1、第四讲 小题考法导数的简单应用考点(一)导数的几何意义主要考查利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程或已知切线方程求参数.典例感悟典例(1)(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2xByxCy2x Dyx(2)(2018成都模拟)若曲线yf(x)ln xax22x(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是_解析(1)易知f(x)x3(a1)x2axxx2(a1)xa，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)x2(a1)xa为偶函数，所以a10，解得a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x2
2、1，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.(2)f(x)2ax2(x0)，由题意得f(x)0在x0时恒成立，所以2ax22x10在x0时恒成立，即2a121，所以a，所以a的取值范围为.答案(1)D(2)方法技巧1求曲线yf(x)的切线方程的3种类型及方法已知切点P(x0，y0)，求yf(x)过点P的切线方程求出该曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率f(x0)，由点斜式写出方程已知切线的斜率为k，求yf(x)的切线方程设切点P(x0，y0)，通过方程kf(x0)解得x0，再由点斜式写出方程已知切线上一点(非切点)，求yf(x)的切线方程设切点P(x0，y
3、0)，利用导数求得切线斜率f(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解演练冲关1(2018广州模拟)已知直线ykx2与曲线yxln x相切，则实数k的值为()Aln 2B1C1ln 2 D1ln 2解析：选D由yxln x知yln x1，设切点为(x0，x0ln x0)，则切线方程为yx0ln x0(ln x01)(xx0)，因为切线ykx2过定点(0，2)，所以2x0ln x0(ln
4、x01)(0x0)，解得x02，故k1ln 2，选D.2曲线y与其在点(0，1)处的切线及直线x1所围成的封闭图形的面积为()A1ln 2 B22ln 2C2ln 21 Dln 2解析：选C因为y，所以y，则曲线y在(0，1)处的切线的斜率k2，切线方程为y2x1，则曲线y与其在点(0，1)处的切线及直线x1所围成的封闭图形的面积Sdxdxx22x2ln(x1)2ln 21，选C.3(2018金华十校联考)若函数f(x)ln xax的图象上存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)ln xax的图象上存在与直线2xy0平行的切线，即f(x)2在(0，)上有解，又f(
5、x)a，即a2在(0，)上有解，即a2在(0，)上有解，因为x0，所以22，所以实数a的取值范围是(，2)答案：(，2)考点(二)利用导数研究函数的单调性主要考查利用导数来研究函数的单调性或由函数的单调性求某参数值(或取值范围). 典例感悟典例(1)已知函数f(x)ln x3，则函数f(x)的单调递减区间是()A(，0)B(0,1)C(0，) D(1，)(2)(2018益阳、湘潭模拟)是圆周率，e是自然对数的底数，在3e，e3，e，3,3，e六个数中，最小的数与最大的数分别是()A3e,3 B3e，eCe3，3 De,3(3)(2018邯郸二模)已知函数f(x)x2ln x在其定义域内的一个子
6、区间(a1，a1)内不是单调函数，则实数a的取值范围是_解析(1)已知函数f(x)ln x3，定义域为(0，)则f(x)x.由得0x0，即0xe时，函数f(x)单调递增；当f(x)e时，函数f(x)单调递减故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)e3，eln 3eln ，ln eln 3，即ln 3eln e，ln eln 3.又函数yln x，yex，yx在定义域上单调递增，故3ee3，e3e3，故这六个数中的最大数为3或3，由e3及函数f(x)的单调性，得f()f(3)f(e)，即，由，得ln 33，在3e，e3，e，3,3，e六个数中的最大的数是3，故排除B，C，
7、D.同理得最小的数为3e.故选A.(3)法一：由已知得f(x)的定义域为(0，)，函数f(x)x2ln x在区间(a1，a1)上不单调，f(x)2x在区间(a1，a1)上有零点由f(x)0，得x，则解得1a.法二：由已知得f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x，令f(x)0得x，令f(x)0得0x，即函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.若函数f(x)在其定义域内的一个子区间(a1，a1)内是单调函数，则a1或即a，因为f(x)的定义域为(0，)，所以a1，所以函数f(x)在其定义域内的一个子区间(a1，a1)内不是单调函数，需满足1a.答案(1)B(2)A(3)方法技巧1利用单调性
