1、单元检测(十四) 导数(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是( )A.a0 B.a0 C.a0 D.a0解析：f(x)=3ax2+1,有极值的充要条件是=0-12a0,a0.答案：C2.y=xsin(lnx)+cos(lnx),则y等于( )A. B.2cos(lnx) C.2sin(lnx) D.sin(lnx)解析：.答案：B3.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则其导函数f(x)的图象可能是( )解析：f(x)=2x+b,f(x)的图象的顶点在第四象限,.b0.f(x)的斜
2、率为2,选A.答案：A4.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为( )A. B.0 C. D.5解析：可把图象想象成,y|x=5=0.答案：B5.设f(x),g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f(x)g(x)-f(x)g(x)0,则当axb时有( )A.f(x)g(x)f(b)g(b) B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(b)f(b)g(x) D.f(x)g(x)f(a)g(a)解析：令,则,f(x),g(x)是定义域为R且恒大于零的函数.F(x)在R上为递减函数.当x(a,b)时,f(x)g(b)f(b)g(x).答案
3、：C6.函数f(x)的定义域为R,导函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)( )A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点解析：设f(x)与x轴的4个交点从左到右依次为x1,x2,x3,x4,当xx1时,f(x)0,f(x)为增函数;当x1xx2时,f(x)0,f(x)为减函数,则x=x1为极大值点,同理,x=x3为极大值点,x=x2,x=x4为极小值点.故选C.答案：C7.设aR,若函数y=ex+ax,xR有大于零的极值点,则( )A.a-1 B.a-1 C. D. 解析：函数y=ex+ax的导数为y=
4、ex+a.令y=ex+a=0,显然a0时无解,故可否定B,D,由ex=-a,当a0时,解得x=ln(-a),x0,ln(-a)0,且a0,-a1.a-1.故选A.答案：A8.设p：f(x)=x3+2x2+mx+1在(-,+)内单调递增,则p是q的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：f(x)=3x2+4x+m.若f(x)在(-,+)上单调递增,令f(x)=0,则有=16-12m0.从而.反之,若,则0,从而f(x)0,即f(x)在(-,+)上单调递增.答案：C9.f(x)是f(x)的导函数,f(x)的图象如图所示,则f(x)的图象只可能是( )
5、解析：由f(a)=0,f(b)=0,只能选D.答案：D10.方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是( )A.3 B.2 C.1 D.0解析：应用导数的几何意义易判断函数的增减性,然后根据极值判断实根的个数.设f(x)=x3-6x2+9x-10f(x)=3x2-12x+9由f(x)=0,得x=1或x=3.x1时,f(x)单调递增,最大值为-6;当1x3时,f(x)单调递减,最小值为-10;当x3时,f(x)单调递增,最小值为-10. 由上分析知y=f(x)的图象如图,与x轴只有一个公共点,所以只有一个实根.故选C.答案：C11.对于R上的可导任意函数f(x),满足(x-1)f(x)0,则必
6、有( )A.f(0)+f(2)2f(1) B.f(0)+f(2)2f(1)C.f(0)+f(2)2f(1) D.f(0)+f(2)2f(1)解析：由(x-1)f(x)0,知当x(-,1)时,f(x)0,当x(1,+)时,f(x)0,即f(x)在(-,1)上为减函数或常数函数,在(1,+)上为增函数或常数函数.f(x)f(1)恒成立,即f(0)+f(2)2f(1).答案：C12.若f(x)=loga(x3-ax)(a0且a1)在区间(,0)内单调递增,则a的取值范围是( )A.,1 B.,1) C.(,+) D.(1,)解析：令g(x)=x3-ax,g(x)=3x2-a,g(x)在(,0)上是单
7、调的,则必有g(x)0或g(x)0恒成立，即或a0,a0显然不成立. 当时,g(x)0,g(x)在(,0)上是减函数,又g(0)=0,即x(,0)时,g(x)0，此时f(x)为增函数. 当a1时,g(x)0,g(x)为减函数,f(x)也为减函数,不成立. 综上，.答案：B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知f(x)=x2+2xf(1),则f(0)=_.解析：f(x)=2x+2f(1),令x=1,得f(1)=-2.令x=0,得f(0)=2f(1)=-4.答案：-414.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则
8、ff(0)=_;_.(用数字作答)解析：由题中图象,知f(0)=4,f(4)=2,ff(0)=2.由导数的几何意义,知.答案：2 -215.已知函数f(x)是可导函数,且f(a)=1,则_.解析：令x-a=h,则原式=2f(a)+f(a)=3.答案：316.(2009广东惠州模拟，10)已知函数y=ax3+bx2,当x=1时，有极大值3,则2a+b=_.解析：y=3ax2+2bx,当x=1时，y|x=1=3a+2b=0,y|x=1=a+b=3,即解得a=-6,b=9,2a+b=-3.(也可上两式直接相减得到答案)答案：-3三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知函数
9、f(x)=x3+ax2+x+1,aR.(1)讨论函数f(x)的单调区间;(2)设函数f(x)在区间内是减函数,求a的取值范围.解：(1)f(x)=x3+ax2+x+1,f(x)=3x2+2ax+1,当=(2a)2-43=4a2-120,即时,f(x)0恒成立,此时f(x)为单调增函数,单调区间为(-,+).当=(2a)2-43=4a2-120,即或时,函数f(x)存在零解,此时当,f(x)0,当,f(x) 0,函数f(x)单调递增.当,f(x)0,函数f(x)单调递减,则此时函数的单调区间为：若a3或a-3,函数的单调增区间为,单调减区间为.(2)若函数在区间内是减函数,则说明f(x)=3x2
