1、课时限时检测(三十三)数列的综合应用(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难数列与函数5,8数列与不等式2,3119等差与等比数列1,104数列实际应用76,12一、选择题(每小题5分，共30分)1已知各项不为0的等差数列an，满足2a3a2a110，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8()A2 B4 C8 D16【解析】数列an是等差数列，a3a112a7，由2a3a2a110得4a7a0，又an0，a74，b6b8b4216.【答案】D2(2014大庆模拟)已知an为等比数列，下面结论中正确的是()Aa1a32a2Baa2aC若a1a3，则a1a2
2、D若a3a1，则a4a2【解析】设an的公比为q(q0)，则a2a1q，a3a1q2，aaa(1q4)a2q22a.【答案】B3已知数列an的前n项和为Sn，且a11，an13Sn(n1，nN*)，第k项满足750ak900，则k等于()A8 B7 C6 D5【解析】由an13Sn及an3Sn1(n2)，得an1an3an，即an14an(n2)，又a23S13，an又750ak900，验证k6.【答案】C4(2014天水模拟)在如图551所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么xyz的值为()2412xyz图551A1 B2 C3 D4【解析】由题知表格中
3、第三列中的数成首项为4，公比为的等比数列，故有x1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，故第四列的公比为.y53，同理z64.因此xyz2.【答案】B5(2014潍坊模拟)在数列an中，an1ana(nN*，a为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量，满足，三点A，B，C共线且该直线不过O点，则S2 013的值为()A1 005 B2 014 C2 013 D2 012【解析】根据三点A，B，C共线，有1，即a1a2 0132.由等差数列的前n项和公式有S2 013(a1a2 013)2 013.【答案】C6(2014洛阳模拟)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，
4、相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()A和 B和 C和 D.和【解析】设树苗放在第i个树坑旁边(如图所示)则各个树坑到第i个树坑距离的和是S10(i1)10(i2)10(ii)10(i1)i10(20i)1010(i221i210)当i10或11时，S有最小值【答案】D二、填空题(每小题5分，共15分)7九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升【解析】设自
5、上第一节竹子容量为a1，则第9节容量为a9，且数列an为等差数列则解之得a1，d，故a5a14d.【答案】8已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_【解析】an1an2n，anan12(n1)(n2)an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(2n2)(2n4)233n2n33，n1，令f(x)x1(x0)，f(x)在区间(0，)上递减，在区间(，)上递增，又56，且f(5)51，f(6)61，f(5)f(6)，的最小值为.【答案】9(2013江苏高考)在正项等比数列an中，a5，a6a73，则满足a1a2ana1a2an的最大正整数n的值为_【解析】设an的公比为q(
6、q0)，则由已知可得解得于是a1a2an(2n1)，a1a2anaqn2.由a1a2ana1a2an可得(2n1)n2，整理得2n12n2n5 .由2n2n2n5可得nn2n5，即n213n100，解得n，取n12，可以验证当n12时满足a1a2ana1a2an，n13时不满足a1a2ana1a2an，故n的最大值为12.【答案】12三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)(2014威海模拟)已知an为等差数列，且a35，a72a41.(1)求数列an的通项公式及其前n项和Sn；(2)若数列bn满足b14b29b3n2bnan求数列bn的通项公式【解】(1)设等差数列的首项和公差分
7、别为a1，d则，解得.ana1(n1)d2n1，Snn2(2)b14b29b3n2bnanb14b29b3(n1)2bn1an1，n2得n2bnanan12，n2bn，n2，b1a11bn11(12分)(2013湖北高考)已知Sn是等比数列an的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2a3a418.(1)求数列an的通项公式(2)是否存在正整数n，使得Sn2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由【解】(1)设等比数列an的公比为q，则a10，q0.由题意得即解得故数列an的通项公式为an3(2)n1.(2)由(1)有Sn1(2)n.假设存在n，使得Sn2 013，
8、则1(2)n2 013，即(2)n2 012.当n为偶数时，(2)n0，上式不成立；当n为奇数时，(2)n2n2 012，即2n2 012，即n11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为n|n2k1，kN，k512(13分)(2014中山模拟)已知f(x)，数列an的前n项和为Sn，点Pn在曲线yf(x)上(nN*)，且a11，an0.(1)求数列an的通项公式；(2)数列bn的前n项和为Tn，且满足16n28n3，b11，求数列bn的通项公式；(3)求证：Sn1，nN*.【解】(1)f(an)且an0，4(nN*)，数列是首项，公差d4的等差数列，14(n1)a，即an(nN*)(2)由an(nN*)，16n28n3得(4n3)Tn1(4n1)Tn(4n3)(4n1)，1数列是等差数列，首项为1，公差为1n，Tn4n23n，当n2时，bnTnTn18n7b11也满足上式，bn8n7，nN*.(3)an()Sna1a2an1
