1、2020-2021学年陕西省高三教学质量检测测评卷一文科数学一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. B分析：首先解一元二次不等式求得集合A，之后求得集合的补集.解答：因为集合或，所以，故选：B.点拨：方法点睛：该题考查的是有关利用解不等式求集合，解题方法如下：（1）根据解一元二次不等式求解集合；（2）根据补集的定义求得结果.2. 已知复数满足，且为纯虚数.则实数的值为（ ）A. -1B. -2C. D. A分析：利用复数代数形式乘除运算化简，求得，根据纯虚数的概念，即可得答案.解答：因为
2、，所以，因为为纯虚数，所以，解得.故选：A3. 2020年的高中学业水平测试结束后，某校统计了该校学业水平测试中的数学成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，则该校学业水平测试中的数学成绩的中位数估计为（ ）A. 70B. 71C. 72D. 73D分析：利用频率分布直方图计算频率值从左到右的和为0.5时对应的数值即为中位数解答：由频率分布直方图知，所以数学成绩的中位数在，内，设中位数为，则，解得故选：D点拨：方法点睛：频率分布直方图找中位数的方法：先计算出每个小矩形的面积，通过解方程找到左边面积为0.5的点P，点P对应的数就是中位数.4. 在中，且，分别为，的中点，若，则（ ）A. B. C.
3、 D. B分析：由题得，再利用平面向量减法法则求解.解答：如图，由题得.故选：B5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. C分析：根据三视图，作出几何体的直观图，根据题中条件，逐一求解各个面的表面积，综合即可得答案.解答：根据三视图，作出几何体的直观图，如图所示:由题意得矩形的面积，矩形的面积，矩形的面积，正方形、的面积，五边形的面积，所以该几何体的表面积为，故选：C6. 执行如图的程序框图，则输出的结果为（ ）A. 120B. 121C. 143D. 145C分析：由已知可知：该程序的功能是利用循坏结果计算输出变量S的值，按着运行过程，分析循环中各变量
4、值的变化情况可得答案.解答：执行如图所示的程序框图，可知： 第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值故选：C.点拨：关键点点睛：本题考查了程序框图的应用问题，模拟程序框图的循环运行过程找到规律是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.7. 2020年8月3日(农历六月十四)23时59分上演了“十五的月亮十四圆”的天文奇观.某同学准备对2020年农历正月到七月期间的月圆情况进行一次调研，现从这七个月中月亮最圆的夜晚中任意选取两个夜晚进行分析，则其中恰好包括农历六月十四日晚上的概率为（ ）A. B. C. D. D分析：基本事件总数是，其
5、中恰好包含农历六月十四日晚上的基本事件个数是，由此能求出其中恰好包含农历六月十四日晚上的概率.解答：从七个月中月亮最圆的夜晚中任意选取两个夜晚进行分析, 基本事件总数是，其中恰好包含农历六月十四日晚上基本事件个数是，则其中恰好包含农历六月十四日晚上的概率.故选：D.8. 已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，若点在上，为的中点，且，则的离心率为（ ）A. B. C. D. B分析：由椭圆的方程及题意可得，由可得是直角三角形，利用，可得，结合，即可求解.解答：由题意可得：，所以是直角三角形，且是直角边，因为为的中点，所以，所以，即，整理可得：，即，可得，解得，故选：B点拨：方法点睛：求椭圆离心率的方法
6、：（1）直接利用公式；（2）利用变形公式；（3）根据条件列出关于 的齐次式，两边同时除以，化为关于离心率的方程即可求解.9. 已知数列的前项和为，若，且，则（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2D分析：先利用结合已知条件得，即数列是每项均为的常数列，即可求出，代入已知条件结合等差数列求和公式即可求得.解答：，变形得所以数列是每项均为的常数列，即又解得：故选：D点拨：关键点点睛：本题考查利用数列递推关系求数列通项公式，及等差数列求和，题目涉及，利用将已知条件转化为，从而得到数列是每项均为的常数列是解题的关键，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于中档题.10. 已知函数，若函数的对称中心为，且，则满
