1、第一部分 全等三角形一、全等三角形1、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。2、全等三角形有哪些性质（理解熟悉，并能熟练应用）（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。3、全等三角形的判定（理解熟悉，并能熟练应用）边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)角角边:两角和其中一角的对
2、边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)4、证明两个三角形全等的基本思路：（归纳概括，课梳理解题思路）二、角的平分线：1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。三、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）：时刻注意图
3、形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”二、经典例题：例1、如图，已知在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且EDFD求证：分析：由D点为AB的中点可知ACD，BCD的面积都等于ABC的面积的一半因此可采用割补法证明证明：连结CD在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为AB的中点，ACDBCDADC=BDC且AB45又ADCBDC180ADC=BDC=90BCD90B45BACD90A45AAD=BD=CD，又EDFD，EDCCDF=90ADEEDC=90ADE=CDF在ADE和CDF中，ADECDFSADE=SCDF同理可证
4、：SCDE=SBDF例2、在ABC中，请证明：（1）若AD为角平分线，则（2）设D是BC上一点，连接AD，若，则AD为角平分线分析：如图，（1）由三角形的面积及底边联想到作三角形的高，作DEAB于E，作DFAC于F，则DE=DF，即结论成立；由结合ABD与ACD是共高三角形，即可得到结论（2）逆用上述的思路即可证明结论成立证明：（1）如图，过D作DEAB于E，作DFAC于FAD为角平分线，DE=DF如图，过A作AHBC于H，则SABD=BDAH，SACD=CDAH，结合有（2）作DEAB于E，DFAC于FDEDF=1，即DE=DFAD为ABC的角平分线例3、如图，已知在RtABC中，ACB=9
5、0，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且EDFD求证：分析：由D点为AB的中点可知ACD，BCD的面积都等于ABC的面积的一半因此可采用割补法证明证明：连结CD在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为AB的中点，ACDBCDADC=BDC且AB45又ADCBDC180ADC=BDC=90BCD90B45BACD90A45AAD=BD=CD，又EDFD，EDCCDF=90ADEEDC=90ADE=CDF在ADE和CDF中，ADECDFSADE=SCDF同理可证：SCDE=SBDF例4、在ABC中，请证明：（1）若AD为角平分线，则（2）设D是BC上一点，连接AD，若，则
6、AD为角平分线分析：如图，（1）由三角形的面积及底边联想到作三角形的高，作DEAB于E，作DFAC于F，则DE=DF，即结论成立；由结合ABD与ACD是共高三角形，即可得到结论（2）逆用上述的思路即可证明结论成立证明：（1）如图，过D作DEAB于E，作DFAC于FAD为角平分线，DE=DF如图，过A作AHBC于H，则SABD=BDAH，SACD=CDAH，结合有（2）作DEAB于E，DFAC于FDEDF=1，即DE=DFAD为ABC的角平分线三、练习题：选择题如图，则等于（）（）（） （）（）如图，则度数为（）（）（） （）（）如图，、相交于点，则图中全等三角形有（）图3（）对（）对（）对（）
7、对图2CDBA图1如图，点、在线段上，要判定，较为快捷的方法为（）（）SSS（）SAS （）ASA（）AAS根据下列条件，能唯一画出的是（）（），（），（），（），如图，等边中，=，与交于点，则的度数为（）（）（） （）（）参考答案：BDCACB填空题如图，则；应用的识别方法是如图，若，则的对应角为图4图6图5已知是的角平分线，于，且cm，则点到的距离为如图，与交于点，根据可得，从而可以得到如图，欲使，可以先利用“”说明得到，再利用“”证明得到图9如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是ADCB图7DOCBA图8参考答案：7.ABD SSS
8、8.ABC 9.3cm 10.COB SAS BC 11. ACB , DBC SAS DOC 12.相等解答题：13.如图，已知AEAD，AFAB，AF=AB，AE=AD=BC，AD/BC. 求证：（1）AC=EF，（2）ACEF14.如图所示，BE、CF是ABC的高，BE、CF相交于O，且OA平分BAC.求证：OB=OC.参考答案：13 解：分析：（1）要证AC=EF，可证ABCFAE，而BC=AE，AB=AF，所以只需证明B=EAF即可.（2）要证ACEF，若延长CA交EF于G，可证2=90， 而31=2F，而由（1）得1=F. 所以2=3，而3=90 于是可证明2=90证明：（1）AD
9、/BC，BDAB=180又DAB4EAF3=360，3=4=90DABEAF=180B=EAF在ABC和FAE中ABCFAE（SAS）AC=EF（2）ABCFAE1=F又13=2F2=3又3=902=90AGEF，即ACEF14.解答，分析：要证OB=OC，需证BOFCOE，条件有对顶角，直角，又OA是角平分线，不难证OF=OE，此问题得证.证明：因为BEAC，ABCF（已知），所以BFO=CEO=90（垂直定义）.又因为BE、CF相交于O，且OA平分BAC，所以OF=OE（角平分线上的点到角两边的距离相等）.在BOF和COE中，所以BOFCOE（ASA），所以OB=OC（全等三角形的对应边相
