1、提能拔高限时训练5 函数的值域与最值一、选择题1.函数f(x)ax+loga(x+1)在0,1上的最大值和最小值之和为a,则a的值为( )A. B. C.2 D.4解析:f(x)ax+loga(x+1)是单调递增(减)函数原因是yax与yloga(x+1)单调性相同,且在0,1上的最值分别在两端点处取得,最值之和为f(0)+f(1)a0+loga1+a+loga2a,loga2+10.答案:B2.函数ylog2x+logx(2x)的值域是( )A.(-,-1 B.3,+) C.-1,3 D.(-,-13,+)解析:ylog2x+logx(2x).,(-,-13,+).故选D.答案:D3.已知f
2、(x)是奇函数,且当x0时,f(x)x2+3x+2.若当x1,3时,nf(x)m恒成立,则m-n的最小值为( )A. B.2 C. D.解析:设x0,则-x0,f(x)-f(-x)-(-x)2+3(-x)+2-x2+3x-2.在1,3上,当时f(x)max,当x3时f(x)min-2.m且n-2.故m-n.答案:A4.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A. cm2 B.4 cm2 C. cm2 D. cm2解析:设其中一段长为3x,则另一段为12-3x,则所折成的正三角形的边长分别为x,4-x,它们的面积分别为,则它们的面积之和为
3、,可见当x2时,两个正三角形面积之和的最小值为 cm2.答案:D5.在区间1.5,3上,函数f(x)x2+bx+c与函数同时取到相同的最小值,则函数f(x)在区间1.5,3上的最大值为( )A.8 B.6 C.5 D.4解析:,当且仅当x2时,g(x)min3,f(x)(x-2)2+3.在区间1.5,3上,f(x)maxf(3)4.故选D.答案:D6.若方程x2+ax+b0有不小于2的实根,则a2+b2的最小值为( )A.3 B. C. D.解析:将方程x2+ax+b0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x20的方程,则a2+b2的几何意义为l上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平
4、方,由点到直线的距离d的最小性知a2+b2d2(x2),令ux2+1,易知(u5)在5,+)上单调递增,则f(u)f(5),a2+b2的最小值为.故选B.答案:B7.函数的最小值为( )A.190 B.171 C.90 D.45解析:f(x)|x-1|+|x-2|+|x-9|+|x-10|+|x-11|+|x-18|+|x-19|,由|a-b|a|+|b|(当且仅当ab0时取等号),得|x-1|+|x-19|x-1-x+19|18,|x-2|+|x-18|x-2-x+18|16,|x-9|+|x-11|x-9-x+11|2,|x-10|0.上面各式当x10时同时取等号,f(x)最小值为18+1
5、6+2+0.答案:C8.设a1,函数f(x)logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为,则a等于( )A. B.2 C. D.4解析:由a1知f(x)为增函数,所以loga2a-logaa,即loga2,解得a4.所以选D.答案:D9.设a、bR,a2+2b26,则a+b的最小值是( )A. B. C.-3 D.解析:,故令,.a+b的最小值为-3.答案:C10.若动点(x,y)在曲线(b0)上变化,则x2+2y的最大值为( )A. B. C. D.2b解析:令x2cos,ybsin,则x2+2y4cos2+2bsin-4sin2+2bsin+4-4()2+4+;当1即0b4时,x2+2
6、y取最大值,此时;当即b4时,x2+2y的最大值为2b,此时sin1.故选A.答案:A二、填空题11.设a,bR,记maxa,b函数f(x)max|x+1|,|x-2|(xR)的最小值是_.解析:如右图所示,函数ymax|x+1|,|x-2|的图象为图中实线部分,max|x+1|,|x-2|的最小值为.答案:12.规定记号“”表示一种运算,即,a、bR+.若1k3,则函数f(x)kx的值域是_.解析:由题意,解得k1,.而在0,+)上递增,f(x)1.答案:1,+)13.已知函数f(x)2+log3x,x1,9,则函数yf(x)2+f(x2)的值域为_.解析:f(x)2+log3x,x1,9,
7、yf(x)2+f(x2)的定义域为解得1x3,即定义域为1,3.0log3x1.又yf(x)2+f(x2)(2+log3x)2+2+log3x2(log3x)2+6log3x+6(log3x+3)2-3,0log3x1,6y13.故函数的值域为6,13.答案:6,1314.若变量x和y满足条件则z2x+y的最小值为_;的取值范围是_.解析:如图作出可行域,易知将直线DE:2x+y0平移至点A(2,1)时目标函数z2x+y取得最小值,即zmin22+15,表示可行域内点与原点连线的斜率,由图形知,直线从GH绕原点逆时针方向转动到AB位置,斜率变得越来越大,故-1kGHkAB.答案:5 (-1,三
8、、解答题15.求下列函数的值域:(1)yx2-4x+6,x1,5);(2);(3).解:(1)yx2-4x+6(x-2)2+2,x1,5),由图象知函数的值域为y|2y11.(2) .0,y.函数的值域为yR|y.(3)令,则xt2+1(t0),y2(t2+1)-t2t2-t+22()2+.t0,y.函数的值域是,+).16.(2009山东烟台高三模块检测,20)设函数(a,bR),在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).(1)若方程f(x)0有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式;(2)若g(x)在区间-1,3上是单调递减函数,求a2+b2的最小值.解:(1)根据导数的几
9、何意义知f(x)g(x)x2+ax-b,由已知-2、4是方程x2+ax-b0的两个实数,由韦达定理,f(x)x2-2x-8.(2)g(x)在区间-1,3上是单调减函数,在-1,3区间上恒有f(x)g(x)x2+ax-b0,即f(x)x2+ax-b0在-1,3上恒成立,这只需满足即可,也即而a2+b2可视为平面区域内的点到原点距离的平方,其中点(-2,3)距离原点最近,当时,a2+b2有最小值13.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 已知函数(aR且xa).(1)当f(x)的定义域为,时,求f(x)的值域;(2)设函数g(x)x2+|(x-a)f(x)|,求g(x)的最小值.解:(1).当x
10、,时,a-x,于是-4-3,即f(x)的值域为-4,-3.(2)g(x)x2+|x+1-a|(xa),当xa-1且xa时,g(x)x2+x+1-a.若,即时,则g(x)在a-1,a),(a,+)上为增函数,故g(x)ming(a-1)(a-1)2.若,即且a时,;若时,g(x)min不存在.当xa-1时,g(x)x2-x-1+a;若,即时,;若,即a时,g(x)在(-,a-1)上为减函数,g(x)ming(a-1)(a-1)2.又若时,若且a时,.综上,得且a时,;时,g(x)min(a-1)2;时,;时,g(x)min不存在.【例2】 已知.(1)当x,2时,求f(x)的值域.(2)是否存在实数a,b(ab),使得函数f(x)的定义域与值域都是a,b?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.解:(1)当x,1时,0,1;当x1,2时,0,.f(x)的值域为0,1.(2)不存在.理由:假设存在实数a,b使得函数f(x)的定义域与值域都为a,b,则当ab0或ba1时,方程组无解;当0ab1时,有ab,与ab矛盾;当a0b1时,f(x)(,+)不合题意;当a01b时,f(x)(,+)不合题意;当0a1b时,f(x)minf(1)0,a0与a0矛盾.综上所述,不存在实数a,b(ab)使得函数f(x)的定义域与值域都是a,b.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
