12124,4yym yy 12121211()4ACxxpmymypm yy =24(1)m-8 分221143xmyxy22(34)690mymy，34342269,3434myyyymm-10 分22234343411()4BDmyymyyy y=2212(1)34mm-11 分234733ACmBD1m,所以直线l 方程为1yx-12 分方法二：结合图形，由347ABBCCD得 133224347yyyyyy 123437yyyy（注意1324yyyy）22121234343474yyy yyyy y.7 分2214404xmyymyyx 12124,4y
18、ym yy 12121211()4ACxxpmymypm yy =24(1)m-9 分221143xmyxy22(34)690mymy，34342269,3434myyyymm-10 分代入得234733m 1m,所以直线l 方程为1yx-12 分21、（1）1()xfxea0a 时，()0fx，所以()f x 在 R 上单调递增，此时()f x 不存在最小值2 分0a 时由1()=0 xfxea得ln1xa，-3 分(,ln1)xa()0fx，(ln1,)xa()0fx，所以()f x 在(,ln1a内减,在ln1,)a 内单增-4 分此时lnmin()(ln1)ln111lnaf xfae
19、aaaa -6 分（2）令1()()lnln1xg xf xxexax方法一：11()xg xeax由121()xgxex 所以()gx单增且()(1)0gxg()g x单增，而(1)2ga-7 分当2a 时，所以()(1)20g xga所以所以在1 在上单调递增，0()(1)120g xgeaa 恒成立-9 分注：()g x 在1 上单增也可以这样证明：1xex 111()20 xg xeaxaaxx当2a 时，取1ln11xa则111()11 10 xxg xeaeaaax -10 分所以()g x 在1 ln11a在上单调递减，所以()(1)20g xga矛盾舍去.-11 分综上所述2a
20、 时满足题意.-12 分注：当2a 时，也可以这样证明11()xg xeax121()xgxex 所以()gx单增且()(1)0gxg()g x单增，而(1)20ga，ln11(1ln)01ln1lnagaeaaa由零点存在定理，01,1 lnxa使得0()0g x，则当01,xx时()0g x()g x 在01,x上单减，所以()(1)20g xga矛盾舍去.方法二：由(1)0g得2a-8 分下证2a 证时不等式成立，1xex-9 分111()20 xg xeaxaaxx-11 分所以()g x 所以在1 在上单调递增0()(1)120g xgeaa 2a时()0g x 恒成立所以()ln0
21、f xx恒成立时，2a.-12 分22、（1）曲线C 的普通方程为2211xy，-2 分化简得222xyy，则22 sin，所以曲线C 的极坐标方程为2sin-4 分（2）由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点0,1，也就是圆C 的圆心，则2AOB-6 分不妨设12,2AB ，其中0,2，则122222 224OAOBsinsinsincossin-9 分所以当4，OAOB取得最大值为 2 2.-10 分23、（1）证明：11abababab 11abababab-2 分 abab上式-4 分（当0a b时取等号）上式显然成立，所以原不等式得证！-5 分（2）11111 122()11111111 1123xxxxxxf xxxxxxx -9 分（当 110 xx时取等号）-10 分方法二：1111111()1111111111xxxxf xxxxxxx -6 分11112xxxx 110,1113xx-9 分min2()3f x-10 分
