1、2015-2016学年福建省南平市建瓯二中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分1合集U=0，1，2，3，UM=2，则集合M=（）A0，1，3B1，3C0，3D22命题“x21，x1”的否定是（）Ax21，x1Bx21，x1Cx21，x1Dx21，x13已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4在等差数列an中，a2=1，a4=5，则an的前5项和S5=（）A7B15C20D255向量，且，则cos2=（）ABCD6命题p：f（x）=x22ax+1在（1，+）上是增函数；命题q：f
2、（x）=logax（a0且a1）在（0，+）是减函数，则p是q的（）A既不充分也不必要条件B充要条件C充分不必要条件D必要不充分条件7已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（）A1或1B2或0C2或1D1或08设变量x，y满足约束条件，则z=x3y的最大值为（）A4B4C3D39二项式（x）6的展开式中常数项为（）A15B15C20D2010一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）ABCD11设a0，若关于x的不等式恒成立，则a的最小值为（）A4B2C16D112若集合M，N满足MN=，则称M，N是集合的一组双子集拆分，规定：
3、M，N和N，M是的同一组双子集拆分，已知集合=1，2，3，那么的不同双子集拆分共有（）A16组B15组C14组D13组二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13（x+）dx=14已知函数f（x）=，则f（f（）的值是=15若数列an的前n项和为Sn=an+，则数列an的通项公式是an=16观察下列等式；12=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，根据上述规律，第n个等式为三解答题：本大题共6小题，共74分.17ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosA=，B=A+（）求b的值；（）求ABC的面积18如图，直三棱柱ABC
4、A1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点（1）求的模；（2）求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；（3）求证：A1BC1M19已知向量=（，1），=（sin2x，cos2x），函数f（x）=（1）若f（x）=0且0x，求x的值（2）求函数f（x）的单调增区间以及函数取得最大值时，向量与的夹角20已知数列an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（1）求数列an的通项公式；（2）数列an和数列bn满足等式an=（nN*），求数列bn的前n项和Sn21设函数f（x）=lnxax+1（）当a=1时，求曲线
5、f（x）在x=1处的切线方程；（）讨论函数f（x）的单调性22如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且DAB=60侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点（1）求证：BG平面PAD；（2）求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值；（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论2015-2016学年福建省南平市建瓯二中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分1合集U=0，1，2，3，UM=2，则集合M=（）A0，1，3B1，3C0
6、，3D2【考点】子集与交集、并集运算的转换【专题】计算题【分析】利用全集和补集的定义，确定集合M元素的构成【解答】解：合集U=0，1，2，3，CUM=2，M是把全集U中的元素去掉2后，剩余元素构成的集合，集合M=0，1，3，故选 A【点评】本题考查全集和补集的定义，确定M是把全集U中的元素去掉2后，剩余元素构成的集合是解题的关键2命题“x21，x1”的否定是（）Ax21，x1Bx21，x1Cx21，x1Dx21，x1【考点】全称命题；命题的否定【专题】规律型【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断【解答】解：全称命题的否定是特称命题，命题“x21，x1”的否定是：x21，x1故选：C【点评
7、】本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题进比较基础3已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【专题】计算题【分析】求出复数z，复数z的对应点的坐标，即可得到选项【解答】解：因为复数z的共轭复数，所以z=12i，对应的点的坐标为（1，2）z在复平面内对应的点位于第四象限故选D【点评】本题考查复数的代数表示以及几何意义，基本知识的考查4在等差数列an中，a2=1，a4=5，则an的前5项和S5=（）A7B15C20D25【考点】等差数列的性质【专题】
8、计算题【分析】利用等差数列的性质，可得a2+a4=a1+a5=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论【解答】解：等差数列an中，a2=1，a4=5，a2+a4=a1+a5=6，S5=（a1+a5）=故选B【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，熟练运用性质是关键5向量，且，则cos2=（）ABCD【考点】两角和与差的余弦函数【专题】计算题；三角函数的求值【分析】根据向量平行的条件建立关于的等式，利用同角三角函数的基本关系算出sin=，再由二倍角的余弦公式加以计算，可得cos2的值【解答】解：，且，即，化简得sin=，cos2=12sin2=1=故选：D【点评】本题给出向量含
9、有三角函数的坐标式，在向量互相平行的情况下求cos2的值着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和向量平行的条件等知识，属于基础题6命题p：f（x）=x22ax+1在（1，+）上是增函数；命题q：f（x）=logax（a0且a1）在（0，+）是减函数，则p是q的（）A既不充分也不必要条件B充要条件C充分不必要条件D必要不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据函数单调性的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：f（x）=x22ax+1在（1，+）上是增函数；对称轴，即p：a1f（x）=logax（a0且a1）在（0，+）是减函
10、数，0a1，即q：0a1，p是q的必要不充分条件故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性的性质是解决本题的关键7已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（）A1或1B2或0C2或1D1或0【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】算法的功能是求y=的值，分当x0时和当x0时求得输出的结果为0的x值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求y=的值，输出的结果为0，当x0时，x21=0x=1；当x0时，x22x=0x=2，故选：C【点评】本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键8设变量x，y满足约束条件，则z=x3y
