1、绝密启用前株洲市2019届高三年级教学质量统一检测（一）数学试题（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分150分，考试时间120分钟第卷（选择题）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂在答题卡上）1. 设全集,集合，集合，则( )A B C D 2. 在区间上任意取一个数，使不等式成立的概率为( )A B C D3.已知各项为正数的等比数列满足，则 ( ) A64 B32 C16 D4 4.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系根据
2、欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5.已知是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则的最大值是 ( )A. B. C. D. 6若均不为1的实数、满足，且，则（ ）A. B. C. D. 22211正视图侧视图俯视图7 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. （第7题图）8如图，边长为1正方形ABCD，射线从出发，绕着点 顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记，所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积为，则函数的图像是 ( )1oxy1oxyAB1oxy1oxyCD （第8题图）9右边程
3、序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的值分别为、，则输出和的值分别为( )（第9题图）A B C D 10已知函数的图象关于轴对称，则的图象向左平移( )个单位，可以得到的图象 A B C D 11已知一条抛物线恰好经过等腰梯形的的四个顶点，其中，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）A B C D12已知正方体的棱长为2，M为CC1的中点若AM平面，且B平面，则平面截正方体所得截面的周长为（ ）A B C D 第卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卷上）13已知点P（2,1）在双曲线C：的渐近线上，则
4、C的离心率为 .14的展开式中的常数项的值是 （用数字作答）15设的外心满足,则=错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 16数列的首项为1，其余各项为1或2，且在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，记数列的前项和为，则 （用数字作答）三解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.（本小题满分12分）在中，角的对边分别是，已知，（）求的值； （）若角A为锐角，求的值及的面积18.（本小题满分12分）如图（1），等腰梯形， =2，=6， ，E、F分别是的两个三等分点若把等腰梯形沿虚线、折起，使得点C和点D重
5、合，记为点P如图（2），（）求证：平面平面；图（1）图（2）（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值19. （本小题满分12分）已知分别为椭圆C：的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6（）求椭圆的标准方程；（）过点的直线与椭圆交于，两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得恒成立？请说明理由 20.（本小题满分12分）某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有人，若逐个检验就需要检验次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个人中究竟是哪几个人为
6、阳性，就要对这个人再逐个进行检验，这时个人的检验次数为+1次假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为（）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若=0.1，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；（）设为个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数 当=5，=0.1时，求的分布列；试运用统计概率的相关知识，求当和满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数. 21. （本小题满分12分）已知函数,其中为大于零的常数（）讨论的单调区间；（）若存在两个极值点 ，且不等式 恒成立，求实数的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所
7、做的第一题计分做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22. （本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线与曲线的极坐标方程分别为 （）求直线 的极坐标方程（）设曲线与曲线的一个交点为点（不为极点），直线与的交点为，求.23（本题满分10分）【选修4 -5：不等式选讲】已知函数（为实数）（）当时，求函数的最小值；（）若，解不等式 2019届株洲市高三检测试题（一）参考答案及评分标准(理科数学)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101
8、112答案CDBBABADDDBA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13; 1460; 15; 16. 3993三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（本小题满分12分）【解析】（）由 得由得由正弦定理 得-6分（）角A为锐角，则由余弦定理得即或（舍去）所以ABC的面积-12分18（本题满分12分）【解析】（）E,F是CD的两个三等分点， 易知，ABEF是正方形，故BEEF又BEPE,且PEEF=E所以BF面PEF又BF面ABEF所以面PEF面ABEF -5分（）过P作POEF于O，过O作BE的平行线交AB于G，则PO面ABEF有所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标
9、系则A(2，-1，0),B(2，1，0),E(0，1,0),P(0，0，)-6分所以,设平面PAE的法向量为则-8分设平面PAB的法向量为 则-10分即平面与平面所成锐二面角的余弦值-12分19（本题满分12分）【解析】（）由题意， 的周长为， ， 椭圆的标准方程为-5分 （）假设存在常数满足条件。（1）当过点的直线的斜率不存在时，当时，； -7分 （2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，联立，化简得，. -8分 -9分，解得： 即时，；综上所述，当时， -12分 20. （本题满分12分）【解析】（）对3人进行检验，且检验结果是独立的，设事件A：3人中恰有1人检测结果为阳性，则其
10、概率P（A）= -3分（）当K=5，P=0.1时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为，每人所检验的次数为次，若混合检验结果为阳性，则其概率为，则每人所检验的次数为次，故的分布列为P-7分分组时，每人检验次数的期望如下不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数， 即 所以当时，用分组的办法能减少检验次数。-12分21（本小题满分12分）【解析】（） -1分（1）当时，在在上单调递增 -2分（2）当时，设方程的两根为则在上单调递增，上单调递减 -5分（）由（）可知，且由所以 -6分设令当时，故在上单调递减，所以综上所述，时，恒成立。-12分22.(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程【解析】（） -4分（）法1：由得 -5分点A的极坐标又点B在直线OA上，所以设B的极坐标为 由得，所以 -10分法2：曲线与曲线的直角坐标为由 得点A的坐标 -5分所以直线OA的方程为由 得点B的坐标为 -7分所以 -10分或者： -9分 -10分23.(本小题满分10分)选修45：不等式选讲【解析】（）时，所以的最小值为1-4分（）时，因为所以此时解得： -6分 时，此时： -7分 时，此时无解；-8分综上： -10分
