1、1.2 复数的几何意义学 习 目 标核 心 素 养1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系(难点)2掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念(重点、难点)3掌握用向量的模来表示复数的模的方法(重点)1.通过学习复数的几何意义，培养学生直观想象素养2借助于复数的模和共轭复数的计算，培养学生数学运算素养.1复平面通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数2复数的几何意义3复数的模向量的模称为复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|. 由向量模的定义可知，|z|abi|
2、.如果b0，那么zabi是一个实数a，它的模等于|z|a|(a的绝对值)4. 共轭复数(1)定义：若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用表示当zabi(a，bR)时，abi.(2)几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等另外，当复数zabi的虚部b0时，有z.也就是说，任一实数的共轭复数仍是它本身，反之亦然思考：1.虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？提示：不是除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数2象限内的点与复数有何对应关系？提示：第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；第
3、三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负3复数的模的几何意义是什么？提示：复数z在复平面内对应的点为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于0的常数，则：满足条件|z|r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的内部，|z|r表示圆的外部；满足条件|zz0|r的点Z的轨迹为以Z0为圆心，r为半径的圆，|zz0|r表示圆的内部，|zz0|r表示圆的外部1在复平面内，复数zi2i2对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限Bzi2i22i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限2已知复数z1m2i，z2
4、1i，若z1z2为纯虚数，则实数m的值为()A1B1C4D4Az1z2m13i为纯虚数，故m10，m1，故选A3已知复数z的实部为1，虚部为2，则|z|_.|z|.复数与平面内的点的关系【例1】实数x分别取什么值时，复数z(x2x6)(x22x15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)直线xy30上解因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数(1)当实数x满足即当3x2时，点Z在第三象限(2)zx2x6(x22x15)i对应点Z(x2x6，x22x15)，当实数x满足(x2x6)(x22x15)30，即当x2时，点Z在直线xy30上按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，
5、每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.1在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i(mR)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.解若复数z的对应点在虚轴上，则m2m20，所以m1或m2，所以z6i或z0.若复数z的对应点在实轴负半轴上，则所以m1，所以z2.复数的模的几何意义【例2】设zC，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形(1)|z|3; (2)1|z|2.解(1) |z|3说明向量的长度等于3，即复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为3，这样的点Z的集合是以原点O为圆
6、心，3为半径的圆(2)不等式1|z|2可以转化为不等式组不等式|z|2的解集是圆|z|2及该圆内部所有点的集合不等式|z|1的解集是圆|z|1及该圆外部所有点的集合这两个集合的交集，就是满足条件1|z|2的点的集合如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决.2若复数z满足|z|，则z在复平面所对应的图形的面积为_2满足|z|的点Z的集合是以原点O为圆心，以为半径的
7、圆及其内部所有的点构成的集合，所求图形的面积为S2.故填2.复数、共轭复数与复平面内的向量的关系探究问题1复数zabi(a，bR)在复平面内对应的向量和点Z分别是什么？提示：向量(a，b)，点Z的坐标为(a，b)2设复数zabi(a，bR)的共轭复数为，z和在复平面内对应的点分别为A，B，则点A，B有什么关系？提示：点A，B关于x轴对称【例3】(1)向量对应的复数是54i，向量2对应的复数是54i，则12对应的复数是()A108iB108iC0D108i(2)设O是原点，向量，对应的复数分别为23i，32i，那么向量对应的复数是()A55iB55iC55iD55i思路点拨(1)(2)(1)C(
8、2)D(1)由复数的几何意义，可得1(5，4)，2(5,4)，所以12(5，4)(5,4)(0,0)，所以12对应的复数为0.(2)由复数的几何意义，得(2，3)，(3,2)，(2，3)(3,2)(5，5)所以对应的复数是55i.1在例3(2)中若对应的复数是z，求.解由例3(2)的解析可知对应的复数是55i，即z55i，所以55i.2在例3(2)中，若点A关于实轴的对称点为点C，求向量对应的复数解复数23i表示的点A(2，3)关于实轴对称的点为C(2,3)，向量对应的复数为23i.(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复
9、数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.1复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应如图所示：2研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实、虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上()(2) 复数的模一定是正实数()(3)若|z1|z2|，则z1z2()提示(1)正确(2)错误，复数0的模为0.(3)错误反例：z123i，z223i，满足|z1|z2|，但z1和z2不相等答案(1)(2)(3)2若(0，3)，则对应的复数为()A0B3C3iD3C对应的复数为3i.3已知zm1(m2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是()A(1,2)B(2,1)C(1，)D(，2)Bzm1(m2)i在复平面内对应的点在第二象限，m10，解得2m1，则实数m的取值范围是(2,1)4当实数m为何值时，复数(m28m15)(m23m28)i(i为虚数单位)在复平面中的对应点(1)位于第四象限；(2)位于x轴的负半轴上解(1)由得所以7m3.(2)由得所以m4.
