1、第2课时函数yAsin的性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握函数yAsin(x)的周期、单调性及最值的求法(重、难点)2理解函数yAsin(x)的对称性(重点)通过函数yAsin的性质的应用，培养数学运算与逻辑推理素养.函数yAsin(x)(A0，0)的性质定义域R值域A，A周期T奇偶性k，kZ时，yAsin(x)是奇函数；k，kZ时，yAsin(x)是偶函数对称轴方程由xk(kZ)求得对称中心由xk(kZ)求得单调性递增区间由2k x2k(kZ)求得；递减区间由2k x2k(kZ)求得思考：函数fAsin(x)(A0，0)的奇偶性与f的取值有何关系？提示：“f0”是“f是奇函数”的充要条
2、件“fA”是“f是偶函数”的充要条件1函数f(x)sin的最小正周期为()A4B2 CDC由题意T，故选C2函数y2sin1的最大值是()A1B2 C3D4C当2x2k时，即xk(kZ)时最大值为3.3函数ysin与y轴最近的对称轴方程是_x令2xk(kZ)，x(kZ)由k0，得x；由k1，得x.4设函数f(x)sin(2x)(0)图象的一条对称轴是直线x.(1)求的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间解(1)x是函数f(x)sin(2x)的一条对称轴，2 k，kZ.0，由此可得.(2)由题意，得2k 2x 2k，kZ，解得k xk，kZ，函数f(x)sin的单调递增区间为，kZ.函数yAs
3、in(x)的最值问题【例1】求函数ysin，x的值域解0x ， 2x . sin1.1 sin ，即1y .函数ysin，x的值域为1，求函数yAsin(x)，xm，n的值域的步骤(1)换元，令ux，并求u的取值范围；(2)作出ysin u(注意u的取值范围)的图象；(3)结合图象求出值域.1已知f(x)sin (0)，ff，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则_.如图所示，由题意知：f在x处取得最小值2k (kZ)8k (kZ)0，当k1时，8；当k2时，16，此时在区间内已存在最大值故.求yAsin(x)(A0，0)的周期【例2】求下列函数的周期：(1)y3sin1；(2)y.思路点拨
4、(1)用T求周期；(2)利用函数的图象来求周期解(1)2，T.(2)y的图象如下：由图象可知，T.1形如yAsin(x)b的函数的周期为T.2形如函数y的周期可用图象法求解，其周期为T，因此周期减半2函数y5sin的最小正周期为_4函数y5sin的最小正周期T4.求函数yAsin(x)的单调区间【例3】求函数y2sin的单调增区间解y2sin2sin.所以其单调递增区间，就是y2sin的单调递减区间由2k2x2k，得kxk，(kZ)因此函数y2sin的单调增区间为k，k(kZ)求函数yAsin(x)的单调区间时，常视x为一个整体，通过ysin x的单调增(减)区间，求得函数的增(减)区间，当0
5、，0)的图象与直线yb(0bA)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f(x)的单调递增区间是_. ，kZ由其图象特征知，其周期为6，f为最大值，所以f(x)的单调递增区间是，kZ.函数yAsin(x)的奇偶性与对称性【例4】(1)函数ysin的图象的对称轴方程为_，对称中心为_(2)若函数f(x)2sin是偶函数，则的值可以是()ABCD(1)x(kZ)，kZ；(2)A(1)令sin1，得2xk(kZ)，x(kZ)，函数ysin的图象的对称轴方程为x(kZ)令sin0，得2xk(kZ)，x(kZ)，函数ysin的图象的对称中心为，kZ.(2)由f(x)2sin为偶函数得k(kZ)，即k.
6、当k0时，.故选A关于函数yAsin(x)的对称性与奇偶性(1)将x看作整体，代入到ysin x的对称中心、对称轴的表达式，可以求出函数yAsin(x)的对称中心、对称轴(2)若函数yAsin(x)为奇函数，则k，kZ，若函数yAsin(x)为偶函数，则k，kZ.4已知函数f(x)sin(x)(0,0)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求和的值解由f(x)是偶函数，得f(x)f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，f(x)在x0时取得最值即sin 1.依题设0，解得.由f(x)的图象关于点M对称，可知sin0，解得，kZ.又f(x)在上是单调函数，T，即 ，2.又0
7、，当k1时，；当k2时，2.，2或.1函数yAsin(x)与yAcos(x)的周期均为T.2在研究函数yAsin(x)的单调区间时，把x看作一个整体，再根据函数ysin x的单调增(减)区间求解，但需注意A和的符号，从而正确确定函数的单调增(减)区间3在研究yAsin(x)(A0，0)的性质时，注意采用整体代换的思想例如，它在x2k，kZ时取得最大值，在x2k，kZ时取得最小值1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)函数ysin 2x在0，和2，3上的图象形状相同，只是位置不同()(2)sin()(3)函数y3sin的图象关于直线x轴对称()(4)函数ysinx的零点是xk，kZ()答案
8、(1)(2)(3)(4)2已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则该函数的图象()A关于点对称B关于直线x对称C关于点对称D关于直线x对称答案A3函数ysin，x的单调递增区间为_x，x，ysin x在上单调递增 x .解得x .故填.4已知函数f(x)2sin，xR.(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)由2xk(kZ)得，x(kZ)所以函数f(x)的对称轴方程为x，kZ.由2xk(kZ)得x(kZ)所以，函数f(x)的对称中心为，kZ.(2)因为0x ，所以 2x ，所以，当2x，即x0时，f(x)取得最小值1；当2x，即x时，f(x)取得最大值2.