8、比较大小的4步骤2由函数的单调性求参数取值范围的策略(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f(x)0(或f(x)0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集，即f(x)max0(或f(x)min0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围演练冲关1已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x(，0)时，不等式f(x)xf(x)0成立，若a3f(3)，b2f(2)，cf(1)，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcbaCca
9、b Dacb解析：选A令函数F(x)xf(x)，则F(x)f(x)xf(x)，当x(，0)时，f(x)xf(x)0，F(x)xf(x)在(，0)上单调递减，f(x)是定义在R上的奇函数，F(x)为偶函数a3f(3)，b2f(2)，cf(1)，aF(3)，bF(2)，cF(1)F(1)，F(3)F(2)F(1)，即abc.2(2018成都模拟)已知函数f(x)x3ax在(1,1)上单调递减，则实数a的取值范围为()A(1，) B3，)C(，1 D(，3解析：选Bf(x)x3ax，f(x)3x2a.又f(x)在(1,1)上单调递减，3x2a0在(1,1)上恒成立，a3，故选B.3(2018河北五个
10、一名校联考)函数f(x)x22ln x的单调递减区间是_解析：函数f(x)x22ln x的定义域为(0，)，令f(x)2x0，得0x0，解得x1，令f(x)0，解得2x0，y0，ln，所以两边同时乘以，可得ln，令t(t0)，令f(t)(2et)ln t(t0)，则f(t)ln t(2et)ln t1，令g(t)ln t1(t0)，则g(t)0，因此g(t)即f(t)在(0，)上单调递减，又f(e)0，所以函数f(t)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，因此f(t)maxf(e)(2ee)ln ee，所以e，得0m，故选D.答案(1)A(2)D方法技巧利用导数研究函数极值、最值的方法
11、(1)若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(3)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的极值进行比较得到函数的最值演练冲关1(2018沈阳模拟)设函数f(x)xex1，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析：选D由题意得，f(x)(x1)ex，令f(x)0，得x1，当x(，1)时，f(x)0，则f(x)在(，1)上单调递减，在(1，
12、)上单调递增，所以x1为f(x)的极小值点，故选D.2(2018山东淄博模拟)已知函数f(x)ax3ax23ax1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围为_解析：因为f(x)ax3ax23ax1，所以f(x)ax22ax3aa(x22x3)a(x3)(x1)当a0时，f(x)1，显然不满足题意；当a0时，f(3)，f(1)分别为函数f(x)的两个极值，因为函数f(x)ax3ax23ax1的图象经过四个象限，所以函数f(x)的两个极值的符号相反，即f(3)f(1)0，所以(9a9a9a1)0，解得a或a0)，则2(m1)a，得m1.又anln n，则|AB|mn|，设F(n)1(n0)，则F(n
13、)，令F(n)0，得n1，故当n(0,1)时，F(n)0，所以F(n)minF(1)，所以|AB|，所以|AB|的最小值为.答案： 必备知能自主补缺依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干主干知识要记牢1.导数公式及运算法则(1)基本导数公式c0(c为常数)；(xm)mxm1(mQ)；(sin x)cos x；(cos x)sin x；(ax)axln a(a0且a1)；(ex)ex；(logax) (a0且a1)；(ln x).(2)导数的四则运算(uv)uv；(uv)uvuv；(v0)2导数与极值、最值(1)函数f(x)在x0处的导数f(x0)0且f(x)在x0附近“
14、左正右负”f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f(x0)0且f(x)在x0附近“左负右正”f(x)在x0处取极小值(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最大者”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最小者”二级结论要用好1常用函数的求导(1)xnf(x)nxn1f(x)xnf(x)；(2)；(3)exf(x)exf(x)f(x)；(4).2不等式恒成立(或有解)问题的常用结论(1)恒成立问题af(x)恒成立af(x)max；af(x)恒成立af(x)max；af(x)恒成立af(x)