11、的最大值为（）A4B4C3D3【考点】简单线性规划【专题】数形结合；不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合可行域可知，当直线过点A时，截距最小，z最大，联立直线方程求出A的坐标，代入z=x3y求z得最大值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由z=x3y，得要使z最大，则直线在y轴上的截距最小由图可知，当直线过点A时，截距最小，z最大联立，解得，A（2，2）则z=x3y的最大值为23（2）=4故选：B【点评】本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域，是中档题9二项式（x）6的展开式中常数项为（）A15B15C20D20【考点】二项式系数的
12、性质【专题】二项式定理【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得常数项的值【解答】解：二项式（x）6的展开式的通项公式为Tr+1=（1）r，令6=0，求得r=4，故展开式中常数项为=15，故选：B【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题10一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】几何体是三棱锥，根据三视图知最里面的面与底面垂直，高为2，结合直观图判定外接球的球心在SO上，利用球心到A、S
13、的距离相等求得半径，代入球的表面积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且最里面的面与底面垂直，高为2，如图：其中OA=OB=OC=2，SO平面ABC，且SO=2，其外接球的球心在SO上，设球心为M，OM=x，则=2xx=，外接球的半径R=，几何体的外接球的表面积S=4=故选：D【点评】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，考查了学生的空间想象能力及作图能力，判断几何体的特征及利用特征求外接球的半径是关键11设a0，若关于x的不等式恒成立，则a的最小值为（）A4B2C16D1【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】利用基本不等式即可得出【解答】解：a0，若关于x的不
14、等式恒成立，解得a4a的最小值为4故选：A【点评】本题考查了基本不等式和恒成立问题，属于基础题12若集合M，N满足MN=，则称M，N是集合的一组双子集拆分，规定：M，N和N，M是的同一组双子集拆分，已知集合=1，2，3，那么的不同双子集拆分共有（）A16组B15组C14组D13组【考点】子集与真子集【专题】计算题【分析】根据题意，由的子集，结合题意中“的同一组双子集拆分”的定义分情况讨论其不同双子集拆分的个数，即可得答案【解答】解：=1，2，3，其子集是，1，2，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3，1分别与1，2，3，与2，3，共两组，同理2分别与1，2，3，与1，3两组，3分别与1，2，
15、3，与1，2，共两组；1，2分别与1，2，3，与2，3，与1，3，与3，共四组，同理与2，3是一组双子集拆分有四组，和1，3是一组双子集拆分共四组，1，2，3与1，2，3一组；但有6组重合的，所以共有206=14组，A的不同双子集拆分共有14组，故选C【点评】本题考查集合的子集，关键正确理解题意中“的同一组双子集拆分”的定义，其次注意不要忽视其中重复的集合二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13（x+）dx=【考点】定积分【专题】导数的综合应用【分析】由于，利用微积分基本定理即可得出【解答】解：原式=故答案为【点评】本题考查了微积分基本定理，属于基础题14已知函数f（x）=，则f（
16、f（）的值是=2【考点】对数的运算性质；函数的值【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】利于抑制投机求出f（）的值，然后求解所求表达式的值【解答】解：函数，f（）=2+=4=f（4）=2故答案为：2【点评】本题考查函数值的求法，指数以及对数的运算法则，解题方法是由里及外逐步求解，考查计算能力15若数列an的前n项和为Sn=an+，则数列an的通项公式是an=（2）n1【考点】等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n2时，an=SnSn1，可得数列为等比数列，且公比为2，代入等比数列的通项公式分段可得答案【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解
17、得a1=1当n2时，an=SnSn1=（）（）=，整理可得，即=2，故数列an从第二项开始是以2为首项，2为公比的等比数列，故当n2时，an=（2）n1=（2）n1经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（2）n1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题16观察下列等式；12=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，根据上述规律，第n个等式为13+23+33+43+n3=（）2【考点】归纳推理【专题】计算题；推理和证明【分析】根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =6
18、2，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，进而可得答案【解答】解：根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，则13+23+33+43+n3=（1+2+3+4+n）2 =（）2，故答案为：13+23+33+43+n3=（）2【点评】本题考查归纳推理，解题的关键是发现各个等式之间变化的规律以及每个等式左右两边的关系三解答题：本大题共6小题，共74分.17ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosA=，B=A+（）求b的值；（）求ABC的
19、面积【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】（）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值（）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案【解答】解：（）cosA=，sinA=，B=A+sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，b=sinB=3（）sinB=，B=A+cosB=，sinC=sin（AB）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=（）+=，S=absinC=33=【点评】本题主要考查了正弦定理的应用解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重
20、了基础知识的综合运用18如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点（1）求的模；（2）求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；（3）求证：A1BC1M【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；向量语言表述线线的垂直、平行关系【专题】综合题；空间向量及应用【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出B，N两点的坐标，代入空间两点间的距离公式，即可求出BN的长；（2）求出=（1，1，2），=（0，1，2），利用向量的夹角公式，即可求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；（3）证明=0，即可证明A1BC1M【解答】（1）解：
