1、 第 1 页 共 5 页2020 届“三省十二校”联考 数学（理科）试题 第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合220AxR xx，1,0,1B，则 AB（）A 1,0,1B1,0 C0,1D 02.已知izi43为虚数单位i,则复数 z 在复平面上所对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.4log 0.4m,0.44n,0.50.4p，则().A mnp.B mpn.C pmn.D npm4如图，为等腰直角三角形，为斜边的高，为线段的中
2、点，则（）ABCD5某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 19801989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前出生A互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20 C互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 2020.2.19（考试时间：150 分钟总分：150 分）第 2 页 共 5 页6.已知,A B C
3、 是双曲线22221(0,0)xyabab上的三个点，AB 经过原点O，AC 经过右焦点 F，若 BFAC且2 AFCF，则该双曲线的离心率是（）A.35 B.317 C.217 D.49 7.函数22()logf xxx，则不等式0)3()1(fxf的解集为（）),4()1,.(A ),1()4,.(B )2,1()1,4.(C )4,1()1,1.(D 8.已知函数 2sin0,2fxx的两条相邻对称轴的距离为 2，把 fx 的图象向右平移 6 个单位得函数 g x 的图象，且 g x 为偶函数，则 fx 的单调增区间为（）A.42,2,33kkkZ B.4,33kkkZ C.2,2,63
4、kkkZ D.,63kkkZ 9已知直三棱柱111ABCA B C，的各顶点都在球 O 的球面上，且32,2BCACAB，若球 O 的体积为35160，则这个直三棱柱的体积等于（）A24 B38 C 8 D54 10在 ABC中，内角,A B C 所对的边分别为,a b c S 为 ABC的面积，sin AC222Sbc，且,A B C 成等差数列，则C 的大小为（）A 3 B 32 C 6 D 65 11已知函数2,0()e,0 xx xf xx，()exg x（e 是自然对数的底数），若关于 x 的方程()0g f xm恰有两个不等实根1x、2x，且12xx，则21xx的最小值为（）第 3
5、 页 共 5 页A 1(1ln 2)2 B 1ln22 C1ln 2 D 1(1ln 2)2 12.设 M，N 是抛物线2yx上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的斜率之积为12，则（）A|4 2OMON B以 MN 为直径的圆的面积大于4 C.直线 MN 过抛物线2yx的焦点 DO 到直线 MN 的距离不大于 2 第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填在横线上。13已知1 1211 2 32 2，若幂函数 af xx为奇函数，且在0 ，上递减，则a _ 14.函数()cosxf xex的图象在点(
6、0,(0)f处的切线的倾斜角为_ 15.有 4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省 4 个地方旅游，假设每名同学均从这 4 个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为_ 16如图，三棱锥 ABCD 中，ACADBCBD10，AB8，CD12，点 P 在侧面 ACD 上，且到直线 AB 的距离为21，则 PB 的最大值是_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内。17已知公差不为 0 的等差数列na满足93 a，2a 是71,aa的等比中项.(1)求数列na的通项公式；(2)数列 nb
7、满足)7(1nnanb,求数列 nb的前n 项的nS.18如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是正方形，1PAAB，2PBPD.第 4 页 共 5 页（1）证明：BD 平面 PAC；（2）若 E 是 PC 的中点，F 是棱 PD 上一点，且/BE平面 ACF，求二面角 FACD的余弦值.19.已知椭圆2222:1(0)5xyCbbb的一个焦点坐标为(2,0)（）求椭圆C 的方程；（）已知点(3,0)E，过点(1,0)的直线l（与 x 轴不重合）与椭圆C 交于,M N 两点，直线 ME 与直线5x 相交于点 F，试证明：直线 FN 与 x 轴平行 20一年之计在于春，一日之计在于晨，春
8、天是播种的季节，是希望的开端某种植户对一块地的*()n nN个坑进行播种，每个坑播 3 粒种子，每粒种子发芽的概率均为 12，且每粒种子是否发芽相互独立对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种（1）当n 取何值时，有 3 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？（2）当4n 时，用 X 表示要补播种的坑的个数，求 X 的分布列与数学期望 21.（本小题 12 分）已知函数1()sinln122mf xxxx，()fx是()f x 的导函数.（1）证明：当2m 时，()fx在(0,)上有唯一零点；（2）若存在12,(0,)x x ，且12xx时，12f xf x，
9、证明：212x xm.第 5 页 共 5 页请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。22（本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为6cos.以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为2cos1sinxtyt (t 为参数).（）若2，求曲线C 的直角坐标方程以及直线 l 的极坐标方程;（）设点 1,2 P，曲线C 与直线 l 交于BA、两点，求22PAPB的最小值.23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 已知函数 13fxxa aR （1）当2a