10、等）. 第二部分 轴对称知识梳理一、 轴对称图形：（理解掌握）1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点3、轴对称图形和轴对称的区别与联系 4.轴对称的性质 关于某直线对称的两个图形是全等形。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂
11、直平分线。 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。二、线段的垂直平分线（理解掌握，能熟练应用） 1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结： 在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为_.点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为_.2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到
12、三角形三个顶点的距离相等四、（等腰三角形)知识点回顾1.等腰三角形的性质.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）2、等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）五、（等边三角形）知识点回顾1.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。2、等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。3. 在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。经典例题分析例1、如图，ABC为等
13、边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQAD于Q，PQ=3，PE=1求AD的长分析：由已知条件易知ABECAD，从而 AD=BE，只须求BP长即可，由BQAD知，若在RtBPQ中有PBQ30，就可求出BP的长，于是求证BPQ60为问题的突破口证明：ABC为等边三角形，BAC=C=60，AB=AC又AE=CD，ABECAD，ABE=CAD，BE=AD，BPQ=BAPABE=BAPPAE=BAC=60，PBQ=30又BQPQ，PB=2PQ=6，BE=PBPE=7，AD=BE=7例2、如图，已知ABC中，AB=AC，AB、AC的垂直平分线DF、EG分别交BC、CB的延长线于F、G求证：1=2
14、分析：遇到线段垂直平分线和等腰三角形，首先考虑运用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，寻求最简捷的解题途径证明：因为AB=AC，所以4=5因为DF、EG分别为AB、AC的垂直平分线，所以AF=BF，AG=CG，所以13=5，23=4所以13=23所以1=2例3、如图，在ABC中，AB=AC，过BC上一点D作BC的垂线，交BA的延长线于P，交AC于Q判断APQ的形状，并证明你的结论解：APQ是等腰三角形证明如下：因为AB=AC，所以B=C因为PDBC，所以PB=90，2C=90，所以P=2又因为1=2，所以P=1所以AP=AQ所以APQ为等腰三角形三、练习题1.等腰三角形的一边等于5，一边等
15、于12，则它的周长为( )A.22B.29C.22或29D.172.如图14110所示，图中不是轴对称图形的是( )3.在ABC中，A和B的度数如下，其中能判定ABC是等腰三角形的是( )A.A=50，B=70B.A=70，B=40C.A=30，B=90D.A=80，B=604.如图14-111所示，在ABC中，AB=AC，BD是角平分线，若BDC=69，则A等于( )A.32B.36C.48D.525.成轴对称的两个图形的对应角 ，对应线段 .6.等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴.7.等腰三角形顶角的 与底边上的 、 重合，称三线合一.8.（1）等腰三角形的一个内角等于130，则其余两
16、个角分别为 ；（2）等腰三角形的一个内角等于70，则其余两个角分别为 .9.如图14112所示，ABC是等边三角形，1=2=3，求BEC的度数.10.如图14113所示，在ABC中，AB=AC，E在CA延长线上，AE=AF，AD是高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由.11.如图14114所示，在ABC中，点E在AC上，点N在BC上，在AB上找一点F，使ENF的周长最小，试说明理由.参考答案、1.B 2.C 3.B 4.A提示：AB=AC，ABC=C.又BD是ABC的平分线，DBC=ABC=C.又BDC=69，C+C+BDC=180，即C+69=180，C=111=74.A=180-742
17、=180-148=32.A=32.5.相等 相等 6.3 7.平分线 中线 高8.(1)25，25 (2)55，55或70，409.解：ABC是等边三角形，AB=BC=CA，ABC=BCA=CAB=60.又1=2=3，BAC-1=ABC-2=BCA-3，即CAF=ABD=BCE.在ABD和BCE和CAF中，ABDBCECAF（ASA）.AD=BE=CF，BD=CE=AF.AD-AF=BE-BD=CF-CE，即FD=DE=EF.DEF是等边三角形.FED=60.BEC=180-FED=180-60=120，BEC=120.10.解：EF与BC的位置关系是：EFBC.理由如下：AB=AC，ADBC
