1、河南省南阳市第一中学2019-2020学年高二数学下学期第三次月考（6月）试题 文（含解析）一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）1. 在复平面内，复数的共轭复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：根据题意有，所以，故选C考点：复数的除法运算，共轭复数2. 变量，之间的一组相关数据如表所示：若，之间的线性回归方程为，则的值为（ ）45678.27.86.65.4A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题先求样本点中心，再利用线性回归方程过样本点中心直接求解即可.【详解】解：，所以样本点中心：，线性回归方程过样本点中心，则解得：，故选：C【点睛
2、】本题考查线性回归方程过样本点中心，是简单题.3. 将一些相同的“”按如图所示摆放，观察每个图形中的“”的个数，若第个图形中“”的个数是78，则的值是（ ）A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】B【解析】第一个图形有1个，第二个图形有1+2=3个，第三个图形有1+2+3=6个，第四个图形有1+2+3+4=10个，第n个图形有1+2+3+n=个，故=78，解得n=12或n=-13（舍去）.故选B4. 用反证法证明命题：“若，那么，中至少有一个不小于”时，反设正确的是( )A. 假设，至多有两个小于B. 假设，至多有一个小于C. 假设，都不小于D. 假设，都小于【答案】D【解析】试题分析
3、：根据题意，由于反证法证明命题:“若，那么，中至少有一个不小于”时，即将结论变为否定就是对命题的反设，因此可知至少有一个的否定是一个也没有，或者说假设，都小于，故选D.考点：反证法.5. 若复数满足(i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】因为，所以该复数在复平面内对于的点位于第三象限，应选答案C6. 将正整数排成表：则在表中数字2020出现在（ ）A. 第44行第83列B. 第45行第83列C. 第44行第84列D. 第45行第84列【答案】D【解析】【分析】利用已知条件，判断归纳出各行的规律，然后转化求解即
4、可【详解】解：因为每行的最后一个数分别是1，4，9，16，可归纳出第行的最后一个数是，因为，所以2020出现在第45行，又，所以2020出现在第45行第84列故选：【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）7. 极坐标方程表示的曲线是（ ）A. 一个圆B. 两个圆C. 两条直线D. 一个圆和一条直线【答案】D【解析】分析：化为，然后化为直角坐标方程即可得结论.详解：化为，因为表示一条直线表示圆，所以，极坐标方程表示的曲线是一个圆和一条直线，故选D.点睛：本题主要考查极坐标方程的应用，属于中档题. 极坐标方程
5、与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题8. 下列命题中正确的个数（ ）“，”的否定是“，”；用相关系数可以刻画回归的拟合效果，值越小说明模型的拟合效果越好；命题“若，则”的逆命题为真命题；若的解集为，则.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】写出全称命题的否定判断；由相关指数的大小与拟合效果的关系判断；由不等式的性质判断；由的解集为求得的范围判断【详解】解：对于，“，”的否定是“，”，故错误；对于，用相关指数可以刻画回归的拟合效果，值越大说明模型的拟合效果越好，故错误；对于，命题“若，则”的逆命题为“若，则”，是真命
6、题，故正确；对于，当时，化为，解得，不合题意；当时，要使的解集为，则，解得若的解集为，则故为真命题正确命题的个数是2个故选：C【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的真假判断与命题的否定，训练了一元二次不等式的解法，属于中档题9. 若圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）A. 相交且过圆心B. 相交但不过圆心C. 相切D. 相离【答案】B【解析】【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心到直线的距离，得到直线与圆的位置关系为相交【详解】根据题意，圆的参数方程为（为参数）
7、，则圆的普通方程为，其圆心坐标为，半径为2.直线的方程为（为参数），则直线的普通方程为，即，圆心不在直线上.圆心到直线的距离为，即直线与圆相交.故选A.【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.10. 定义两种运算“”与“”，对任意，满足下列运算性质：，；（） ，则（2020）（20202018）的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据新运算的定义分别得出2020和20202018的值，可得选项.【详解】由（） ，得（+2），又，所以， ，以此类推，202020182018，又，所以， ，以此类推，
8、2020，所以（2020）（20202018），故选：B.【点睛】本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题.11. 三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的，则的值可以是( ) (参考数据: ，) A. B. C. D. 【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：，不满足条件，不满足条件，满足条件，退出循环，输出的值为.故.故选C12. 在正整数
