1、十、数列一、选择题1（天津理4）已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为A-110 B-90 C90 D110【答案】D2（四川理8）数列的首项为，为等差数列且若则，则A0 B3 C8 D11【答案】B【解析】由已知知由叠加法3（四川理11）已知定义在上的函数满足，当时，设在上的最大值为，且的前项和为，则A3 B C2 D【答案】D【解析】由题意,在上，4（上海理18）设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为A是等比数列。 B或是等比数列。C和均是等比数列。D和均是等比数列，且公比相同。【答案】D5（全国大纲理4）设为等差数列的前项
2、和，若，公差，则A8 B7 C6 D5【答案】D6（江西理5） 已知数列的前n项和满足：，且=1那么=A1 B9 C10 D55【答案】A7（福建理10）已知函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：ABC一定是钝角三角形ABC可能是直角三角形ABC可能是等腰三角形ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A B C D【答案】B二、填空题8（湖南理12）设是等差数列，的前项和，且，则= 【答案】259（重庆理11）在等差数列中，则_【答案】7410（北京理11）在等比数列an中，a1=，a4=-4，则公比q=_；_。2 【答案】11（安徽理
3、14）已知的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_.【答案】12（湖北理13）九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。【答案】13（广东理11）等差数列前9项的和等于前4项的和若，则k=_【答案】1014（江苏13）设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是_【答案】三、解答题15（江苏20）设部分为正整数组成的集合，数列，前n项和为，已知对任意整数kM，当整数都成立 （1）设的值； （2）设的通项公式本小题考查数列的通项与前项和的关系、等差
4、数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。解：（1）由题设知，当，即，从而所以的值为8。 （2）由题设知，当，两式相减得所以当成等差数列，且也成等差数列从而当时，（*）且，即成等差数列，从而，故由（*）式知当时，设当，从而由（*）式知故从而，于是因此，对任意都成立，又由可知，解得因此，数列为等差数列，由所以数列的通项公式为16（安徽理18）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（）求数列的通项公式；（）设求数列的前项和.本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能
5、力，综合运算能力和创新思维能力.解：（I）设构成等比数列，其中则 并利用（II）由题意和（I）中计算结果，知另一方面，利用得所以17（北京理20）若数列满足，数列为数列，记=（）写出一个满足，且0的数列；（）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；（）对任意给定的整数n（n2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。 解：（）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）（）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.所以A5是首项为12，公差为1的等差数
6、列.所以a2000=12+（20001）1=2011.充分性，由于a2000a10001，a2000a10001a2a11所以a2000a19999，即a2000a1+1999.又因为a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是递增数列.综上，结论得证。（）令因为所以因为所以为偶数,所以要使为偶数,即4整除.当时，有当的项满足，当不能被4整除，此时不存在E数列An，使得18（福建理16） 已知等比数列an的公比q=3，前3项和S3=。（I）求数列an的通项公式；（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。本小题主要考查等比数列、三角函数等基础
7、知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分13分。 解：（I）由解得所以（II）由（I）可知因为函数的最大值为3，所以A=3。因为当时取得最大值，所以又所以函数的解析式为19（广东理20） 设b0,数列满足a1=b，（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，解： （1）由令，当当时，当 （2）当时，（欲证），当综上所述20（湖北理19）已知数列的前项和为，且满足：，N*，（）求数列的通项公式；（）若存在N*，使得，成等差数列，是判断：对于任意的N*，且，是否成等差数列，并证明你的结论本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。（满分
8、13分） 解：（I）由已知可得，两式相减可得 即 又所以r=0时， 数列为：a，0，0，； 当时，由已知（）， 于是由可得， 成等比数列， ， 综上，数列的通项公式为 （II）对于任意的，且成等差数列，证明如下： 当r=0时，由（I）知， 对于任意的，且成等差数列， 当，时， 若存在，使得成等差数列， 则， 由（I）知，的公比，于是 对于任意的，且 成等差数列， 综上，对于任意的，且成等差数列。21（辽宁理17） 已知等差数列an满足a2=0，a6+a8=-10（I）求数列an的通项公式；（II）求数列的前n项和解： （I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得故数列的通项公式为 5分 （I
9、I）设数列，即，所以，当时， 所以综上，数列 12分22（全国大纲理20） 设数列满足且（）求的通项公式；（）设解： （I）由题设 即是公差为1的等差数列。 又 所以 （II）由（I）得 ，8分12分23（全国新课标理17） 已知等比数列的各项均为正数，且（I）求数列的通项公式（II）设，求数列的前n项和解：（）设数列an的公比为q，由得所以由条件可知c0，故由得，所以故数列an的通项式为an=（）故所以数列的前n项和为24（山东理20） 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通
10、项公式；（）若数列满足：，求数列的前n项和解：（I）当时，不合题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意。因此所以公式q=3，故 （II）因为所以 所以当n为偶数时，当n为奇数时，综上所述，25（上海理22） 已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。（1）求；（2）求证：在数列中但不在数列中的项恰为；（3）求数列的通项公式。解： ； 任意，设，则，即 假设（矛盾）， 在数列中但不在数列中的项恰为。 ， 当时，依次有， 。26（四川理20） 设为非零实数，（1）写出并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；（II）设，求数列的前n项和解析：
11、（1）因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列。（2）（2）（1）27（天津理20） 已知数列与满足：， ，且（）求的值；（）设，证明：是等比数列；（III）设证明：本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分. （I）解：由 可得又（II）证明：对任意，得将代入，可得即又因此是等比数列.（III）证明：由（II）可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由式得从而所以，对任意，对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意28（浙江理19）已知公差不为0的等差数列的首项为a（）,设
12、数列的前n项和为，且，成等比数列（1）求数列的通项公式及（2）记，当时，试比较与的大小本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。满分14分。 （I）解：设等差数列的公差为d，由得因为，所以所以（II）解：因为，所以因为，所以当，即所以，当当29（重庆理21） 设实数数列的前n项和，满足 （I）若成等比数列，求和； （II）求证：对 （I）解：由题意，由S2是等比中项知由解得 （II）证法一：由题设条件有故从而对有 因，由得要证，由只要证即证此式明显成立.因此最后证若不然又因矛盾.因此证法二：由题设知，故方程（可能相同）.因此判别式又由因此，解得因此由，得因此
