1、考点07 函数的图像【考点分类】热点1 函数图像的识别1. 【2014高考福建卷文第8题】若函数的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ）2. 【2014高考山东卷文第6题】已知函数为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是（ ）A. B.C. D.3. 【2014高考陕西卷文第10题】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（A） （B） （C） （D）4. 【2014高考浙江卷文第8题】在同一坐标系中，函数，的图象可能是（ ）5.【2014高考江西（文） 10】在同一直角坐标系中，函数的图像不可能的是
2、（ ）6. 【2013高考湖北（文）5】小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( )7.【2013年山东（文）9】函数的图象大致为 8.【2013高考全国课标1（文）9】函数=在的图像大致为9. 【2013年高考福建（文）5】函数（ ）【答案】A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.10. 【2013年高考安徽（文) 8 】函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围为 (A) (B) (C) (D) 11.【2013年高考江西（文）10】如图，已知，圆心在上、半径为1的圆在=0时与
3、相切于点，圆沿以1的速度匀速向上移动，圆被直线所截上方圆弧长记为，令，则与时间（01，单位：s）的函数的图像大致为（ ）12. 【2013年高考浙江（文）8】已知函数=的图像是下列四个图像之一，且其导函数=的图像如下面右图所示，则该函数的图像是【方法规律】1.识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.（4）利用函数本身的性能或特殊点（与、轴的交点，最高点、最低点等）进行排除验证.2.函数
4、图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项【解题技巧】函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项【易错点睛】 1.函数图像左右平移平移的长度单位是加在上，而不是加在上，处理左右平移问题要注意平移方向与平移的长度单位. 2.在图像识别中忽视函数的定义域或有关性质分析不到位导致
5、解题出错.例 已知定义域为0,1上的函数图像如下图左图所示，则函数的图像可能是（ ）【错解】先将的图像沿y轴对折得到的图像，再将所得图像向左平移1个长度单位就得到函数的图像，故选A.【错因分析】没有掌握图像变换，图像平移长度单位是加在上，而不是加在上，本例因=，故先做对称变换后，应向右平移1长度单位.【预防措施】先将所给函数化为形式，若先做伸缩变换，再作平移变换，注意平移方向和平移单位.【正解】因=,先将的图像沿y轴对折得到的图像，再将所得图像向右平移1个长度单位就得到函数的图像，故选B.热点2 函数图像的应用1. 【2014高考福建卷文第15题】函数的零点个数是_.2. 【2014高考湖北卷
6、文第15题】如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成.若，则正实数的取值范围是 .【答案】【解析】“xR，f(x)f(x1)”等价于“函数yf(x)的图像恒在函数yf(x1)的图像的上方”，函数yf(x1)的图像是由函数yf(x)的图像向右平移一个单位得到的，如图所示因为a0，由图知6a1，所以a的取值范围为.3. 【2014高考江苏卷第13题】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 . 4. 【2014高考辽宁卷文第10题】已知为偶函数，当时，则不等式的解集为（ ）A B C D【答案】【解析】先画出当时，函数的图象，又为偶函数，
7、故将轴右侧的函数图象关于轴对称，得轴左侧的图象，如下图所示，直线与函数的四个交点横坐标从左到右依次为，由图象可知，或，解得，选A5. 【2014高考天津卷卷文第14题】已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_ 6. 【2014高考重庆卷文第10题】已知函数，且在（-1,1内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则问题转化为与的图象在内有且仅有两个交点；是一个分段函数，的图象是过定点的直线，作出图像如图所示，易求当直线与曲线在第三象限相切时，由图可知，或,故选A.7. 【2014高考安徽（文）9】若函数的最小值3，则实数的值为（ ）A
8、.5或8 B.或5 C. 或 D.或8. 【2013年高考安徽（文）10】已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（ ） （A）3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【答案】A【解析】，是方程的两根，由，则又两个使得等式成立，其函数图象如下：如图则有3个交点，故选A.9. 【2013年高考湖南（文）6】函数的图像与函数的图像的交点个数为（ ）A.0 B.1 C.2 D.310. 【2013年高考湖北（文）8】x为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为A奇函数 B偶函数 C增函数 D 周期函数【答案】D.【解析】作出函数的大致图象如下：观察图像易知，是周期函数，故选D.11. 【