9、数列中，由1开始依次按如下规则取到的项：第一次取1；第二次取2个连续的偶数2，4；第三次取3个连续的奇数5，7，9：第四次取4个连续的偶数10，12，14，16按此规律一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，则在这个子数列中，第2020个数是（ ）A. 3976B. 3978C. 3980D. 3982【答案】A【解析】【分析】将数列进行重新按次数排列，得到奇数行和偶数行数的规律，确定2020位于第64行，然后进行推导即可【详解】解：将数列进行重新按次数排列，则奇数次取得都是奇数，偶数次取得都是偶数，每一行的个数和次数相同，每一行的最后一个数为1，4，9，16
10、，25，则第行的最后一个数为，则前项共取了个数，当时，项，当时，项，则2020个数必在第64行，偶数列中，63行的最后一个数为，则64行的第一个数为3970，第二个数为3972，第三个数为3974，第四个数即为第2020个数为3976，故选：A【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，将将数列进行重新按次数排列，寻找每行的规律是解决本题的关键考查学生的归纳推理能力，属于中档题.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 某小学开展“整本书阅读活动”，其中某班老师号召本班学生阅读唐诗三百首并背诵古诗，活动开展一个月后，老师抽四名同学（四名同学编号为1，2，3，4）了解能够背诵古诗多少情况，四名同学分别对
11、老师做了以下回复：1说：“2比4背的少”；2说：“1比3背的多”；3说：“我比4背的多”；4说：“3比2背的多”.经过老师测验发现，四名同学能够背诵古诗数各不相同，四名同学只有一个说的正确，而且是背诵的最少的一个.四名同学的编号按能够背诵数量由多到少组成的四位数是_.【答案】4231【解析】【分析】由题可得3说的一定是假话，则3背的比4少；然后依次假设2，4，1说的是真话，推出矛盾或正确结果，继而可以得解【详解】解：由题可得3说的一定是假话，则3背的比4少；若2说的是真话，则，那么1说的是假话，4说的是假话，则2比4背的多，3比2背的少，又3背的比4少，则，即背诵最少的是编号3不是编号2，与题
12、目矛盾，故2说的是假话；若4说的是真话，则，那么1说的是假话，2说的是假话，则2比4背的多，1比3背的少，又3背的比4少，则，显然矛盾，故4说的是假话；若1说的是真话，则，那么2说的是假话，4说的是假话，则3比1背的多，3比2背的少，又3背的比4少，则，又背诵数量最少的应为编号1，满足题目条件，故1说的是真话；则背诵数量由多到少组成的四位数为4231故答案为：【点睛】本题考查合情推理，要一一分析，推出矛盾，易出错，属于中档题14. 执行如图所示的程序框图，令，若，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】执行该程序的功能是计算并输出分段函数，讨论的取值情况，求出时的解集即可【详解】执行该程
13、序的功能是计算并输出分段函数，当时，由，解得，；当时，由，解得，；当时，由，解得；综上所述，的取值范围是，故答案为： .【点睛】本题考查了程序框图与分段函数的应用问题，也考查了分类讨论的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15. 已知点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最大值是_.【答案】【解析】【分析】先将极坐标方程化为直角坐标方程，再利用几何方法求圆上的点到直线距离的最大值.【详解】由，得，则直角坐标方程为，即.由，得，则直角坐标方程为，即.点在以为圆心，半径圆上，所以所求最大值为点到直线的距离再加上半径，即为.故答案为：.【点睛】本题考查直线和圆的极坐标方程，考查与圆有关的
14、最值问题.解决极坐标问题的常用方法是先化成直角坐标再求解.16. 观察下列各式：，则_.(用数字作答)【答案】13959【解析】【分析】观察前3个等式，可推出和，由此得出，即可求出结果【详解】解：观察前3个等式，可知：，以此类推，可得：，所以，即.故答案为：13959.【点睛】本题考查归纳推理，由几个特殊的例子，分析其结构特征，总结出一般规律三、解答题：（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】1）直接利用已知条件利用
15、等差数列通项公式及求和公式，结合等比中项求出数列的通项公式（2）利用（1）的通项公式，裂项相消求出数列的和【详解】（1）根据为等差数列，.前项和为，且，即，成等比数列.可得：.由解得：，数列的通项公式为 （2）由，即=.那么：数列的前项和.【点睛】本题考查等差数列及等比数列的通项公式，考查裂项相消求和，是基础题18. 在梯形中，已知，（1）求的长； （2）求的面积.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）由，得到，在中，利用正弦定理求解.（2）在中，求得 ，在梯形中，由，得到，得到，在中，由余弦定理求得 ，然后由求解.【详解】（1）， ，在中，由正弦定理得： ，即，解得： .（2）中，=，
16、又在梯形中， .在中，由余弦定理得：，即：，解得 或 (舍)，又， .【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19. 如图，在四棱锥SABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，CDSD，点M是SA的中点，AD/BC，ABC90，ABADBCa（1）求证：平面MBD平面SCD；（2）若SDC120，求三棱锥CMBD的体积【答案】（1）证明见解析；（2）a3【解析】【分析】（1）取BC中点E，连接DE，则ABADa，BC2a由题意可得：四边形ABED为正方形，可得BD2+CD2BC2，于是BDCD，根据面面垂直的性质定理可得：BD
