1、专题7 解析几何第29练 椭圆问题中最值得关注的基本题型椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多.分析历年的高考试题，在填空题、解答题中都有涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握.对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解.题型分析 高考展望 体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1234解析 由题意知25m216，解得m29，又m0，所以m3.1.(2015广东改编)已知椭圆x225y2m21(m0)的左焦点为 F1(4,0)，则 m_.312342.(2015福建改编)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个
2、端点为 M，直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点.若 AFBF4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆 E 的离心率的取值范围是_.解析 答案 0，321234解析答案 3.(2016课标全国丙改编)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点.P 为椭圆 C 上一点，且PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线BM 经过 OE 的中点，则椭圆 C 的离心率为_.解析 设 M(c，m)，则 E0，amac，OE 的中点为 D，则 D0，am2ac，又 B，D，M
3、三点共线，所以m2ac mac，a3c，e13.131234解析答案(1)求椭圆C的方程；4.(2016北京)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB 的面积为 1.解 由已知ca 32，12ab1.又 a2b2c2，解得 a2，b1，c 3.椭圆 C 的方程为x24y21.1234解析答案(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：ANBM为定值.返回 高考必会题型 题型一 利用椭圆的几何性质解题 例 1 如图，焦点在 x 轴上的椭圆x24y2b21 的离心率 e12，F，A 分别是椭圆的
4、一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PFPA的最大值和最小值.解析答案 解析答案(1)求椭圆C的离心率；变式训练 1 如图，F1，F2 分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点，A 是椭圆 C 的顶点，B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点，F1AF260.解 由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以 e12.解析答案(2)若AF1B 的面积为 40 3，求椭圆 C 的方程.题型二 直线与椭圆相交问题 例 2(2015课标全国)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，点(2，2)在 C 上.解析答案(1)求椭圆C的方程；解 由题意得a2b2
5、a 22，4a2 2b21，解得a28，b24.所以椭圆 C 的方程为x28y241.点评(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.将 ykxb 代入x28y241，解析答案 证明 设直线l：ykxb(k0，b0),A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).得(2k21)x24kbx2b280.故 xMx1x222kb2k21，yMkxMbb2k21.于是直线 OM 的斜率 kOMyMxM 12k，即 kOMk12.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.解析答案(1)求椭圆C的方程；变
6、式训练 2 椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，且过其右焦点 F与长轴垂直的直线被椭圆 C 截得的弦长为 2.解析答案(2)设点 P 是椭圆 C 的一个动点，直线 l：y 34 x 32 与椭圆 C 交于 A，B两点，求PAB 面积的最大值.题型三 利用“点差法，设而不求思想”解题 例 3 已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的一个顶点为 B(0,4)，离心率 e 55，直线 l 交椭圆于 M，N 两点.(1)若直线 l 的方程为 yx4，求弦 MN 的长；解析答案 点评(2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式.解析答案(1)求椭圆方程；变式训练 3
7、 已知椭圆x2a2y2b21(ab0)，焦点在直线 x2y20 上，且离心率为12.解析答案 解 椭圆x2a2y2b21(ab0)，焦点在直线x2y20上，令y0，得焦点(2,0)，c2，离心率 eca12，2a12，解得a4，b216412，椭圆方程为x216y2121.返回(2)过P(3,1)作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程.解析答案 高考题型精练 12345678910 11解析答案 在RtOFB中，OFOBBFOD，1.(2016课标全国乙改编)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为_.解析
8、如图，由题意得，BFa，OFc，OBb，OD142b12b.即 cba12b，代入解得 a24c2，故椭圆离心率 eca12.1212345678910 11解析答案 当P，A，F2共线时取最大值.2.已知椭圆x29y251，F1，F2 分别是椭圆的左，右焦点，点 A(1,1)为椭圆内一点，点 P 为椭圆上一点，则 PAPF1 的最大值是_.解析 PAPF1PA2aPF22aAF26 2，6 212345678910 11解析答案 由题意，设F是左焦点，则APF周长AFAPPFAFAP2aPF 46PAPF10AF(A，P，F三点共线，且P在AF的延长线上时，取等号)，3.已知椭圆x29y25
9、1 的右焦点为 F，P 是椭圆上一点，点 A(0,2 3)，当APF 的周长最大时，直线 AP 的方程为_.解析 椭圆x29y251 中 a3，b 5，ca2b22，直线 AP 的方程为 x2 y2 31，即 y 3x2 3.y 3x2 312345678910 114.如果椭圆x236y29 1 的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是_.解析 答案 x2y80 12345678910 115.设 F1，F2 分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点，点 P 在椭圆 C上，线段 PF1 的中点在 y 轴上，若PF1F230，则椭圆的离心率为_.解析 答案 331234
10、5678910 11解析答案 解析 设右焦点为F2(1,0)，则AF14AF2，BF14BF2，所以AF1BF1AB8AB(AF2BF2)，显然AF2BF2AB，当且仅当A，B，F2共线时等号成立，所以当直线l过点F2时，ABF1的周长取最大值8，此时直线方程为yx1，即xy10.6.过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆 C：x24y231 于 A，B 两点，F1 为椭圆的左焦点，当ABF1 周长最大时，直线 l 的方程为_.xy10 12345678910 117.(2016江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点，直线 yb2与椭圆交于 B，
11、C 两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_.解析 答案 6312345678910 11解析答案 解析 圆心C(1,0)为椭圆的右焦点，8.P 为椭圆x29y281 上的任意一点，AB 为圆 C：(x1)2y21 的任一条直径，则PAPB的取值范围是_.PAPB(PCCA)(PCCB)(PCCA)(PCCA)PC 2CA 2|PC|21，显然|PC|ac，ac2,4，所以PAPB|PC|213,15.3,1512345678910 11解析答案(1)求该椭圆的标准方程；9.设椭圆的中心为原点 O，焦点在 x 轴上，上顶点为 A(0,2)，离心率为25 5.解 设椭圆的标准方程为x2a2y2b
12、21(ab0)，ca25 5，1b2a245，即b2a215，又b24，a220，椭圆的标准方程为x220y241.12345678910 11解析答案(2)设B1(2,0)，B2(2,0)，过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2QB2，求直线l的方程.12345678910 1110.(2016课标全国乙)设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为：x24y231(y0).解析答案 解 因为ADAC，EBAC，故EBDAC
13、DADC，所以EBED，故EAEBEAEDAD.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而AD4，所以EAEB4.由题设得A(1,0)，B(1,0)，AB2，12345678910 11(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过点B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.解析答案 12345678910 11解析答案 11.(2015安徽)设椭圆 E 的方程为x2a2y2b21(ab0)，点 O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点 B 的坐标为(0，b)，点 M 在线段 AB 上，满足 BM2MA，直线 OM 的斜率为 510.(1)求椭圆 E 的离心率 e；解 由题设条件知，点 M 的坐标为2a3，b3，又 kOM 510，从而 b2a 510.进而 a 5b，ca2b22b，故 eca2 55.12345678910 11解析答案 证明 由 N 是 AC 的中点知，点 N 的坐标为a2，b2，可得NM a6，5b6，(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，证明：MNAB.又AB(a，b)，从而有ABNM 16a256b216(5b2a2).由(1)的计算结果可知a25b2，所以ABNM 0，故 MNAB.返回
