1、第二节两条直线的位置关系考纲传真1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离(见学生用书第146页)1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直：如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线l1：A1xB1y
2、C10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3距离P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d平行线AxByC10与AxByC20间距离d1(固基升华)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为()【解析】(1)中，l1l2，或l1与l2重合，不正确在(2)中，可能一
3、条直线的斜率不存在，另一斜率为0，(2)错显然(3)正确(4)中的距离为，不正确【答案】(1)(2)(3)(4)2(人教A版教材习题改编)已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()A.B2C.1 D.1【解析】由题意知1，|a1|，又a0，a1.【答案】C3(2014合肥质检)过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10【解析】设所求直线为x2yc0(c2)，由点(1,0)在直线上，则c1，所求直线的方程为x2y10.【答案】A4(2012浙江高考)设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a
4、1)y40平行”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】若直线l1与l2平行，则a(a1)210，即a2或a1，所以a1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件【答案】A5若直线x2y50与直线2xmy60互相垂直，则实数m_.【解析】直线x2y50与2xmy60互相垂直，1，m1.【答案】1(见学生用书第146页)考向1两条直线的平行与垂直问题【例1】(1)已知直线xa2y60与直线(a2) x3ay2a0平行，则a的值为()A0或3或1B0或3C3或1 D0或1(2)(2013辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB为
5、直角三角形，则必有()Aba3Bba3C(ba3)0D|ba3|0【思路点拨】(1)由两直线平行或重合的条件，求出a值进行检验(2)依据直角三角形的垂直条件，确定a，b间的关系【尝试解答】(1)由3a(a2)a20得a(a22a3)0，a1或0或3.检验当a0或1时两直线平行，当a3时两直线重合(2)显然O不是直角顶点，否则a0，点O与B重合若A，则ba30.若B，根据斜率关系可知a21，a(a3b)1，即ba30，综上知(ba3)0.【答案】(1)D(2)C,规律方法11.解答本题(1)时应注意，在利用两直线平行或重合的充要条件求出a值后，应代入原直线方程检验2设l1：A1xB1yC10，l
6、2：A2xB2yC20，则(1)l1l2或l1与l2重合A1B2A2B10.(2)l1l2A1A2B1B20.(3)若l3l1，则l3可设为A1xB1ym0(mC1)(4)若l3l1，则l3可设为B1xA1yn0.变式训练1已知过点A(2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3，若l1l2，l2l3，则实数mn的值为()A10B2C0D8【解析】直线l2的斜率为2，又l1l2，则2，得m8，因为l2l3，则得n2，mn10.【答案】A考向2两直线的交点与距离问题【例2】(1)求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y
7、60的直线l的方程(2)求过点P(2，1)且与原点距离为2的直线l的方程【思路点拨】(1)可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解(2)利用待定系数法，注意斜率是否存在【尝试解答】(1)法一方程组得l1、l2的交点坐标为(1,2)，l3的斜率为，l的斜率为，则直线的点斜式方程l：y2(x1)，即5x3y10.法二由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x2y1(5x2y1)0中的一条，将其整理，得(35)x(22)y(1)0，其斜率，解得，代入直线系方程即得l的方程为5x3y10.(2)若l的斜率不存在，则直线x2满足条件若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k
8、10.由已知，得2，解得k.此时l的方程为3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100.,规律方法21.(1)求两直线的交点坐标，转化为求两直线方程组成的方程组的解(2)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.2求点到直线的距离时，首先将方程化为一般方程，再代入公式计算变式训练2已知点P(2，1)，试求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，并求出原点到直线的最大距离【解】作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，如图由lOP，得klkOP1，所以kl2.又点P
9、(2，1)在直线l上，由点斜式得y12 (x2)，即2xy50.直线2xy50是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为.考向3对称问题【例3】已知点A的坐标为(4,4)，直线l的方程为3xy20，求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线l关于点A的对称直线l的方程【思路点拨】(1)充分利用对称的特征“垂直”、“平分”建立等量关系；(2)利用点的转移求解或点到直线的距离求解【尝试解答】(1)设点A的坐标为(x，y)，由题意可知解得x2，y6，A点的坐标为(2,6)(2)法一在直线l上任取一点P(x，y)，其关于点A(4,4)的对称点(8x,8y)必在直线l上，3(8x)(8y)2
10、0，即3xy180，所以所求直线的方程为3xy180.法二由题意可知ll，设l的方程为3xyc0，由题意可知，解得c18，或c2(舍)，所以所求直线的方程为3xy180.,规律方法31.本题考查的是点关于线对称及线关于点对称的问题2处理点关于点的对称问题主要抓住已知点与对称点连成线段的中点为对称中心处理点关于直线对称问题要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上变式训练3直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是()Ax2y30Bx2y30Cx2y10 Dx2y10【解析】设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于xy20的对称点为P(
11、x0，y0)，由得由点P(x0，y0)在直线2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y30.【答案】A一条规律一般地，与直线AxByC0(A2B20)平行的直线方程可设为AxBym0(mC)；与之垂直的直线方程可设为BxAyn0.两点注意1.判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑2(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等三种对称1.点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P(2ax0,2by0)2设点P(x0，y0)关于直线yk
12、xb的对称点为P(x，y)，则有可求出x，y.3直线关于直线的对称，可化归为点关于直线的对称.(见学生用书第148页)从近两年高考看，两条直线的位置关系是高考的热点，特别是两条直线平行和垂直的判定及点到直线的距离公式几乎每年都有涉及，而且命题背景不断创新，既考查基础知识，又重视转化思想与数学能力的考查创新探究之十一以点到直线距离为载体的新定义题 (2012浙江高考)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离已知曲线C1：yx2a到直线l：yx的距离等于曲线C2：x2(y4)22到直线l：yx的距离，则实数a_.【解析】曲线C2：x2(y4)22到直线l：yx的距离为r2，
13、对于yx2a，y2x1，故切点为，切点到直线l：yx的距离为，解得a或.由消去y，得x2xa0.由14a0可得a，故a.【答案】创新点拨：(1)利用曲线C到直线l的距离的定义，考查点到直线的距离，并巧妙地与导数知识交汇(2)考查对新定义、新概念的理解和运用，同时考查思维的创新，考查转化和化归能力应对措施：(1)要全面准确地掌握各知识点的基础知识和基本方法，重视知识间的联系(2)要充分理解新定义的具体含义，剥去新定义的外衣，将曲线到直线的距离转化为点到直线的距离，化陌生为熟悉1(2013天津高考)已知过点P(2,2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a()AB1C2D.【
14、解析】由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线axy10垂直，可设圆的切线方程为xayc0，由切线xayc0过点P(2,2)，c22a，解得a2.【答案】C2(2013四川高考)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_【解析】设平面上任一点M，因为|MA|MC|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|MD|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|MC|MB|MD|最小，则点M为所求kAC2，直线AC的方程为y22(x1)，即2xy0.又kBD1，直线BD的方程为y5(x1)，即xy60.由得M(2,4)【答案】(2,4)