21、以C为坐标原点，以、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，如图由题意得N（1，0，1），B（0，1，0），|=（2）解：依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），C1（0，0，2）=（1，1，2），=（0，1，2），=3|=，|=，cos，=，异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为（3）证明： =（1，1，2），=（，0），=1+1+（2）0=0，即A1BC1M【点评】本题考查直线与直线垂直，考查线线角，其中建立空间坐标系，将线线垂直，线线角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键19已知向量=（，1），=（sin2x，cos2x
22、），函数f（x）=（1）若f（x）=0且0x，求x的值（2）求函数f（x）的单调增区间以及函数取得最大值时，向量与的夹角【考点】三角函数中的恒等变换应用；数量积的坐标表达式【专题】计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】（1）利用向量的数量积可得f（x）=sin2xcos2x，由f（x）=0可求得tan2x=，而0x，于是可求x的值；（2）依题意，可求f（x）=2sin（2x），利用正弦函数的单调性质可求其单调增区间及最大值，再利用向量的数量积可求得向量与的夹角【解答】解：（1）f（x）=sin2xcos2x，由f（x）=0得sin2xcos2x=0，即tan2x=0x，02x2，
23、2x=或2x=，x=或x=（2）f（x）=sin2xcos2x=2（sin2xcos2x）=2sin（2x），由2k2x2k+（kZ），得：kxk+（kZ），f（x）的单调增区间为k，k+，kZ由上可得f（x）max=2，当f（x）=2时，由=|cos=2得：cos=1，0，=0，即f（x）取得最大值时，向量与的夹角为0【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查向量的数量积的坐标运算，考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题20已知数列an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（1）求数列an的通项公式；（2）数列an和数列bn满足等式an=（nN*），求数列bn
24、的前n项和Sn【考点】等差数列的通项公式；数列的求和【专题】计算题【分析】（1）设等差数列an的公差为d，分别表示出a2a6=55，a2+a7=16联立方程求得d和a1进而根据等差数列通项公式求得an（2）令cn=，则有an=c1+c2+cn，an+1=c1+c2+cn+1两式相减得cn+1等于常数2，进而可得bn，进而根据b1=2a1求得b1则数列bn通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上b1【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，则依题意可知d0由a2+a7=16，得2a1+7d=16由a3a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55由联立方程求得得d=2，
25、a1=1或d=2，a1=（排除）an=1+（n1）2=2n1（2）令cn=，则有an=c1+c2+cnan+1=c1+c2+cn+1两式相减得an+1an=cn+1，由（1）得a1=1，an+1an=2cn+1=2，即cn=2（n2），即当n2时，bn=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2bn=于是Sn=b1+b2+b3+bn=2+23+24+2n+1=2n+26，n2，【点评】本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质考查了对数列问题的综合把握21设函数f（x）=lnxax+1（）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（）讨论函数f（x）的单调性【考点】利用导数研究函数的单调性
26、；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】综合题；分类讨论；定义法；导数的概念及应用【分析】（）当a=1时，求函数的导数，根据导数的几何意义即可求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（）根据函数的单调性和导数之间的关系进行求解即可【解答】解：（）函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=a当a=1时，f（x）=lnxx1，则f（1）=2，f（x）=1，则f（1）=0，f（x）在x=1处的切线方程为y=2 （）f（x）=a=，f（x）的定义域为（0，+），当a=0时，f（x）=，f（x）的增区间为（1，+），减区间为（0，1）当a0时，即0a时，f（x）的增区间为（1，），减区间为（0，1），（，
27、+）当=1，即a=时，f（x）在 （0，+）上单调递减 当1，即a或a0，当a时，f（x）的增区间为（，1），减区间为（0，），（1，+），当a0时，f（x）的增区间为（0，），（1，+），减区间为（，1）【点评】本题主要考查函数导数的应用，利用导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键注意要进行分类讨论22如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且DAB=60侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点（1）求证：BG平面PAD；（2）求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值；（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到
28、一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）连结BD，由正三角形性质的BGAD，由此能证明BG平面PAD（2）以G为原点，建立空间直角坐标系Gxyz，由此能求出平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值（3）当F为PC的中点时，平面DEF平面ABCD取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H，由已知条件得四边形CDGE为平行四边形，由此能证明平面DEF平面ABCD【解答】（本小题满分14分）（1）证明：连结BD因为ABCD为棱形，且DA
29、B=60，所以ABD为正三角形又G为AD的中点，所以BGAD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，BG平面PAD（2）解：PAD为正三角形，G为AD的中点，PGADPG平面PAD，由（1）得：PGGB又由（1）知BGADPG、BG、AD两两垂直故以G为原点，建立如图所示空间直角坐标系Gxyz，所以G（0，0，0），D（0，1，0），设平面PCD的法向量为，即令z=1，则x=1，y=，又平面PBG的法向量为=（0，2，0），设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为，则即平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值为（3）当F为PC的中点时，平面DEF平面ABCD取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H因为E、G分别为BC、AD的中点，四边形CDGE为平行四边形，H为CG的中点又F为CP的中点，FHPG由（2），得PG平面ABCD，FH平面ABCD又FH平面DEF，平面DEF平面ABCD【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用
