1、 河北省衡水中学2014届高三内部模拟测试（一）数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置.1、已知是虚数单位，和都是实数，且，则等于（ ）ABC1D-12、若函 数的 表 达 式 是A B CD3、已知数列an满足3an+1+an=4(n1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|c，试求的取值范围18、(本小题满分12分)在平面内，不等式确定的平面区域为，不等式组确定的平面区域为.（）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”. 在区域任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域
2、的概率；（）在区域每次任取个点，连续取次，得到个点，记这个点在区域的个数为，求的分布列和数学期望19（本小题满分12分）如图，分别是正三棱柱的棱、的中点，且棱，.（）求证：平面；（）在棱上是否存在一点，使二面角的大小为，若存在，求的长，若不存在，说明理由。20已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围21、(本小题满分12分)设函数 (1)当时，求函数的最大值；(2)令，（）其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；(3)当，方程有
3、唯一实数解，求正数的值22、4-1（几何证明选讲）（本小题10分）如图, 内接于, 是的直径, 是过点的直线, 且. () 求证: 是的切线;.ABCOEDP()如果弦交于点, , , , 求.23.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中, 过点作倾斜角为的直线与曲线相交于不同的两点. () 写出直线的参数方程;() 求 的取值范围.24.选修4-5：不等式选讲设不等式的解集为, 且.() 试比较与的大小;() 设表示数集中的最大数, 且, 求的范围.25、实验班附加已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足（）设，求函数在上的最大值；（）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取
4、值范围ABCDD AAAAD AB13. 14. 15. 16. 17. 18. 解：（）依题可知平面区域的整点为：共有13个，上述整点在平面区域的为：共有3个， . （4分）（）依题可得，平面区域的面积为，平面区域与平面区域相交部分的面积为.（设扇形区域中心角为，则得，也可用向量的夹角公式求）.在区域任取1个点，则该点在区域的概率为，随机变量的可能取值为：.， ， ，的分布列为 0123的数学期望：.（12分）（或者：，故）.19、解】【法一】（）在线段上取中点，连结、.则，且，是平行四边形3，又平面，平面，平面.5（）由，得平面.过点作于，连结.则为二面角的平面角8在中，由，得边上的高为，
5、又，.11在棱上时，二面角总大于.故棱上不存在使二面角的大小为的点. 12【法二】建立如图所示的空间直角坐标系，则、.、.4（）且平面，平面.5（）取，则，.，即为面的一个法向量7同理，取，则，.，为平面的一个法向量9，二面角为. 又，二面角大于. 11在棱上时，二面角总大于.故棱上不存在使二面角的大小为的点. 1220. 解答：解：（1）由题意可设椭圆方程为（ab0），则则故所以，椭圆方程为（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m21）=0，则=64k2b216（1
6、+4k2b2）（b21）=16（4k2m2+1）0，且，故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以=k2，即+m2=0，又m0，所以k2=，即k=由于直线OP，OQ的斜率存在，且0，得0m22且m21设d为点O到直线l的距离，则SOPQ=d|PQ|=|x1x2|m|=，所以SOPQ的取值范围为（0，1）21. 所以， 当时，取得最大值，所以8分(3)因为方程有唯一实数解，因为，所以方程（*）的解为，即，解得12分22. （）证明： 为直径，为直径，为圆的切线 4分（） 在直角三角形中 10分23. （） 为
7、参数） 4分（） 为参数）代入，得 ， 10分24.（）， 4分（） 10分25、（）， ，函数的图像关于直线对称，则 直线与轴的交点为，且，即，且，解得，则 故， 其图像如图所示当时，根据图像得：（）当时，最大值为；（）当时，最大值为；（）当时，最大值为 8分（）方法一：，则， ， 当时，不等式恒成立等价于且恒成立，由恒成立，得恒成立，当时， ， 又当时，由恒成立，得，因此，实数的取值范围是12分方法二：（数形结合法）作出函数的图像，其图像为线段（如图），的图像过点时，或，要使不等式对恒成立，必须， 又当函数有意义时，当时，由恒成立，得，因此，实数的取值范围是 12分方法三：， 的定义域是，要使恒有意义，必须恒成立，即或 由得，即对恒成立，令，的对称轴为，则有或或解得 综合、，实数的取值范围是 12分