10、 时，解不等式 113xfx；（2）设不等式 13xfxx的解集为 M，若 1 1,3 2M，求实数a 的取值范围 第 1 页 共 6 页2020 届“三省十二校”联考 数学（理科）答案 一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B B D B C D B C A D 二、填空题 13 1 14.4 15 916 16 57 三、解答题：17（1）设等差数列的公差为，则 解得 或（舍去），.（2）,.18（1）证明：1PAABAD，2PBPD.222PAABPB，222PAADPD，PAAB，PAAD，ABADA，,AB AD 平面 ABCD PA
11、平面 ABCD，而 BD 平面 ABCD 第 2 页 共 6 页 PABD 又 ABCD 为正方形，ACBD，PAACA，,PA AC 平面.PAC BD 平面 PAC （2）解：如图，连接 ED，取 ED 的中点 M，设 ACBDO，连接OM，则 BEOM，从而 BE 平面 ACM，平面 ACM 与 PD 的交点即为 F 以OB、OC、OE为,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，20,02OC，10,0,2OE，2,0,02OD，21,0,244OEODOM，平面 ACF 即平面 ACM，设其法向量为,nx y z，则0,0,n OCn OM 即0,20,yxz 令1x，得1
12、,0,2n，易知平面 ACD 的一个法向量为0,0,1m，26cos,33m nm nm n .因为二面角 FACD为锐二面角，故所求余弦值为63 19（）由题意可知222,5.cab所以225,1ab.所以椭圆C 的方程为2215xy.（）当直线l 的斜率不存在时，此时 MNx轴.设1,0D，直线5x 与 x 轴相交于 第 3 页 共 6 页点G，易得点3,0E是点1,0D和点5,0G的中点，又因为 MDDN，所以 FGDN，所以直线/FNx 轴.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为10yk xk1122,M x yN xy.因为点3,0E，所以直线 ME 的方程为1133yyxx.令
13、5x，所以111125333Fyyyxx.由221,55yk xxy消去 y 得22221 510510kxk xk.显然0 恒成立.所以221212225110,.5151kkxxx xkk 因为2112111221113213212333Fyxyk xxk xyyyyxxx 222212121151103551513533kkkkkk x xxxxx 2222151 6510513kkkkkx，所以2Fyy.所以直线/FNx 轴.综上所述，所以直线/FNx 轴.20（1）当5n 或6n 时，有 3 个坑要补播种的概率最大，最大概率为 516；（2）见解（1）将有 3 个坑需要补种表示成 n
14、 的函数，考查函数随 n 的变化情况，即可得到 n 为何值时有 3 个坑要补播种的概率最大（2）n4 时，X 的所有可能的取值为 0，1，2，3，4分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可（1）对一个坑而言，要补播种的概率330133111222PCC，有 3 个坑要补播种的概率为3 12nnC.第 4 页 共 6 页欲使3 12nnC 最大，只需1331133111221122nnnnnnnnCCCC，解得56n，因为*nN，所以5,6,n 当5n 时，53515216C ；当6n 时，63615216C ；所以当5n 或6n 时，有 3 个坑要补播种的概率最大，最大概率为 51
15、6.（2）由已知，X 的可能取值为 0，1，2，3，4.14,2XB，所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P116143814116X 的数学期望1422EX.21（1）证明：当2m 时，1()sinln12f xxxx，11()1cos2fxxx.当(0,)x时，()fx为增函数，且133310344f，31()02f，()fx在(0,)上有唯一零点；当,)x 时，11()1cos2fxxx 11111022x厖，()fx在,)上没有零点.综上知，()fx在(0,)上有唯一零点.（2）证明：不妨设120 xx，由 12f xf x得1111 sinln122mxxx2221 sin
16、ln122mxxx，2121211lnlnsinsin22mxxxxxx.设()sing xxx，则()1 cos0g xx ，故()g x 在(0,)为增函数，第 5 页 共 6 页2211sinsinxxxx，从而2121sinsinxxxx，21lnln2mxx21212111sinsin22xxxxxx，2121lnlnxxmxx，下面证明：211221lnlnxxx xxx.令21xtx，则1t ，即证明1lnttt，只要证明1ln0ttt.（*）设1()lnth ttt，则21()02th tt t，()h t 在(1,)单调递减.当1t 时，()(1)0h th，从而（*）得证，
17、即211221lnlnxxx xxx.12mx x，即212x xm.22.（1）曲线 C:26cos，将cos,sinxy.代入得 x2+y2-6x0 即曲线 C 的直角坐标方程为(x-3)2+y29.直线 l:21xyt ，(t 为参数)，所以 x2，故直线 l 的极坐标方程为cos2 5 分（2）联立直线 l 与曲线 C 的方程得22(cossin)(sin1)9tt 即22(cossin)70tt 设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 121 22(cossin),7ttt t 因为22222212121 2()24(cossin)144sin 21814PAPBttttt
18、t 当sin 21 时取等号，所以22PAPB的最小值为 14.-10 分 22解：（1）依题意，直线 1l 的直角坐标方程为33yx，2l 的直角坐标方程为3yx 2 分 由=2 3 cos2sin得2=2 3 cos2sin，因为222,cos,sinxyxy，3 分 第 6 页 共 6 页所以22(3)(1)4xy，4 分 所以曲线C 的参数方程为32cos12sinxy （为参数）5 分（2）联立6=2 3 cos2sin得14OA，6 分 同理，22 3OB7 分 又6AOB，8 分 所以111sin4 2 32 3222AOBSOA OBAOB，9 分 即 AOB的面积为2 3 10 分
