1、第六节数学归纳法1了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题1数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立2数学归纳法的框图表示对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*且k1)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1.当nk1时，不等式成立上述证明过程是否正确？为什么
2、？提示：不正确从nk到nk1的推理不正确，没能利用当nk时的假设 1在应用数学归纳法证明凸边形的对角线为条时，第一步检验n等于()A1 B2 C3 D0解析：选C因为凸边形的边数n3，所以第一步检验n3.2若f(n)1(nN*)，则f(1)为()A1 B.C1 D非以上答案解析：选Cf(n)1，f(1)11.3某个命题与自然数n有关，若nk(kN*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，那么可以推得()An6时该命题不成立 Bn6时该命题成立Cn4时该命题不成立 Dn4时该命题成立解析：选C因为当nk(kN*)时命题成立，则当nk1时，命题也成立现n5时，命
3、题不成立，故n4时命题也不成立4(教材习题改编)用数学归纳法证明11)，第一步要证的不等式是_解析：当n2时，左边为11，右边为2.故应填12.答案：10)，其中r为有理数，且0r1，(1)已知当x(0，)时，有f(x)f(1)0，试证明如下命题：设a10，a20，b1，b2为正有理数，若b1b21，则a1b1a2b2a1b1a2b2；(2)请将(1)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题解题指导(1)对于不等式的证明要注意利用已知条件进行突破；(2)本问数学归纳法的运用相对而言难度高，运算量大，在归纳证明时一要细心运算，二要注意假设条件的恰当运用解(1)由已知，当x(0，)
4、时，有f(x)f(1)0，即xrrx(1r)若a1，a2中有一个为0，则ab11ab22a1b1a2b2成立若a1，a2均不为0，由b1b21，可得b21b1，于是在中令x，rb1，可得b1b1(1b1)，即ab11a1b12a1b1a2 (1b1)，亦即ab11ab22a1b1a2b2.综上，对a10，a20，b1，b2为正有理数，且b1b21，总有ab11ab22a1b1a2b2.(2)(1)中命题的推广形式为：设a1，a2，an为非负实数，b1，b2，bn为正有理数若b1b2bn1，则ab11ab22abnna1b1a2b2anbn，用数学归纳法证明如下：a当n1时，b11，有a1a1，
5、成立b假设当nk时，成立，即若a1，a2，ak为非负实数，b1，b2，bk为正有理数，且b1b2bk1，则ab11ab22abkka1b1a2b2akbk.当nk1时，已知a1，a2，ak，ak1为非负实数，b1，b2，bk，bk1为正有理数，且b1b2bkbk11，此时0bk10，于是ab11ab22abk1k1(ab11ab22abkk)abk1k1a1a2ak1bk1abk1k1.因为1，由归纳假设可得a1a2akaa2ak.从而ab11ab22abkkabk1k11bk1abk1k1.又因为(1bk1)bk11，由得1bk1abk1k1(1bk1)ak1bk1a1b1a2b2akbka
6、k1bk1，从而ab11ab22abkkabk1k1a1b1a2b2akbkak1bk1.故当nk1时，成立由a，b可知，对一切正整数n，所推广的命题成立 名师点评解决数学归纳法中“归纳猜想证明”问题及不等式证明时要特别关注：一是需验证n1，n2时结论成立，易忽略验证n2；二是需要熟练掌握数学归纳法几种常见的推证技巧，才能快速正确地解决问题除此外，应用数学归纳法时，以下几点容易造成失分：1把初始值搞错；2在推证nk1时，没有用上归纳假设；3对项数估算的错误，特别是寻找nk与nk1的关系时，项数发生的变化被弄错数列xn满足x10，xn1xxnc(nN*)(1)证明：xn是递减数列的充分必要条件是
7、c0；(2)求c的取值范围，使xn是递增数列解：(1)证明：先证充分性，若c0，由于xn1xxncxncxn，故xn是递减数列；再证必要性，若xn是递减数列，则由x2x1，可得c0.(2)()假设xn是递增数列由x10，得x2c，x3c22c.由x1x2x3，得0c1.由xnxn1xxnc知，对任意n1都有xn0，即xn1.由式和xn0还可得，对任意n1都有xn1(1)(xn)反复运用式，得xn(1)n1(x1)(1)n1，xn1和 xn(1)n1两式相加，知21(1)n1对任意n1成立根据指数函数y(1)n的性质，得210，c，故0c.()若00，即证xn 对任意n1成立下面用数学归纳法证明当0c时，xn对任意n1成立(i)当n1时，x10，结论成立(ii)假设当nk(kN*)时结论成立，即xn.因为函数f(x)x2xc在区间内单调递增，所以xk1f(xk)f()，这就是说当nk1时，结论也成立故xnxn，即xn是递增数列由知，使得数列xn单调递增的c的范围是.