10、+2ax+1=0的根在区间外,因此由此可以解得a2.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax3+bx2经过点M(1，4)，在点M处的切线恰与直线x+9y+5=0垂直.(1)求a,b的值;(2)若函数f(x)在区间m-1,m+1上单调递增，求实数m的取值范围.解：(1)f(x)=ax3+bx2,f(x)=3ax2+2bx.由已知,得即a=1,b=3.(2)由(1)知f(x)=x3+3x2,f(x)=3x(x+2).令f(x)0,解得x-2或x0,f(x)在区间(-,-2)和0,+)上单调递增.若f(x)在m-1,m+1上单调递增，则m-1,m+1(-,-2)或m-1,m+10,+),m+
11、1-2或m-10.m-3或m1.m的取值范围是m-3或m119.(本小题满分12分)设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a-1,求f(x)的单调区间.解：由已知,得函数f(x)的定义域为(-1,+),且(a-1).(1)当-1a0时,f(x)0,函数f(x)在(-1,+)上单调递减;(2)当a0时,由f(x)=0,解得.f(x),f(x)随x的变化情况如下表：xf(x)-0+f(x)极小值从上表可知,当x(-1,)时,f(x)0,函数f(x)在(-1,)上单调递减；当x(,+)时,f(x) 0,函数f(x)在(,+)上单调递增.综上所述：当-1a0时,函数f(x)在(-1,+)
12、上单调递减.当a0时,函数f(x)在(-1,)上单调递减,函数f(x)在(,+)上单调递增.20.(本小题满分12分)(2009河北唐山模拟，20)已知函数f(x)=x2+(a-4)x-2a+5ex-1(aR).(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a1,当x0,2时，求f(x)的取值范围.解：(1)f(x)=(2x+a-4)ex-1+x2+(a-4)x-2a+5ex-1=x2+(a-2)x-a+1ex-1=x+(a-1)(x-1)ex-1.若a=0，则f(x)=(x-1)2ex-10(当且仅当x=1时取“=”)，f(x)在(-,+)上单调递增.若a0,则当x变化时，f(x)的变化如下：x(-,
13、1-a)1-a(1-a,1)1(1,+)f(x)+0-0+此时，f(x)在(-,1-a)和(1,+)上分别单调递增；在区间(1-a,1)上单调递减.若a0,则当x变化时,f(x)的变化如下：X(-,1)1(1,1-a)1-a(1-a,+)f(x)+0-0+此时,f(x)在(-,1)和(1-a,+)上分别单调递增;在区间(1,1-a)上单调递减.(2)若a1,则1-a0,则由(1)知,f(x)在0,1上单调递减,在1,2上单调递增.此时,f(x)的极小值为f(1)=2-a;又f(0)=(5-2a)e-1,f(2)=e,而,则f(0)f(2).所以,f(x)的取值范围是2-a,e.21.(本小题满
14、分12分)已知定义在正实数集上的函数,g(x)=3a2lnx+b,其中a0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.(1)用a表示b,并求b的最大值;(2)求证：f(x)g(x)(x0).(1)解：设y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(x0,y0)处的切线相同.f(x)=x+2a,由题意f(x0)=g(x0),f(x0)=g(x0),即由,得x0=a或x0=-3a(舍去),即有.令,则h(t)=2t(1-3lnt).于是当t(1-3lnt)0,即时,h(t)0;当t(1-3lnt)0,即时,h(t)0.故h(t)在(0,)上为增函数,在(,+)上为减函数.于是
15、h(t)在(0,+)上的最大值为.(2)证明：设,则.故F(x)在(0,a)上为减函数,在(a,+)上为增函数.于是函数F(x)在(0,+)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.故当x0时,有f(x)-g(x)0,即当x0时,f(x)g(x).22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex-kx,xR.(1)若k=e,试确定函数f(x)的单调区间；(2)若k0，且对于任意xR，f(|x|)0恒成立，试确定实数k的取值范围；(3)设函数F(x)=f(x)+f(-x)，求证： (nN*).(1)解：由k=e，得f(x)=ex-ex，所以f(x)=ex-e.由f(x)0,得
16、x1，故f(x)的单调递增区间是(1，+)；由f(x)0,得x1，故f(x)的单调递减区间是(-,1).(2)解：由f(|-x|)=f(|x|)，可知f(|x|)是偶函数，于是f(|x|)0对任意xR成立等价于f(x)0对任意x0成立.由f(x)=ex-k=0，得x=lnk.当k(0,1时，f(x)=ex-k1-k0(x0),此时f(x)在0,+)上单调递增,故f(x)f(0)=10，符合题意.当k(1,+)时，lnk0,当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(0,lnk)lnk(lnk,+)f(x)-0+F(x)单调递减极小值单调递增由此可得，在0,+)上，f(x)f(lnk)=k-klnk.依题意,k-klnk0.又k1,1ke.综合,得实数k的取值范围是0ke.(3)证明：F(x)=f(x)+f(-x)=ex+e-x，F(x1)F(x2)=ex1+x2+e-(x1+x2)+ex1-x2+e-x1+x2ex1+x2+e-(x1+x2)+2ex1+x2+2.F(1)F(n)en+1+2,F(2)F(n-1)en+1+2,F(n)F(1)en+1+2.由此,得F(1)F(2)F(n)2=F(1)F(n)F(2)F(n-1)F(n)F(1)(en+1+2)n,故,nN*.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
