1、第七节抛 物 线 考点一抛物线的定义及应用 例1设P是抛物线y24x上的一个动点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值自主解答(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1.由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连接AF交曲线于点P，则所求的最小值为|AF|，即为.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.
2、即|PB|PF|的最小值为4.【互动探究】若将本例(2)中的B点坐标改为(3,4)，求|PB|PF|的最小值解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离|PB|PF|BF|2.即|PB|PF|的最小值为2. 【方法规律】抛物线定义中的“转化”法利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径1(2014天津模拟)已知动圆过定点F，且与直线x相切，其中p0，则动圆圆心的轨迹E的方程为_解析：依题意得，圆心到定点F的距离与到直线x的距离相等，
3、再依抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹E为抛物线，其方程为y22px.答案：y22px2过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|3，则|BF|_.解析：因为抛物线y24x的焦点F(1,0)显然，当AB垂直于x轴时，|AF|3，所以AB的斜率k存在，设AB的方程为yk(x1)，与抛物线y24x联立，消去y得k2x22k2x4xk20，即k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由根与系数的关系得x1x22.又|AF|3x1x11，所以x12，代入k2x22k2x4xk20，得k28，所以x1x2，x2，故|BF|x211.答案：考点二抛物线的标准方程及
4、性质 例2(1)(2013四川高考)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B. C1 D.(2)(2013江西高考)抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.自主解答(1)由抛物线y24x，有2p4，p2.其焦点坐标为(1,0)，双曲线x21的渐近线方程为yx.不妨取其中一条xy0.由点到直线的距离公式有d.(2)在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，p，所以B.又因为点B在双曲线上，故1，解得p6.答案：(1)B(2)6【方法规律】1求抛物线的标准方程的方法及流程(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因
5、为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量2确定及应用抛物线性质的关键与技巧(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A2 B2 C4 D2解析：选B依题意，设抛物线方程是y22px(p0)，则有23，得p2，故抛物线方程是y24x，点M的坐标是(2，2)，|OM|2.2(2014湖州模拟)已知双
6、曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析：选D双曲线的渐近线方程为yx，由于 2，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.抛物线的焦点坐标为，所以2，则p8，所以抛物线方程为x216y.高频考点考点三 直线与抛物线的位置关系1直线与抛物线的位置关系，是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度较大，多为中、高档题2直线与抛物线的位置关系有以下几个命题角度：(1)已知抛物线方程及其他条件，求直线方程；(2)证明直线过定点；(3)求线段长度或线段之积(和)的最
7、值；(4)求定值例3(2014杭州模拟)已知直线y2x2与抛物线x22py(p0)交于M1，M2两点，且|M1M2|8.(1)求p的值；(2)设A是直线y上一点，直线AM2交抛物线于另一点M3，直线M1M3交直线y于点B，求的值 自主解答(1)由整理得x24px4p0，设M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，则|M1M2|8，8，即8.p2p120，解得p4或p3(舍去)，且p4满足0，p4.(2)由(1)知抛物线方程为x28y，且x1x216，x1x216，M1，M2，设M3，A(t,2)，B(a,2)，由A，M2，M3三点共线得kM2M3kAM2，即xx2x3t(x2x3)x16，整理得
8、x2x3t(x2x3)16，由B，M3，M1三点共线，同理可得x1x3a(x1x3)16，式两边同乘x2得x1x2x3a(x1x2x2x3)16x2，即16x3a(16x2x3)16x2，由得x2x3t(x2x3)16，代入得16x316aat(x2x3)16a16x2，即16(x2x3)at(x2x3)，at16.at420.直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略(1)求直线方程先寻找确定直线的两个条件，若缺少一个可设出此量，利用题设条件寻找关于该量的方程，解方程即可(2)证明直线过定点可依题设条件寻找该直线的方程，可依据方程中的参数及其他条件确定该直线过那个定点(3)求线段长度和线段之
9、积(和)的最值可依据直线与抛物线相交，依据弦长公式，求出弦长或弦长关于某个量的函数，然后利用基本不等式或利用函数的知识，求函数的最值；也可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离(4)求定值可借助于已知条件，将直线与抛物线联立，寻找待定式子的表达式，化简即可得到(2014潍坊模拟)已知过点A(4,0)的动直线l与抛物线G：x22py(p0)相交于B，C两点当直线l的斜率是时，4.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y(x4)，即x2y4，联立消去x，得2y2(8
10、p)y80，y1y2，y1y24，由已知4，y24y1，由韦达定理及p0可得y11，y24，p2，抛物线G的方程为x24y.(2)由题意知直线l的斜率存在，且不为0，设l：yk(x4)，BC中点坐标为(x0，y0)，由得x24kx16k0，由0得k0，x02k，y0k(x04)2k24k，BC中垂线方程为y2k24k(x2k)，b2(k1)2，b2.故b的取值范围为(2，)课堂归纳通法领悟4个结论直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y22px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：(1)|AB|x1x2p或|AB|(为AB所在直线的倾斜角)；(2)x1x2；(3)y1y2p2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.3个注意点抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程(2)注意应用抛物线定义中距离相等的转化来解决问题(3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点