9、2013年高考辽宁（文）12】已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记的最小值为的最大值为,则（A） （B） （C） （D） 12. 【2013年高考天津（文）8】设函数. 若实数a, b满足, 则(A) (B) (C) (D) 【方法规律】1研究函数的性质时一般要借助函数图象，体现了数形结合思想2有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解3方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解【解题技巧】1.为了更好的利用函数图像解题，准确的作出函数的图象是解题关键，要准确的作出图像必须做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数 函数、对数函数、
10、幂函数、形如的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程.2利用函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等3利用函数的图象研究方程根的分布或求根的近似解对所给的方程进行变形，转化为两个熟悉的函数的交点问题，作出这两个函数的图像，观察出交点个数即为方程解的个数，或找出解所在的区间或结合图像由解的个数找出参数满足的条件，从而求出参数的范围或参数的值【易错点睛】一个函数的图象关于原点(y轴)对称与两个函数的图象关于原点(y轴)对称不同
11、，前者是自身对称，且为奇(偶)函数，后者是两个不同的函数对称例 已知函数的定义域为R，则函数与函数的图像关于（ ）A直线=0对称 B.直线=0对称 C.直线对称 D.直线=2对称【错解】函数定义在实数集上，且，函数的图像关于直线=0对称，故选B.【错因分析】错用函数自身对称的结论处理两个函数对称问题.【预防措施】首先分析要解决的对称问题是自身的对称问题还是两个函数的对称问题，其次要掌握判断函数自身对称的方法和判断两个函数对称的方法.【正解】函数的图像是将函数的图像向右平移2个单位得到，而函数=的图像是先将的图像关于=0对称变换得到的图像，再将的图像向右平移2个单位得到，因此函数与函数关于=2对
12、称，故选D.【考点剖析】1.最新考试说明：在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题会用数形结合思想、转化与化归思想解决数学问题.2.命题方向预测：从近二年的高考试题来看，主要考查图象的辨识以及利用图象研究函数的性质、方程、不等式的解，多以选择题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象及应用.2015年高考对本节内容的考查仍将以函数图像识别与函数图象的应用为主，题型仍为选择题或填空题的形式备考时要求熟练掌握各种基本初等函数的图象及性质，加强函数性质的应用意识，另外还应熟练掌握各种图象变换的法则
13、.3.课本结论总结：（1）.画函数图象的一般方法描点法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出，其步骤为：先确定函数的定义域，化简给定的函数解析式，再根据化简后的函数解析式研究函数的值域、单调性、奇偶性、对称性、极值、最值，再根据函数的特点取值、列表，描点，连线，注意取点，一定要包括关键点，如极值点、与轴的交点等图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响（2）常见的图像变换 平移变换： 左右
14、平移：函数的图象可由函数的图象向左（+）或向右（）平移个单位得到；上下平移：（）的图象可由函数的图象向上（+）或向下（）平移个单位得到；伸缩变换函数是将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的得到；函数是将函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍的得到；对称变换函数图像关于轴对称得到函数图像；函数图像关于轴对称得到函数图像；函数图像关于原点对称得到函数图像；函数图像关于直线对称得到函数为图像翻折变换函数的图象这样得到：函数在轴右侧的图象保持不变，左侧的图象去掉后，再将右侧的图象翻折到轴左侧（函数为偶函数，其图象关于轴对称）;函数的图象是这样得到的：函数在轴上方的图象保持不变，把下方
15、的图象关于轴对称到上方（注意到函数的函数值都大于零）4.名师二级结论：（1）函数图像的几个应用判断函数的奇偶性、确定单调区间：图像关于原点对称是奇函数，图像关于y轴对称是偶函数.图像从左到右上升段对应的的取值范围是增区间，下降对应的的取值范围是减区间.方程的根就是函数与函数图像交点的横坐标.不等式的解集是函数的图像在函数图像上方的一段对应的的取值范围（交点坐标要通过解方程求得）（2）函数的图象的对称性若函数关于对称对定义域内任意都有=对定义域内任意都有=是偶函数；函数关于点（，0）对称对定义域内任意都有=是奇函数；若函数对定义域内任意都有,则函数的对称轴是；若函数对定义域内任意都有,则函数的对
16、称轴中心为；函数关于对称.(3) 明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换函数解析式的等价变换研究函数的性质5.课本经典习题：(1)新课标A版第 23 页，练习第2 题下图中哪几个图像与下述三个事件分别吻合的最好？请你为剩下的那个图像写出一个事件.(1) 我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到作业本在上学；(2) 我骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了一些时间；(3) 我出发后，心情轻松，缓缓前进，后来为了赶时间开始加速.【经典理由】本题主要考查了图像识别，与高考题中的图像识别题很类似(2) 新课标A版第 25 页