18、，BAD=BAC.又AE=AF，E=AFE.又BAC=E+AFE=2AFE，AFE=BAC.BAD=AFE.EFAD.又ADBC，EFBC.11.提示：图略.因为欲使ENF的周长最小，即EN+NF+EF最小，而EN为定长，则必有NF+EF最小，又因为点F在AB上，且E，N在AB的同侧，由轴对称的性质，可作点E关于直线AB的对称点E，连接EN与AB的交点即为点F，此时，FE+FN最小，即EFN的周长最小. 第三部分 一次函数基础知识梳理一.常量、变量： 在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做 变量 ；数值始终不变的量叫做 常量 ；二、函数的概念：函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变
19、量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数三、函数中自变量取值范围的求法：（1）.用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。（3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一 切实数。（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。四、 函数图象的定义：一般的，对于一个函数，
20、如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象五、用描点法画函数的图象的一般步骤（解题中，要善于利用函数图象）1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。）注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。 3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。六、函数有三种表示形式：（1）列表法 （2）图像法 （3）解析式法七、正比例函数与一次函数的概念：一般地，形如y=kx(k为常数，且k0)的函数叫做正比例
21、函数.其中k叫做比例系数。 一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，且k0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.八、正比例函数的图象与性质：（1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k0) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。 (2)性质:当k0时,直线y= kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k0，b0； （2）k0，b0；（3）k0，b0 （4）k0，b0；（5）k0，b0 （6）k0，b0一次函数表达式的确定求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k0）时，需要由两个点来确
22、定；求正比例函数y=kx（k0）时，只需一个点即可. 5.一次函数与二元一次方程组：解方程组从“数”的角度看，自变量（x）为何值时两个函数的值相等并求出这个函数值 解方程组 从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标经典例题分析例1、函数y=(k5)x|k|42是一次函数，求此函数的解析式.解：由一次函数的定义，知自变量x的指数等于1，系数不为零，即解得k=5.因此此函数的解析式为y=10x2.例2、已知一次函数y=kx1(k0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=xk的图象大致是图中的（）解：由一次函数的性质知，当y随x的增大而减小时，k0，k0；（2）当时，y0；（3）当x1时，y100
23、时，分别写出y(元)关于x(度)的函数关系式；（2）小王家第一季度交纳电费情况如下：月份一月份二月份三月份合计交费金额76元63元45元6角184元6角问：小王家第一季度用电多少度？分析：（1）当x100时，费用为0.57x元，当x100时，前100度应交电费1000.57=57元，剩下的(x100)度应交电费0.50 (x100).（2）从交费情况看，一、二月份用电均超过100度，三月份用电不足100度.解：（1）当x100时，y=0.57x，当x100时，y=0.5x7.（2）显然一、二月份用电超过100度，三月份用电不足100度，故将y=76代入y=0.5x7中得x=138（度）将y=6
24、3代入y=0.5x7中，得x=112（度）将y=45.6代入y=0.57x中，得x=80（度）故小王家第一季度用电13811280=330（度）.练习题1下列说法正确的是（ ） A正比例函数是一次函数 B一次函数是正比例函数 C正比例函数不是一次函数 D不是正比例函数就不是一次函数2下列函数中，y是x的一次函数的是（ ） Ay=-3x+5 By=-3x2 Cy= Dy=23已知等腰三角形的周长为20cm，将底边y（cm）表示成腰长x（cm）的函数关系式是y=20-2x，则其自变量的取值范围是（ ） A0x10 B5x0 D一切实数4 一次函数y=kx+b满足x=0时，y=-1；x=1时，y=1
25、，则这个一次函数是（ ）Ay=2x+1 By=-2x+1 Cy=2x-1 Dy=-2x-15.已知一次函数y=mx+m+1的图象与y轴交于（0，3），且y随x值的增大而增大，则m的值为（ ） A2 B-4 C-2或-4 D2或-46已知一次函数y=mx-（m-2）过原点，则m的值为（ ）Am2 Bm10）的关系式，它们都是正比例函数吗？（3）小明现有24元钱，最多可买多少个本子？已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（-6，0），与y轴交于点B，若AOB的面积是12，且y随x的增大而减小，你能确定这个一次函数的关系式吗？ 16 某一次函数的图象与直线y=6-x交于点A（5，k），且与直线