7、足条件的所有的和为（ ）A. B. C. D. A分析：利用二倍角公式、辅助角公式将函数化简为，根据正弦型函数的对称中心，可求得的表达式，根据的范围，求得各个满足条件的值，即可得答案.详解】由题意得：，令，解得，即，且，所以可取，所以满足条件的所有的和为，故选：A11. 已知正三棱锥的底面是边长为6的正三角形，其外接球球的表面积为，且点到平面的距离小于球的半径，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. A分析：利用外接球的表面积求出外接球半径为，再根据勾股定理求出点到平面的距离，找到异面直线与所成的角，然后在三角形中利用余弦定理进行分析求解，即可得到答案.解答：因为外
8、接球的表面积为，设外接球半径为，则，则，设点到平面的距离为， 的中心为，则，由勾股定理得，解得：或（舍去）取的中点，则由中位线性质知，所以异面直线与所成的角为或其补角，在中，勾股定理知，即，又，故所以异面直线与所成角的余弦值为故选：A点拨：思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角
9、作为两条异面直线所成的角12. 设，若函数的值域是，则函数的零点的个数是（ ）A. 0B. 1或2C. 1D. 2D分析：先求出分段函数的函数每一段的值域，根据函数的值域为可求出的范围，的零点的个数等价于函数与函数的图象交点的个数，利用导数判断的单调性，求出的最值，再结合的范围即可求解.解答：当时，此时在单调递增，此时值域为，当时，在单调递减，此时值域为，因为的值域为，所以，所以，解得：，由可得，令，则，由可得，由可得，所以在单调递减，在单调递增，所以的最小值为，因为，所以 ，所以与函数的图象有2个交点，即函数有2个零点，故选：D点拨：方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令，如果能求
10、出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间上是连续不断的曲线，并且，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数的
11、最小正周期为，则_；-1分析：根据函数的最小正周期为，由，求得解析式即可.解答：因为函数的最小正周期为，所以，所以，所以，故答案为：-114. 已知实数，满足不等式组，则的最大值为_；11分析：画出可行域，平移目标函数找到取最大值的点，代入即可得答案.解答：画出表示的可行域，如图所示：联立，可得交点（3,4），可变为，当过（3,4）时，为最大值.故答案为：1115. 已知双曲线：的左焦点为，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为点，若，且的面积为3(其中为坐标原点)，则的标准方程为_；分析：由双曲线的方程求出，渐近线方程为，利用点到直线的距离公式可得，再利用的面积为3可求出，再由勾股定理可以求出的值
12、，再利用可求出的值，即可求解.解答：由双曲线的方程可得，渐近线方程为，即，所以点到的距离为，所以，所以，所以，所以双曲线的方程为：.故答案为：.点拨：关键点点睛：本题的关键点是利用焦点到准线的距离等于可以求得，再利用的面积，以及勾股定理可求出得值，进而可得的值.16. 已知是正项等比数列，且，若表示不超过的最大整数(例如，)设，则数列的前项和为为_.分析：先利用等比数列的通项公式和前项和公式求得和的值，进而可得的通项公式，写出的各项，可得第11项开始，再利用求出的前项，当时，即可求解.解答：设等比数列公比为，则，由题意可得：，即，解得：，所以，的前项分别为，所以从第11项开始，又因为，所以的前
13、10项分别为：，当时，所以数列的前项和为为，故答案为：点拨：关键点点睛：本题解题的关键是求出的通项公式，通过通项公式发现是递减数列，从第11项开始，只需求出的前项即可.三解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17. 在中，角，的对边分别为，.若，且.（1）求；（2）若，求的面积.（1）；（2）2分析：（1）利用余弦定理代入可得结合已知条件可知，即可求得结果；（2）由（1）得，可求出，进而根据面积公式可得结果.解答：（1），利用余弦定理得：，整理得：，又，即（2）由（1）知，又，的面积.点拨
14、：关键点点睛：本题考查余弦定理，三角形的面积公式，解题的关键是由已知条件结合余弦定理转化为，从而求出，之间的关系，考查学生的转化能力与运算能力，属于一般题.18. 某旅游景点努力打造一流旅游区，吸引更多的游客前来观光旅游，据统计，该景点2013年到2019年游客人数与对应年份代号的数据如下：年份2013201420152016201720182019年份代号1234567游客人数(单位：万人)293336485259（1）若关于具有较强的线性相关关系，且回归方程为，且，求；（2）若每位游客平均为景区带来200元收入，根据（1）中结论，预测该景点旅游收入首次超过1.6亿元的年份.（1）；（2）2