15、有解af(x)min；af(x)有解af(x)min；af(x)有解af(x)max；af(x)有解af(x)max.易错易混要明了1不能准确理解导函数的几何意义，易忽视切点(x0，f(x0)既在切线上，又在函数图象上，导致某些求导数的问题不能正确解出2易混淆函数的极值与最值的概念，错以为f(x0)0是函数yf(x)在xx0处有极值的充分条件针对练1函数f(x)x4x3的极值点是_解析：f(x)x3x2，由f(x)0得x0或x1.显然f(x)在(，0)，(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数，所以f(x)存在极小值点x1.答案：x13如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f(x
16、)0恒成立，但要验证f(x)是否恒等于0.增函数亦然针对练2函数f(x)ax3x2x5在R上是增函数，则a的取值范围是_解析：f(x)ax3x2x5的导数f(x)3ax22x1.由f(x)0恒成立，得解得a.而当a时，f(x)(x1)20，且只有x1时，f(x)0，a符合题意，故a的取值范围是.答案：4求曲线的切线方程时，要注意题目条件中的已知点是否为切点针对练3抛物线f(x)x2过点P的切线方程为_解析：显然点P不在抛物线上，设此切线过抛物线上的点(x0，x)由f(x)2x知，此切线的斜率为2x0.又因为此切线过点P和点(x0，x)，所以2x0，即x5x060，解得x02或x03，即切线过抛
17、物线yx2上的点(2,4)或点(3,9)，所以切线方程为y44(x2)和y96(x3)，即4xy40和6xy90.答案：4xy40和6xy90A级124提速练一、选择题1已知f(x)ax33x22，若f(1)3，则a()A.B.C. D3解析：选Df(x)ax33x22，f(x)3ax26x，f(1)3a6，f(1)3，3a63，解得a3.故选D.2(2018合肥模拟)已知直线2xy10与曲线yaexx相切，其中e为自然对数的底数，则实数a的值是()Ae B2eC1 D2解析：选Cyaexx，yaex1，设直线2xy10与曲线yaexx相切的切点坐标为(m，n)，则y|xmaem12，得aem
18、1，又naemm2m1，m0，a1，故选C.3(2018成都模拟)已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为()A1 B2C3 D4解析：选A如图，在区间(a，b)内，f(c)0，且在点xc附近的左侧f(x)0，所以在区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A.4(2018重庆调研)若函数f(x)(xa)ex在(0，)上不单调，则实数a的取值范围是()A(，1) B(，0)C(1,0) D1，)解析：选Af(x)ex(xa1)，由题意，知方程ex(xa1)0在(0，)上至少有一个实数根，即xa10，解得a1.5已知f(x)2x36x2
19、m(m为常数)在2,2上有最大值为3，那么此函数在2,2上的最小值为()A0 B5C10 D37解析：选D由题意知，f(x)6x212x，由f(x)0得x0或x2，当x0或x2时，f(x)0，当0x2时，f(x)0，f(x)在2,0上单调递增，在0,2上单调递减，由条件知f(0)m3，f(2)5，f(2)37，最小值为37.6(2018广州模拟)设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为xy0，则点P的坐标为()A(0,0) B(1，1)C(1,1) D(1，1)或(1,1)解析：选D由题意知，f(x)3x22ax，所以曲线yf(x)在点P(x0，f(x0
20、)处的切线的斜率为f(x0)3x2ax0，又切线方程为xy0，所以x00，且解得a2，x0.所以当时，点P的坐标为(1，1)；当时，点P的坐标为(1,1)，故选D.7(2018昆明检测)若函数f(x)e2xax在(0，)上单调递增，则实数a的取值范围为()A1，) B(1，)C2，) D(2，)解析：选Cf(x)在(0，)上单调递增，且f(x)2e2xa，f(x)2e2xa0在(0，)上恒成立，即a2e2x在(0，)上恒成立，又x(0，)时，2e2x2，a2.8(2018陕西模拟)设函数f(x)x312xb，则下列结论正确的是()A函数f(x)在(，1)上单调递增B函数f(x)在(，1)上单调
21、递减C若b6，则函数f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线方程为y10D若b0，则函数f(x)的图象与直线y10只有一个公共点解析：选C对于选项A，B，根据函数f(x)x312xb，可得f(x)3x212，令3x2120，得x2或x2，故函数f(x)在(，2)，(2，)上单调递增，在(2,2)上单调递减，所以选项A，B都不正确；对于选项C，当b6时，f(2)0，f(2)10，故函数f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线方程为y10，选项C正确；对于选项D，当b0时，f(x)的极大值为f(2)16，极小值为f(2)16，故直线y10与函数f(x)的图象有三个公共点，选项D错误故选C.9已知定