26、y=2x-3无交点，求此函数的关系式参考答案14.y=4x-315y=x+5；12.5 16.y=2x-9第四部分 整式乘除与因式分解一回顾知识点 1、主要知识回顾：幂的运算性质：amanamn （m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加 amn （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘 （n为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积 amn （a0，m、n都是正整数，且mn）同底数幂相除，底数不变，指数相减零指数幂的概念：a01 （a0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l负指数幂的概念：ap （a0，p是正整数）任何一个不等于零的数的p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的
27、倒数也可表示为：（m0，n0，p为正整数）单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的
28、商相加2、乘法公式：平方差公式：（ab）（ab）a2b2文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差完全平方公式：（ab）2a22abb2 （ab）2a22abb2文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍3、因式分解：因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解 掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止弄清因式分解与整式乘法的内在的
29、关系因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式二、熟练掌握因式分解的常用方法1、提公因式法（1）掌握提公因式法的概念；（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：系数一各项系数的最大公约数；字母各项含有的相同字母；指数相同字母的最低次数；（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项（4）注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“”号，使括号内的
30、第一项的系数是正的2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：平方差公式： a2b2 （ab）（ab）完全平方公式：a22abb2（ab）2 a22abb2（ab）2经典例题分析：例1、计算下列各式（1）（x）2n1（x）n1（2）（2）2004（2）2005 例2、若(x2pxq)(x23x2)的乘积中不含x2和x3项，求p、q的值.分析：缺项就是多项式中此项的系数为零，此题中不含x2和x3项，也就是x2和x3项的系数为0.解：(x2pxq)(x23x2)中x2项的系数为23pq=0x3项的系数为p3=0例3、计算：(1)98102；(2)991011000
31、1.解：(1)98102(1002)(1002)1000049996(2)9910110001(1001)(1001)10001(100001)(100001)100000000199999999计算：(1)32a64a2；(2)6x7y5z16x4y3；(4)3a2x4y5(axy2)2计算：(1)32a64a2；(2)6x7y5z16x4y3；(4)3a2x4y5(axy2)2：(1)原式=(324)(a6a2) =8a4；(2)原式=(616)(x7x4)( y5y3)z (4)原式=3a2x4y5a2x2y4 =3(a2a2)(x4x2)(y5y4) =3x2y完成下列各题：(1)已知
32、xm=8，xn=5，求xmn的值；(2)已知xm=a，xn=b，求x2m3n的值；(3)已知3m=6，9n=2，求32m4n1的值.解：(1)xm=8，xn=5， xmn= xmxn=85=(2)xm=a，xn=b x2m3n= x2mx3n=(xm)2(xn)3 =a2b3=(3)3m=6，9n=32n=2 32m4n1=(3m)2(32n)23 =62223 =363=27已知ab=4， ab=2，不解方程组，求(1)(ab)2；(2)a3b2a2b2ab3的值.解：(1)(ab)2=a2b22ab=(ab)24ab当ab=4， ab=2时，(ab)2=4242=8(2)a3b2a2b2a
33、b3=ab(a22abb2)=ab(ab)2= ab(ab)24ab当ab=4， ab=2时，原式=2(4242)=16练习题1、括号内应填（ ）A、 B、 C、 D、2、下列计算正确的是（ ）A、 B、C、 D、3、在（4）中错误的有（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个4、下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）A、 B、C、 D、5、如果：（ ）A、 B、 C、 D、6、计算：1.9921.981.99+0.992得（ ）A、0 B、1 C、8.8804 D、3.96017、如果可运用完全平方公式进行因式分解，则k的值是（ ）A、8 B、16 C、32 D、648、(x2+px+8
34、)(x2-3x+q)乘积中不含x2项和x3项,则p,q的值 ( )A、p=0,q=0 B、p=3,q=1 C、p=3,9 D、p=3,q=19、对于任何整数，多项式都能（ ）A、被8整除 B、被整除 C、被1整除 D、被（2-1）整除10已知多项式，且A+B+C=0，则C为（ ）A、 B、 C、 D、11、 =（3+ ）212、2012= , 4852= 。13、。14、。15、, 。16已知与是同类项，则5m+3n的值是17、如果 。参考答案：DBCBC BBBAB11；1240401，2496；13；14；15；1613；17；18.解答题：1.计算：2.化简求值：（其中）参考答案 1. 2.原式化简值结果不含x，y字母，即原式=0.无论x,y取何值，原式的值均为常数0.
