1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.3.2向量数量积的运算律基础知识基本能力1掌握平面向量数量积的运算律及常用恒等式(重点)2理解数量积运算律的适用范围，并注意与实数乘法、数乘向量运算律的区别与联系(难点、易错点)1能正确地运用数量积的运算律进行相关的计算或证明(重点)2要注意运算律可以双向使用，并要知道数量积运算不满足结合律，也就是说，一般情况下(ab)ca(bc)(难点、易错点)向量数量积的运算律已知向量a，b，c与实数，则abba(ab)(a)ba(b)(ab)cacbc【自主测试1】下列命题正确的是()A|ab|a|b|Bab0|a|b|0Cab0|a|b|0D(ab)cacbc答案：
2、D【自主测试2】向量m和n满足|m|1，|n|，且m(mn)，则m与n夹角的大小为()A30 B45 C75 D135解析：设m与n的夹角为，则由m(mn)，知m(mn)0，即m2mn0，mnm2|m|21，cos ，45.答案：B【自主测试3】已知|a|4，|b|5，且a，b的夹角为60.求：(1)a2b2；(2)(2a3b)(3a2b)解：(1)a2b2|a|2|b|242529；(2)(2a3b)(3a2b)6a25ab6b2616545cos 606254.向量数量积的运算不满足结合律剖析：向量数量积的运算不满足结合律，即等式(ab)ca(bc)不一定成立，下面给出说明：思路一：举反例
3、如图所示，设a，b，c，且|1，|2，|3，则，ab|a|b|cosa，b1，bc|b|c|cosb，c3.(ab)cc，a(bc)3a.很明显c3a不成立，(ab)ca(bc )不成立故等式(ab)ca(bc)不一定成立思路二：下面用向量数量积的几何意义来分析由于向量的数量积是实数，则设ab，bc.则(ab)cc，a(bc) a.由于c，a是任意向量，则ca不一定成立故等式(ab)ca(bc)不一定成立题型一 有关向量的数量积、模、垂直等的计算【例题1】设O为ABC的外心，ODBC于点D，且|，|1，则()的值是()A1 B2 C D解析：由O是ABC的外心及ODBC可知，D为边BC的中点，
4、将变形为()，再利用数量积的运算律求解答案：A反思求解本题时，要注意几何性质的应用，将向量进行适当转化，转化的目的是用上已知条件另外，求平面向量的数量积时，常用到以下结论：(1)a2|a|2；(2)(xayb)(mcnd)xmacxnadymbcynbd，其中x，y，m，nR，类似于多项式的乘法法则；(3)(ab)2a22abb2；(4)(abc)2a2b2c22ab2bc2ac.【例题2】已知|a|1，|b|，(1)若ab，求ab；(2)若a，b的夹角为60，求|ab|.分析：(1)根据数量积的定义求解；(2)利用关系式a2|a|2可使向量的长度与向量的数量积互相转化解：(1)ab，a与b的
5、夹角为0或.当a与b的夹角为0时，ab|a|b|cos 01cos 0；当a与b的夹角为时，ab|a|b|cos 1(1).(2)|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 6012()2213.故|ab|.反思利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a2aa|a|2或|a|.(2)|ab|.【例题3】已知|a|5，|b|4，且a与b的夹角为60，若向量kab与a2b垂直，求k的值分析：由(kab)(a2b)，得(kab)(a2b)0，展开求解即可解：(kab)(a2b)，(kab)(a2b)0，即ka2(2k1)ab2b20，即k52(2k1)54cos
6、602420.解得k，故若向量kab与向量a2b垂直，则k的值为.反思(1)对数量积的运算律要熟练掌握(2)非零向量ab0ab是非常重要的性质，对于解决平面几何图形中的垂直问题有很大帮助，应熟练掌握题型二 有关几何证明问题【例题4】如图，AD，BE，CF是ABC的三条高求证：AD，BE，CF相交于一点分析：解答本题可先设两条高交于一点，再利用向量的数量积证明第三条高也过此点证明：设BE，CF交于点H，设a，b，h，则ha，hb，ba.，(ha)b0，(hb)a0.(ha)b(hb)a，化简得h(ba)0.AH与AD重合，即AD，BE，CF相交于一点反思向量作为一种工具在解决几何问题时有着广泛的
7、应用，几何问题向向量的转化是关键一步，同时注意向量的数量积及向量的运算律的运用；在应用时还要注意向量的相关概念与一些几何概念的区别，如向量的夹角与直线的夹角就不相同题型三 易错辨析【例题5】已知O为ABC所在平面内一点，且满足()(2)0，试判断ABC的形状错解：由已知()(2)0，可得()()()0，即()()0，或，即|，ABC为等腰三角形错因分析：误认为ab0a0或b0.实际上当ab时，ab0也成立正解：，2()().()(2)0，(A)()0.由数量积的运算律可化为0，即，即|2|2，ABAC，ABC为等腰三角形1有下面四个关系式：000；(ab)ca(bc)；abba；0a0.其中正
8、确的个数是()A4 B3 C2 D1解析：错误，因为向量数量积的结果是数量而不是向量；错误，因为向量数量积不满足结合律；显然正确；错误，因为实数与向量的积结果应是向量答案：D2如图所示，在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是()AB()()C()()0D解析：选项A显然正确；选项B中，菱形的对角线互相垂直，选项B正确；选项C中，而，选项C正确；选项D中，|cosBAD，|cos(BAD)|cosBAD，选项D错误答案：D3已知|a|3，|b|4，a，b的夹角为60，则|2ab|_.答案：24若向量a，b，c满足abc0，且|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca_.解析：解析一：根据已知条件，知|c|a|b|，cab，从而可知a与b同向，c与a，b反向所以有abbcca31cos 014cos 43cos 341213.解析二：因为(abc)2a2b2c22(abbcca)，所以abbcca13.答案：135在ABC中，若，求证：点O是ABC的垂心证明：由，得()0，0.，即OBCA同理，OCAB，OABCO为ABC的垂心6已知非零向量a，b满足a3b与7a5b互相垂直，a4b与7a2b互相垂直，求a与b的夹角解：由已知条件得得23b246ab0，2abb2，代入得a2b2，|a|b|，设向量a与b的夹角为，则cos .0，.故a与b的夹角为.高考资源网版权所有，侵权必究！