15、024.分析：（1）由已知求得样本中心点的坐标，代入已知回归方程，即可求得的值；（2）把（1）中求得的代入，可得线性回归方程，再由求得的范围得答案.解答：（1），因为回归方程为，所以有，解得；（2）由（1）得，再由，解得，所以预测该景点旅游收入2024年首次超过1.6亿元.点拨：思路点睛：该题考查的是有关线性回归分析的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，求得样本中心点的坐标，利用回归直线一定过样本中心点，得到等量关系式，求得结果；（2）根据题意，建立不等关系式，求得其范围，得到结果.19. 如图，在直三棱柱中，为的中点，已知，.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.（1）证明见
16、解析；（2）分析：（1）先证明，再根据勾股定理得，进而平面，故平面平面；（2）取取中点，连接，根据等体积转化法（）求解即可.解答：解：（1）证明：三棱柱是直三棱柱， 平面，平面，为的中点 ，即，又 ，平面，又平面，平面平面；、（2）由（1）得， 为等边三角形，故取中点，连接， ，由（1）知平面，平面， ，平面 点拨：本题考查面面垂直的证明，锥体体积的计算，考查回归转化思想与空间思维能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于利用等体积转化法求解，即：.20. 已知抛物线：的焦点为，过点作圆：的两条切线，且.（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线与交于，两点，若，到直线的距离分别为，.求的最小值.（
17、1）；（2）；分析：（1）求出圆的圆心和半径，设与圆的切点为，由切线长定理可得四边形为正方形，然后求出，进而得到抛物线方程；（2）设直线的方程为，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，求得线段的中点坐标，并求出其到直线的距离，再由二次函数的最值和梯形的中位线定理可求得结果.解答：（1）圆：的圆心，半径抛物线：的焦点，设两条切线，与圆的切点为，则，又，则四边形为正方形，即，解得所以抛物线的方程为：（2）由（1）知，设直线的方程为，联立，得，由韦达定理得设,，线段的中点为，到直线的距离为，由梯形的中位线定理可得，又当时，取得最小值所以的最小值为点拨：关键点点睛：本题考查抛物线的方程与性质
18、，及切线性质的应用，直线与抛物线的位置关系，切线长定理及梯形中位线性质的应用是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于中档题.21. 已知函数.（1）若在上是单调函数，求实数的取值范围；（2）若，求证：.（1）；（2）详见解析.分析：（1）求导，令，用导数法得到在上递减，将在上是单调函数，转化为在上恒成立或在上恒成立，即在上恒成立或在上恒成立求解.（2）将问题，转化为证，令，用导数法求得其最小值大于零即可.解答：（1）因为，所以，令，所以，所以在上递减，因为在上是单调函数，所以在上恒成立或在上恒成立，即在上恒成立或在上恒成立，所以或，即或，解得即或，（2）要证，即证，令，则，所以在上
19、递增，当时，当 时， ，所以存 ，有 ，即，则在上递减，在上递增，所以，所以，即.点拨：方法点睛：利用导数证明不等式常构造函数(x)，将不等式转化为(x)0(或0)的形式，然后研究(x)的单调性、最值，判定(x)与0的关系，从而证明不等式.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线与曲线交于，两点.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若，求.（1）；（2）分析：（1）先计算出曲线的普通方程，然后根据代入化简即可（2）根据（1）的条件，假设,依据，可得，然后计算，简单计算，可得结果.解答：（1）曲线C的参数方程是（为参数），消去参数，可得曲线
20、C的普通方程为：又，则，即（2）设，由，可得由（1）可知：则点拨：方法点睛：本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程相互转化，牢记，是解题的关键，考查学生的运算能力，属中档题.23. 已知函数(其中为常数).（1）当时，解关于的不等式；（2）若，且，求的取值范围.（1）；（2）.分析：（1）代入m的值，通过讨论x的范围去掉绝对值，求出不等式的解集即可；（2）求的最大值，问题转化为通过讨论x的范围去掉绝对值，求出不等式的解集即可.解答：（1）当时，由得，当时， 解得，当时，得不符合题意，当时，得，综上所述，的解集是.（2）若，,因为，所以，当且仅当即时取等号，所以，当时， ，解得，不符合题意，当时，符合题意，当时，得，不符合题意，综上所述，不等式的解集是.点拨：本题考查了解绝对值不等式问题，关键点是找到x的分界点然后讨论x的范围去掉绝对值，考查分类讨论思想及基本不等式的应用，考查转化思想，是一道中档题.
