1、3.4.2基本不等式的应用学习目标：1.掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能应用基本不等式解决生活中的应用问题基本不等式与最值已知a0，b0，在运用基本不等式时，要注意：(1)和ab一定时，积ab有最大值；(2)积ab一定时，和ab有最小值；(3)取等号的条件.基础自测1设x，y满足xy40，且x，y都是正数，则xy的最大值为_解析x，y(0，)，xy2400，当且仅当xy20时等号成立答案4002把总长为16 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.解析设一边长为x m，则另一边长为(8x)m，则面积Sx(8x)216，当且仅当x
2、8x，即x4时等号成立答案16利用基本不等式求条件最值(1)已知x0，y0，且1，则xy的最小值是_(2)若x2y1，且x0，y0，则的最小值为_思路探究注意条件“1”及“x2y1”的作用解(1)1，x0，y0，xy(xy)1010216.当且仅当，即x4，y12时等号成立(2)x2y1，x0，y0，(x2y)8210218.当且仅当，即x，y时等号成立答案(1)16(2)18规律方法解决含有两个变量的代数式的最值时，常用“变量”替换，“1”的替换，构造不等式求解.跟踪训练1(1)已知正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_(2)已知点M(a，b)在直线xy1上，则的最小值为_解析(1)
3、法一：由abab3，得b.由b0，得0.a0，a1.aba(a1)5259.当且仅当a1，即a3时，取等号，此时b3.ab的取值范围是9，)法二：由于a，b为正数，ab2，abab323，即()2230，3，故ab9，当且仅当ab3时，取等号ab的取值范围是9，)(2)因为点M(a，b)在直线xy1上，所以ab1，因为a2b2，当且仅当ab时等号成立，所以，所以的最小值为.答案(1)9，)(2)利用基本不等式解实际应用题某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单
4、位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)思路探究根据题目列函数关系式，利用基本不等式求最值并确定取得最值的条件，得出结论解设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为.每平方米的平均综合费用y56048x56048.当x取最小值时，y有最小值x0，x230，当且仅当x，即x15时，上式等号成立所以当x15时，y有最小值2 000元因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少规律方法在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：（1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；（2）建立相应
5、的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）根据实际背景写出答案.跟踪训练2某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(xN*)的函数关系式；(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？解(1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元，总支出为20016(12x)200x(x1)16(万元)y416(2x223x50)(2)年平均利润为1616.又xN*，
6、x210，当且仅当x5时，等号成立，此时16(2320)48.运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.形如yx的最值问题探究问题可以用基本不等式求函数yx(x4)的最小值吗？为什么？提示x4，yx24，当且仅当x，即x2时等号成立，又x4，故不可以用基本不等式求其最小值由于yx在4，)上单调递增，故当x4时，ymin45.已知a0，求函数y的最小值思路探究分“a1”和“0a1”两类分别求函数的最值解y.(1)当01时，令t，则t，yf(t)t，利用单调性可知f(t)在，)上是增函数，yf()，当且仅当t，即x0时等号成立ymin.综上所述，当01时，ymin.规律方法1利用基本不等
7、式求最值的前提条件是：一正、二定、三相等2在等号不成立时，常借助函数的单调性求其最值跟踪训练3已知两正数x，y满足xy1，求z的最小值解由xy1知x2y22xy1，x2y212xy.从而有z(x2y2x2y21)(2x2y22xy)，令xyt，则zt2，再令f(t)t，可以证明f(t)t在上单调递减，故当t时，f(t)t取最小值，当xy时，z取最小值.1已知x，y都是正数，(1)如果xy15，则xy的最小值是_；(2)如果xy15，则xy的最大值是_解析(1)xy22，即xy的最小值是2，当且仅当xy时取最小值(2)xy22，即xy的最大值是.当且仅当xy时，xy取最大值答案(1)2(2)2某
8、公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)，则该公司年平均利润的最大值是_万元解析每台机器运转x年的年平均利润为18，而x0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元答案83已知a0，b0，ab1，则的取值范围是_解析ab1，a0，b0，2224.当且仅当，即ab时等号成立答案44建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为_元解析设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m.那么y1204280480320 48032021 760(元)当x2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元答案1 7605设x，y0，且xy4，若不等式m恒成立，求实数m的最大值解(xy)(54).当且仅当，且xy4，即x，y时，上式取“”故min.m恒成立，m，mmax.
