1、第 1 页（共 7 页）2022 年锦州市普通高中高三质量检测数学（参考答案及评分标准）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.C B B A A D C A 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.ABD 10.CD 11.ACD 12.AC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.0.314.3215.53 16.2，23 四、解答题：本题共 6 小题，共 70
2、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分 10 分）解：(1)=12 sin，=12 sin，因为=2，=，所以=2，2 分 由正弦定理可得sinsin=2.4 分(2)由(1)知=2，由余弦定理2=2+2 2cos，又cos=14，=2，所以4=2+42 42 14，所以=1，=2，6 分 因为cos=14，且0 203，所以建议王某选择报团游 12 分 19.（本题满分 12 分）解：(1)在等比数列中，1，且2=2，1+3=5，则1=21+12=5，解得1=1=2 或1=4=12(舍).2 分 =21.4 分(2)选择条件，1=1，=，当 2时，1=(1)1，5 分
3、可得=1=(1)1，整理得=1，6 分 数列为常数列，又1=1，所以=1，7 分 X0123P8274929127第 3 页（共 7 页）=21 1，8 分 =(1+2+22+.+21)=1(12)12 =2 1 ，9 分 令()=2 1 ，则()=2ln2 1 0在1,+)上恒成立，则()在1,+)上单调递增，即=2 1 在1,+)上单调递增，10 分 又6=57 100，11 分 存在 k，使得 100，k 的最小值为 7；12 分 评卷说明：1.没有证明单调性，没有求出 k 的最小值，但能举例说明存在 k 使得 100，比如10=1013 100，扣 2 分.2.没有证明单调性，但能说明
4、Tk 100且归纳出 k 的最小值扣 1 分）选择条件，2=3 1，当=1时，21=21=31 1，得1=1，5 分 当 2时，21=31 1，6 分 可得2(1)=3(1)，即2=3 31，得=31，7 分 数列是首项为 1，公比为 3 的等比数列，则=31，8 分 =21 31，9 分 因为n 1时 21 31，所以 100.12 分 20.（本题满分 12 分）（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接SO，因为四边形ABCD是菱形，所以O为AC,BD的中点，且BD AC,1 分 因为三棱锥S BCD是正三棱锥,SB=SD，O为BD的中点，所以BD SO，2 分 又SO AC=O,所以 B
5、D 平面 SAC.3 分 评卷说明：1.没有说明SO AC=O 扣一分.2.用向量证明：建系正确 1 分，求出法向量（或者直接用数量积得 0 证明垂直）1 分，结论 1 分.第 4 页（共 7 页）(2)作 平面于，则为正三角形的中心，在线段上，且=32，=13 =13 32=36，=23 =33，=2 2=43 13=1 如图，以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，4 分 则(0,32,0)，(12,0,0)，(0,32,0)，(12,0,0)，(0,36,1)，(0,36,12)，(0,33,12)，所以=(12,36,12)，=(12,33,12)，=(1,
6、0,0)，设1=(1,1,1)是平面的法向量，则1 =12 1 36 1+12 1=01 =12 1+33 1+12 1=0，取1=(1,0,1)，5 分 设2=(2,2,2)是平面的法向量，则2 =2=02 =12 2+33 2+12 2=0，取2=(0,3,2)，6 分 所以cos=1 2|1|2|=227=147，7 分 又因为二面角 是锐二面角，所以二面角 的余弦值为147 8 分（评卷说明：用几何法解答，找到二面角 3 分，求值正确 2 分）(3)直线与平面平行.理由如下：连接，由(1)知为的中点，又为的中点，所以/，9 分 又因为 平面，平面，所以直线/平面10 分 (或者用向量法
7、证明直线与平面平行：由(2)知n2=(0,3,2)是平面BDF的一个法向量，又(0,32,0)，(0,36,1)，所以=(0,233,1)，所以 n2=0 0+3 (233)+(2)(1)=0,第 5 页（共 7 页）所以 n2，9 分 又因为 平面，所以直线/平面10 分）设点与平面的距离为,则即为直线与平面的距离，因为=(0,32,0),2=(0,3,2)是平面的一个法向量，所以|2|2|=|00+3(32)+0(2)|7=3714 ,所以点与平面的距离为3714，11 分 所以直线与平面的距离为3714 .12 分 评卷说明：1.用几何法解答，找到垂线段 2 分，求出距离 2 分.2.用
8、等体积法，求出两个底面积 2 分，求出距离 2 分 21（本题满分 12 分）解：(1)由题意可知：(+2)2+2 (2)2+2=2，1 分 所以点到点1(2,0)与到点2(2,0)的距离之差为2，且2 0,0,0)，其中2=2，2=4，所以=1，=2，3 分 所以2=2 2=3，所以曲线的方程为2 23=1(0)4 分 评卷说明：没有说明是右支扣一分.(2)()证明：设直线的方程为=+2，(1,1)，(2,2)，其中1 0，2 0 联立=+22 23=1，消去，可得(32 1)2+12+9=0，5 分 由题意知32 1 0且=1442 36(32 1)=36(2+1)0，所以1+2=1232
9、1，12=9321 6 分 直线：=11+1(+1)，直线：=221(1)，第 6 页（共 7 页）由于点(1,1)在曲线上，可知12=3(12 1)，所以11+1=3(11)1，所以直线：=3(11)1(+1).联立，消去可得3(11)1(+1)=221(1)，即3(+1)1=12(11)(21)，所以3(+1)1=12(1+1)(2+1)=12212+(1+2)+1，所以3(+1)1=992122+321=9，所以=12，所以点在定直线=12上8 分()证明：由题意，与()同理可证点也在定直线=12上 设(12,)，(12,)，则 由于在直线：=11+1(+1)上，在直线：=22+1(+1
10、)上，所以=32 11+1，=32 22+1，9 分 所以=94 12(1+1)(2+1)=94 12(1+3)(2+3)=94 12212+3(1+2)+9=94 992362+9(321)=94，10 分 又因为=(32,)，=(32,)，所以 =94+=0，所以 12 分 22（本题满分12分）(1)解：函数()=，所以()=2，1 分 若 0，则 0都有()0,所以()在(0,+)为增函数，符合题意.2 分 若 0,因为()在(0,+)为增函数，所以 0，()0恒成立，即 0，2恒成立，令()=2，则()=2(+12)0，所以函数()在(0,+)上单调递增，()(0)=0，所以 0 这
11、与 0矛盾，所以舍去.3 分 综上，的取值范围是(,0 4 分(2)证明：1，2是函数()的两个不同的零点，所以1=1，2=2，5 分 第 7 页（共 7 页）显然1 0，2 0，则有1=+12 1，2=+12 2，所以1 2=12 1 12 2，不妨令1 2 0，设=12 1，于是得1=2(1)，2=2(1)，要证1+2=(+1)2(1)1，只需证 2(1)+1，即 2(1)+1 0，令()=2(1)+1，1，6 分则()=1 4(+1)2=(1)2(+1)2 0，所以函数()在(1,+)上单调递增，7 分 所以()(1)=0，于是得1+2 1，8 分 又1+2=2+12 ln(12)，要证1+2 2 2，只需证12 ln(12)2，即12 14，9 分 而12=()24(1)2，即证()24(1)2 14，即 1，即 +1 1，则()=1 12 12=(1)22 0，所以函数()在(1,+)上单调递减，11 分 所以()(1)=0，即有1+2 2 2，综上，1 1+2 2 2 12 分