17、，习题1.2 B组第1 题函数的图像如图所示（图中曲线与直线无限接近，但永不相交）.函数的定义域是什么？函数的值域是什么？取何值时，只有唯一的与之对应？【经典理由】本题主要考查了图像应用，与高考题中的图像识应用很类似6.考点交汇展示：(1)与方程的解问题交汇例1已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】【解析】方程有两个不相等的实根，等价于函数，的图象有两个不同的交点，如图：在同一坐标系中作出函数，的图象，观察图象可知：，所以；故选 (2)与函数性质交汇例2【2014福建四地六校高三上期第二次月考（文）】已知函数的图象如右图所示，则的解析式可以
18、是 ( )A B C D (3)与函数零点问题交汇例3 【2014届江西南昌高三二模（文）】已知函数是周期为2的周期函数，且当时，则函数的零点个数是（ ）A9 B10 C11 D12（4）与不等式交汇例4 【2014年高考原创预测卷三（浙江版理科）】不等式在内恒成立，实数的取值范围为（ ）A. B. C(1，) D(，2) 【考点特训】1. 【2014届河南中原名校仿真模拟考试(文)】函数 的图像为【答案】D【解析】因为=，其图像为D2. 【2014届福建福州三中考前模拟(文)】函数的图像大致是（ ）3. 【2014届福建高考压轴(文)】现有四个函数：；的部分图象如下：则按照从左到右图象对应的
19、函数序号排列正确的一组是（ ）A B C D4. 【2014河南三市调研】若实数x，y满足|x1|ln0，则y关于x的函数图象的大致形状是()5. 【2014届福建福州高三5月综合练习（文）】某公司的一品牌电子产品,2013年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月份公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升,九月份,公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落.下面大致能反映出公司2013年该产品销售量的变化情况的图象是( )6. 【2014届山东淄博高三阶段考试(文)】 函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是A. B.C. D. 7. 【201
20、4届山东日照高三5月统考(文)】函数的部分图象大致为（ ）【答案】【解析】函数是奇函数,排除BD;当时,排除C.选.8. 【2014届山东青岛高三4月统考(文)】已知定义在实数集上的偶函数满足，且当时，则关于的方程在上根的个数是（ ）A B C D 9. 【2014届福建安溪八中12月考（文）】函数的图像有可能是( )10. 【2014届云南名校高三12月联考（文）】若函数=(0且1)在R上既是奇函数，又是减函数，则=的图象是( )A. B. C. D.11. 【2014届甘肃武威铁路中学高三数学专题训练六】已知函数f(x)，x1，x2，x3，x4，x5是方程f(x)m的五个不等的实数根，则x
21、1x2x3x4x5的取值范围是()A(0，) B(，) C(lg ，1) D(，10)12. 【2014山西太原太原五中高三12月月考（文）】若函数满足且时，函数，则函数在区间内的零点的个数为（ ）A B C D13. 【2014届山西忻州一中等四校第二次联考（文）】函数，则此函数的所有零点之和等于（ ）A.4 B.8 C.6 D.10 14. 【2014届山东潍坊高三二模拟（文）】已知 为 的导函数，则 的图象大致是15. 【2014届山西忻州一中等四校上学期第二次联考（文）】函数的图像大致为( )16. 【2015届江苏省苏州市高三9月调研考试数学试卷】函数的图象经过四个象限的充要条件是
22、【答案】【解析】由得：或，结合图像可知函数的图象经过四个象限的充要条件是，即17. 【2014届江苏淮安高三5月信息卷（文）】已知函数，.若存在使得，则实数的取值范围是 18. 【2014届山东烟台高三5月适应性训练一（文）】已知函数的定义域-1，5，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，下列关于函数的命题: 函数的值域为； 函数在上是减函数；当时，函数最多有4个零点；如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4.其中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号) .【答案】【解析】由图知，是极值点，且处取得极大值，时取得极小值，19. 【2014届上海市十三校高三12月联考（文）】函数的图像如图所
23、示，关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是_20. 【2014届四川成都七中高三“一诊”（文）】已知偶函数满足对任意，均有且，若方程恰有5个实数解，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由得：函数的图象关于直线对称.偶函数的图象关于轴对称.当时，作出函数及的图象如下：【考点预测】1. 【热点1预测】函数的图象是（ ）【答案】D【解析】求导得，所以是其极小值点，故选D.2.【热点2预测】函数的零点个数为（ ）A. B. C. D. 3.【热点3预测】已知函数若关于的方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是 ( )A B C D 4.【热点4预测】已知函数，下列关于函数(其中a为常数)的叙述中:对aR，函数g(x)至少有一个零点;当a0时，函数g(x)有两个不同零点;aR，使得函数g(x)有三个不同零点;函数g(x)有四个不同零点的充要条件是a0.其中真命题有_.(把你认为的真命题的序号都填上)
