1、第七节空间向量在立体几何中的应用考点一利用空间向量证明平行、垂直 例1 如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30的角求证：(1)CM平面PAD；(2)平面PAB平面PAD.自主解答以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC30.PC2，BC2，PB4，D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M.(0，1,2)，(2，3,0
2、)，.(1)法一：令n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则即令y2，得n(，2,1)n2010，n，又CM平面PAD，CM平面PAD.法二：(0,1，2)，(2，4，2)，令xy，则方程组有解为.由共面向量定理知与、共面，又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)取AP的中点E，则E(，2,1)，(，2,1)，PBAB，BEPA.又(，2,1)(2，3,0)0，.BEDA，又PADAA，PA，DA平面PAD，BE平面PAD，又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.【方法规律】1用向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线(2)线面平行：证明该直线的方向向量与平面的某一法向量
3、垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行(3)面面平行：证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题2用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1)AM平面BDE；(2)AM平面BDF.证明：(1)以C为坐标原点，CD，CB，CE所在直线为x，y，z轴的正方向，建
4、立如图所示的空间直角坐标系，设ACBDN，连接NE.则点N，E的坐标分别为，(0,0,1).又点A，M的坐标分别是(，0)，.且NE与AM不共线NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(2)由(1)知，D(，0,0)，F(，1)，(0，1)0.同理可证.又DFBFF，DF，BF平面BDF，AM平面BDF.高频考点考点二 利用向量求空间角1利用向量求空间角是每年的必考内容，题型为解答题，难度适中，属中档题2高考对空间角的考查常有以下两个命题角度：(1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角例2(1)(2013新课标全国卷) 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1
5、，BAA160.证明：ABA1C；若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值(2)(2013四川高考) 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2AA1，BAC120，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A1；设中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角AA1M N的余弦值自主解答(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角
6、形，所以OA1AB.因为OCOA1O，OC，OA1平面OA1C，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.由知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设知A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(1,0,0)则(1,0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面BB1C1C的一个法向量，则即可取n(，1，1)故cos.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.(2)如图，在
7、平面ABC内，过点P作直线lBC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l平面A1BC.由已知，ABAC，D是BC的中点，所以BCAD，则直线lAD.因为AA1平面ABC，所以AA1直线l.又AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l平面ADD1A1.设A1A1.如图，过A1作A1E平行于B1C1，以A1为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合)则A1(0,0,0)，A(0,0,1)因为P为AD的中点，所以M，N分别为AB，AC的中点，故M，N，所以，(0,0,1)，(，0,
8、0)设平面AA1M的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则即故有从而取x11，则y1，所以n1(1，0)设平面A1MN的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则即故有从而取y22，则z21，所以n2(0,2，1)设二面角AA1MN的平面角为，又为锐角，则cos .故二面角AA1MN的余弦值为.利用向量求空间角问题的常见类型及解题策略(1)求直线与平面所成的角求直线l与平面所成的角，可先求出平面的法向量n与直线l的方向向量a的夹角，则sin |cosn，a|.(2)求二面角分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐
9、角还是钝角；分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小1. 如图所示，已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点(1)证明：CMSN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小解：(1)证明：设PA1，以A为原点，射线AB、AC、AP分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2，0,0)，M，N，S.则，所以00.所以CMSN.(2) ，设a(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，所以则令x2，得a(2,1，2)因为
10、|cosa，|，所以SN与平面CMN所成的角为45.2. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA12.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EBFB1.(1)求二面角CDEC1的正切值；(2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值解：(1)以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D(0,3,0)，D1(0，3,2)，E(3，0,0)，F(4,1,0)，C1(4，3,2)，于是(3，3,0)，(1,3,2)，(4,2,2)设n(x，y,2)为平面C1DE的一个法向量，则有xy1，n(1，1,2)，向量(0,0,2)与平面CDE垂直，n与所成的角为二面
11、角CDEC1的平面角或其补角cos ，由图知二面角CDEC1的平面角为锐角，tan .故二面角CDEC1的正切值为.(2)设直线EC1与FD1所成的角为，则cos .故直线EC1与FD1所成角的余弦值为.考点三利用向量解决探索性问题 例3如图，在RtABC中，ABBC4，点E在线段AB上过点E作EFBC交AC于点F，将AEF沿EF折起到PEF的位置(点A与P重合)，使得PEB60.(1)求证：EFPB；(2)试问：当点E在线段AB上移动时，二面角PFCB的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由自主解答(1)证明：在RtABC中，EFBC，EFAB.EFEB，EFEP，又E
12、BEPE，EB，EP平面PEB，EF平面PEB.又PB平面PEB，EFPB.(2)在平面PEB内，经点P作PDBE于点D，由(1)知EF平面PEB，EFPD，又BEEFE，BE，EF平面BCFE，PD平面BCFE.在平面PEB内过点B作直线BHPD，则BH平面BCFE.如图所示，以B为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系设PEx(0x4)，又ABBC4，BE4x，EFx.在RtPED中，PED60，PDx，DEx，BD4xx4x，C(4,0,0)，F(x,4x,0)，P.从而(x4,4x,0)，.设n1(x0，y0，z0)是平面PCF的一个法向量，即取y01，得n1
13、(1,1，)是平面PFC的一个法向量又平面BFC的一个法向量为n2(0,0,1)设二面角PFCB的平面角为，则cos |cosn1，n2|.因此当点E在线段AB上移动时，二面角PFCB的平面角的余弦值为定值，且定值为. 互动探究保持本例条件不变，求平面PCF与平面PBE所成锐二面角的余弦值解：设平面PBE的一个法向量为n2，平面PCF与平面PBE所成的锐二面角为，则n2(1,0,0)，cos |cosn1，n2|.【方法规律】利用向量解决探索性问题的方法(1)与平行、垂直有关的探索性问题的解题策略是将空间中的平行与垂直转化为向量的平行或垂直来解决(2)与角有关的探索性问题的解题策略是将空间角转
14、化为与向量有关的问题等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足(如图1)将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1DEB成直二面角，连接A1B、A1C(如图2) (1)求证：A1D平面BCED；(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由解：(1)证明：因为等边ABC的边长为3，且，所以AD1，AE2.在ADE中，DAE60，由余弦定理得，DE.因为AD2DE2AE2，所以ADDE.折叠后有A1DDE.因为二面角A1DEB是直二面角，所以平面A1DE平面BCED.又平面A1DE平面BCEDD
15、E，A1D平面A1DE，A1DDE，所以A1D平面BCED.(2)由(1)的证明，可知EDDB，A1D平面BCED.以D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图设PB2a(02a3)，作PHBD于点H，连接A1H、A1P，则BHa，PHa，DH2a.所以A1(0,0,1)，P(2a，a，0)， E(0，0)所以(a2，a,1)因为ED平面A1BD，所以平面A1BD的一个法向量为(0，0)因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60，所以sin 60，解得a.即PB2a，满足02a3，符合题意所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60，此时PB.课堂归纳通法领悟2个关系异面直线所成的角及二面角与向量夹角的关系(1)异面直线所成角与向量夹角的关系当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角(2)二面角与向量夹角的关系设二面角的两个面的法向量分别为n1，n2，则n1，n2或n1，n2是所求的二面角这时要借助图形来判断所求角是锐角还是钝角，确定n1，n2是所求角，还是n1，n2是所求角3个范围三种空间角的范围(1)异面直线所成的角的范围是；(2)直线与平面所成角的范围是；(3)二面角的范围是0，
