1、福建省莆田市第一联盟体2020届高三数学上学期期末联考试题 理注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号和座位号填写在答题卡上；2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效；4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回第卷 （选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每
2、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数z满足，则|z|（）AB3C5D252设集合，Nx|4，则MN（）ABC2，3D2,3）3在等比数列an中，则（）A6B7C8D154已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则的值为（ ）AB. C. D5. 某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为，则图中的值为（）A 2B. C. 1D6我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征.如函数的图像大致是（ ）ABCD7在梯形中，若，则的值为（ ）A B
3、. C. D 08设，则（）AB. C. D 9关于函数有下述四个结论：的图象关于轴对称； 在有3个零点；的最小值为； 在区间单调递减.其中所有正确结论的编号是( )A BC D10已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线斜率为（）ABCD 112019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国。为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文密文（加密），接受方由密文明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文
4、）按字母分解，其中英文的a，b，c，z的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，26这26个自然数,通过变换公式：，将明文转换成密文，如，即变换成；，即变换成若按上述规定，若王华收到的密文是ukweat，那么原来的明文是（）AfujianBpuxianCputianDfuxian 12函数满足，,若恒成立,则的取值范围为（）ABCD二填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13若向量和垂直，则_14已知满足，则的取值范围为_.15已知直线：与抛物线相交于不同的两点，为 的中点，线段AB的垂直平分线线交轴于点，则的长为 .16正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线BD1
5、上，过点P作垂直于BD1的平面，记平面截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为yf（x），设BPx，x（0，）.（）下列说法中，正确的编号为 截面多边形可能为四边形； ；函数的图象关于对称.（）当时,三棱锥的外接球的表面积为 三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17（本小题12分）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求A；（2）已知，点D在AB上，且，若的面积为，求线段的长18（本小题12分）在正项数列an中，已知，且
6、.（1）证明：数列bn是等差数列；（2）设bn的前n项和为Sn，证明：19（本小题12分）如图：已知正方形ABCD的边长为，沿着对角线将ACD折起,使D到达P的位置，且（1）证明：平面平面；（2）若M是的中点，点N在线段PA上，且满足直线MN与平面PAB所成角的正弦值为，求的值 图（1） 图（2） 20（本小题12分）已知：椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，若的面积为2，且椭圆的离心率为.（1） 求椭圆的方程；（2） 直线交椭圆于两点，当为的垂心时，求的面积.21（本小题12分）已知函数，.（1） 讨论的单调性；（2） 当时，记的最小值为，证明：.（二）选考题：共10分.请考生从第22，2
7、3两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程(本小题10 分)已知曲线的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设点的极坐标为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.23.选修45：不等式选讲（本小题10分）已知函数，且的解集为.（1）求的值；（2）若都为正数，且，证明：.莆田市第一联盟体2019-2020学年上学期高三联考参考答案 理科数学第卷 （选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选
8、项中，只有一项是符合题目要求的123456789101112CDBBCADDCACA二填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）135 ； 14 ；15 ； 16（） ；（）三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17（12分）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求A；（2）已知，点D在AB上，且，若的面积为，求线段的长. . .1分 , . .2分 . .3分 . 4分又,且A（0，, .5分， .6分,且 . 7分bcs
9、inA=,即 .8分 .9分 10分 .12分18（12分）在正项数列an中，已知，且.（1）证明：数列bn是等差数列；（2）设bn的前n项和为Sn，证明：（1）数列是公差为2的等差数列 .1分1, .2分 .3分) .4分数列是等差数列 .5分（2）由（1）可得Snn（n+2） .6分（）， .8分+（1）+（）+（）+（）+（）（1+）（+） .12分19（12分）已知正方形ABCD的边长为，沿着对角线将ACD折起,使D到达P的位置，且（1）证明：平面平面；（2）若M是的中点，点N在线段PA上，且满足直线MN与平面PAB所成角的正弦值为，求的值解：（1）取AC的中点O，连接OP，OB，PA
10、PC且O为AC的中点，OPAC；同理，OBAC .2分AC平面POB，则有POB为平面PACB的平面角， .3分又在POB中，OPOB1，BP，则有OP2+OB2BP2POB90平面PAC平面ABC .5分（2）由（1）可知，OP平面ABC，则有OPOC，OPOB，又OBOC，则以 为原点，所在直线为轴建立如上空间直角坐标系.6分则有，OAOBOCOP1，A（1，0，0），B（0，1，0），C（1，0，0），P（0，0，1）， .7分M是PC的中点，M，又设，则则N点的坐标为（-，0 , .8分设平面PAB的一个法向量为，则有，取 . 9分直线MN与平面PAB所成角的正弦值为，解得 11分故
11、.12分20（12分）20（12分）已知：椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，若的面积为2，且椭圆的离心率为.（1） 求椭圆的方程；（2） 直线交椭圆于两点，当为的垂心时，求的面积.解（1）：依题意可知， 则，且 .2分 可得：， .3分 所以椭圆的方程为：. .4分（2）：为的垂心， 由（1）知， 设直线方程为， .5分 联立得， 可得，即， 且可得， .6分 .7分 即 解得或， .8分当时，三点共线（舍去）， .9分此时 .10分点到直线的距离 .11分 .12分21（12分）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)当时，记的最小值为，证明：.解(1):的定义域为, 又, .2分 当时,
12、在上单调递减; 当时,若在上单调递减; .3分 若在上单调递增. .4分(2):,由(1)知: .5分 令, 设, 由于恒成立, 故可知在上单调递减, . .6分 又, .7分 可知存在使得, .8分时,为增函数; 时,为减函数,即当时,取得最大值, . .9分 .10分 又, . .12分（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程(10 分)已知曲线的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设点的极坐标为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.解：（1）曲线C的普通方程为：, .2分将曲线上的点按坐标变换得到，代入得的方程为：. .4分化为极坐标方程为： .5分(2)点在直角坐标的坐标为 ， .6分因为直线过点且倾斜角为，设直线的参数方程为（为参数）， .8分代入得：.设两点对应的参数分别为，则，. .9分所以. .10分23.选修45：不等式选讲（10分）已知函数，且的解集为.（1）求的值；（2）若都为正数，且，证明：.【解析】（1）由得得 .2分因为的解集为， .4分所以 .5分（2） 由（1）得， .6分当且仅当时，等号成立 .9分所以成立 .10分