17、平面SCD，进而得出平面MBD平面SCD（2）过点S作SHCD，交CD的延长线于点H，连接AHSDH为SD与底面ABCD所成的角，即SDH60点M到平面ABCD的距离dSH可得三棱锥CMBD的体积VBDCDd【详解】（1）证明：取BC中点E，连接DE，则ABADa，BC2a由题意可得：四边形ABED为正方形，且BEDECEa，BDCDaBD2+CD2BC2，则BDCD，又平面SCD平面ABCD，平面SCD平面ABCDCD，BD平面SCD，又BD平面MBD，平面MBD平面SCD（2）解：过点S作SHCD，交CD的延长线于点H，连接AH则SDH为SD与底面ABCD所成的角，即SDH60由（1）可得
18、：SDCDa，在RtSHD中，SDa，HDa，SHa点M到平面ABCD的距离da三棱锥CMBD的体积VBDCDda3【点睛】本题考查了空间位置关系、三棱锥的体积、空间角、转化方法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题20. 在直角坐标系中，圆的参数方程为 （为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）射线与圆的交点为，与直线的交点为，求的取值范围【答案】（1）圆的极坐标方程为.直线的直角坐标方程为.（2）【解析】【分析】(1)首先化为直角坐标方程，然后转化为极坐标方程可得C的极坐标方程，展开三角函数式可得l
19、的普通方程；(2)利用极坐标方程的几何意义，将原问题转化为三角函数求值域的问题，据此整理计算可得的取值范围【详解】（1）圆的普通方程是，将，代入上式：，化简得：，所以圆的极坐标方程为.直线的极坐标方程为，将，代人上式，得：，直线的直角坐标方程为.（2）设，因为点在圆上，则有，设，因为点在直线，则有，所以，即，故的范围为.【点睛】本题主要考查极坐标方程与普通方程的转化，极坐标的几何意义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21. 随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大.长沙某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一
20、款流量包.该通信公司选了5个城市（总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近）采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价:(单位：元/月）和购买人数(单位：万人）的关系如表:流量包的定价（元/月）3035404550购买人数（万人）18141085（1）根据表中数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系？并指出是正相关还是负相关；（2）求出关于的回归方程；若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位25元/ 月，请用所求回归方程预测长沙市一个月内购买该流量包的人数能否超过20 万人.参考数据：，.参考公式：相关系数，回归直线方程，其
21、中，.【答案】(1)见解析;(2);一个月内购买该流量包的人数会超过20万人.【解析】【分析】(1) 根据题意，得,计算出相关系数，从而可以作出判断;(2) 求出回归直线方程，由知，若，则，从而预测长沙市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人【详解】（1）根据题意，得，.可列表如下根据表格和参考数据，得，.因而相关系数.由于很接近1，因而可以用线性回归方程模型拟合与的关系. 由于，故其关系为负相关.（2），因而关于的回归方程为.由知，若，则，故若将流量包的价格定为25元/月，可预测长沙市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人.【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤
22、：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数；写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.22. 已知函数（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数a的值；（2）若函数在上单调递增，求实数a取值范围；（3）当时，若方程有两个相异实根，求证【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）先利用导数的几何意义求出切线斜率，进而利用两直线的垂直关系建立参数所满足的方程进行求解；（2）将函数的单调性转化为导函数的符号不变性进而分离参数，将不等式恒成立转化为新函数的最值问题，再利用导数求解最值，从而求得实数的取值范围；（3）当时，若方程有两个相异实根，即，令，讨论的单调性，得，令，设，求的单调性，得，即，结合的单调性即可证得结论.【详解】（1）依题意知的定义域为，求导得，根据题意的斜率为，所以在处的切线斜率为3，即，.（2）令，依题意有对恒成立，即恒成立，单调递减，实数a的取值范围为. （3）当时，若方程有两个相异实根，即，又令，在上递减，递增，则，且，又，故，设，在递增，又在上递减，即【点睛】本题考查导数的几何意义、两直线的位置关系、函数的单调性、不等式恒成立求参数的取值范围以及构造函数证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想以及基本的计算能力和逻辑推理能力.