22、义在上的函数yf(x)的导函数为f(x)，若f(x)cos x1ln xf(x)sin x，则下列不等式成立的是()A.ff BffC.ff解析：选D令g(x)，则g(x)，由解得x；由解得0x，所以gg，所以，即ff，B错，D正确同理因为，所以gg，所以，即ff，C错因为，所以gg，所以，即ff，A错故选D.10已知函数f(x)(xR)为奇函数，当x(0,2时，f(x)ln xm2x，当x2,0)时，f(x)的最小值为3，则m的值为()A1 B2Ce De2解析：选Cf(x)在R上是奇函数，当x2,0)时，f(x)的最小值为3，f(x)在(0,2上的最大值为3.当x(0,2时，f(x)m2，
23、令f(x)0，解得xm2；由m知0m20，f(x)单调递增，当x(m2,2时，f(x)0，f(x)单调递减，故当xm2时，f(x)在(0,2上取得最大值3.f(m2)ln m2m2m2ln m213，解得me.故选C.11已知函数f(x)ln xax，g(x)(xa)ex，a0，若存在区间D，使函数f(x)和g(x)在区间D上的单调性相同，则a的取值范围是()A. B(，0)C. D(，1)解析：选Df(x)的定义域为(0，)，f(x)a.由a0可得f(x)0，即f(x)在定义域(0，)上单调递减g(x)ex(xa)ex(xa1)ex，令g(x)0，解得x(a1)，当x(，a1)时，g(x)0
24、，故g(x)的单调递减区间为(，a1)，单调递增区间为(a1，)因为存在区间D，使f(x)和g(x)在区间D上的单调性相同，所以a10，即a0或f(x)0，则f(x)log3xm，由ff(x)log3x4可得f(m)log3mm4，即m34m，解得m3，所以f(x)log3x3，f(x)，从而f1，即所求切线的斜率为1.答案：1B级难度小题强化练1(2018西安八校联考)已知函数f(x)ln xax2，若f(x)恰有两个不同的零点，则a的取值范围为()A. BC. D.解析：选C函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.当a0时，f(x)0恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递增，则函数
25、f(x)不存在两个不同的零点当a0时，由f(x)0，得x，当0x0，函数f(x)单调递增，当x时，f(x)0，即ln 2a1，所以02a，即0a2，则方程f(x)x的根的个数为()A1 B1或2C0 D0或1解析：选C由题意知，方程f(x)x的根，即为0的根记g(x)xf(x)x21，则g(x)f(x)xf(x)2x.当x0时，由f(x)2得0，故当x0时，xf(x)f(x)2x0，即g(x)0，当x0时，xf(x)f(x)2x0，即g(x)0，若函数yf(x1)的图象关于原点对称，af，b3f(2)，c2f(3)，则a，b，c的大小关系是()Aabc BbcaCacb Dca0可得f(x)0
26、，即0，即0.当x1时，g(x)0，函数g(x)单调递增而ag，bg(2)，cg(3)由函数yg(x)的图象关于直线x1对称可得agg，bg(2)g(4)，因为34，所以ac0，f(x)单调递增，当x(1,2时，f(x)0，f(x)单调递减由于方程ln(x1)x2xa在区间0,2上有两个不同的实数根，即f(x)0在区间0,2上有两个不同的实数根，则解得ln 31aln 2.所以方程ln(x1)x2xa在区间0,2上有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是.5已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是_解析：f(x)的定义域为(0，)f(x)ln xaxxln x2ax
27、1，令f(x)ln x2ax10，得ln x2ax1，因为函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，所以f(x)ln x2ax1有两个零点，等价于函数yln x与y2ax1的图象有两个交点在同一平面直角坐标系中作出它们的图象，如图所示，过点(0，1)作曲线yln x的切线，设切点为(x0，y0)，则切线的斜率k，所以切线方程为yx1，又切点在切线上，所以y010，又切点在曲线yln x上，则ln x00，解得x01，所以切点为(1,0)，所以切线方程为yx1.再由直线y2ax1与曲线yln x有两个交点，知直线y2ax1位于两直线y1和yx1之间，其斜率2a满足02a1，解得实数a的取值范围是.答案：6已知函数g(x)ax2与h(x)2ln x的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是_解析：因为函数g(x)ax2与h(x)2ln x的图象上存在关于x轴对称的点，所以方程ax22ln x，即a2ln xx2在上有解令f(x)2ln xx2，则f(x)2x，因为xe，所以f(x)在x1处有唯一的极大值点因为f2，f(e)2e2，f(x)的极大值为f(1)1，且f(e)f，故方程a2ln xx2在上有解等价于2e2a1，即1ae22，故实数a的取值范围是1，e22答案：1，e22
