1、高考专题突破六高考中的圆锥曲线问题第1课时范围、最值问题题型一范围问题例1(2018浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围.(1)证明设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程24，即y22y0y8x0y0的两个不同的实根.所以y1y22y0，所以PM垂直于y轴.(2)解由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.所以PAB的面积SPAB|PM|y1y2
2、|(y4x0).因为x1(1x00)，所以y4x04x4x044，5，所以PAB面积的取值范围是.思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.跟踪训练1(2018杭州质检)已知椭圆C：1，直线l：ykxm(m0)，设
3、直线l与椭圆C交于A，B两点.(1)若|m|，求实数k的取值范围；(2)若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列(其中O为坐标原点)，求OAB的面积的取值范围.解(1)联立方程1和ykxm，得(23k2)x26kmx3m260，所以(6km)24(23k2)(3m26)0，所以m2，所以23k23，即k2，解得k或kb0)，从椭圆的一个焦点出发的光线经椭圆反射后经过另一个焦点，再经椭圆反射后回到起点.光线经过的路径为正三角形，且该三角形的周长为12.(1)求椭圆的方程；(2)过A(0，b)且互相垂直的直线分别与椭圆交于另外两点B，C，记它们的横坐标分别为xB，xC，求xBxC的最小值以及xBxC
4、最小时ABC的面积.解(1)不妨设光线从焦点F1(c，0)出发到达椭圆上的点M，反射后经过另一个焦点F2(c，0)到达椭圆上的点N.由于光线经过的路径为正三角形F1MN，则|F1M|F1N|，所以MNF1F2，F1F2为F1MN的中线.由椭圆的定义得4a12，a3.又|F1F2|2c42，所以c，b2a2c26，所以椭圆的方程为1.(2)由(1)得A(0，).显然直线AB，AC的斜率均存在且不为0.设直线AB的方程为ykx(k0)，代入1，得(23k2)x26kx0，所以xB，同理求得xC，所以xBxC，当且仅当k21时等号成立.所以当k21时，xBxC取得最小值.当k21时，|AB|，|AC
5、|，SABC|AB|AC|.1.已知P(x0，y0)是椭圆C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则x0的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析由题意可知，F1(，0)，F2(，0)，则(x0)(x0)yxy30，点P在椭圆上，则y1，故x30，解得x0，即x0的取值范围是.2.定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为()A.1 B. C.2 D.5答案B解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线y2x的焦点为F，抛物线的准线为x，所求的距离d，所以(两边之和大于第三边且M，N，F三点共线时取等号).3.过抛物线
6、y2x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析记点A的横坐标是x1，则有|AF|x1|AF|cos ，|AF|(1cos )，|AF|.由得1cos ，22(1cos )4，0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点.若PQF2的周长为16，则的最大值为()A. B. C. D.答案A解析如图(1)，由已知条件得ABF2的周长为32，因为|AF2|2a|AF1|，|BF2|2a|BF1|，|AF1|BF1|，所以4a3
7、2，a8，可整理为(a4)2b216.设k，则k表示为(a，b)与(1，0)连线的斜率，作出图形，如图(2)，易知kmax.故选A.5.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A. B. C. D.1答案A解析由题意可得F，设P(y00)，则()，可得k.当且仅当时取得等号，故选A.6.(2018浙江省杭州市七校联考)已知M，N为双曲线y21上关于坐标原点O对称的两点，P为双曲线上异于M，N的点，若直线PM的斜率的取值范围是，则直线PN的斜率的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析设M(x
8、0，y0)，N(x0，y0)，P(m，n)(mx0)，则kPM，kPN.因为点P，M，N均在双曲线y21上，所以n21，y1，两式相减得(ny0)(ny0)0，化简得，即kPMkPN，又kPM2，即2，解得kPN，故选C.7.椭圆C：y21(a1)的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，则|AF2|BF2|的最大值为_.答案7解析因为椭圆C的离心率为，所以，解得a2，由椭圆定义得|AF2|BF2|AB|4a8，即|AF2|BF2|8|AB|，而由焦点弦性质，知当ABx轴时，|AB|取得最小值21，因此|AF2|BF2|的最大值为817.8.已知F1，F2是双曲线
9、1(a0，b0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|t|PF2|(t(1，3)，则双曲线经过第一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是_.答案(0，解析由双曲线的定义及题意可得解得又|PF1|PF2|2c，|PF1|PF2|2c，整理得e1，1t3，12，1e2.又e21，03，故00，可设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y2，y1y2.可知|F1F2|y1y2|12，又，当且仅当m0时取等号，故3.三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，三角形的周长l4a8，则内切圆半径r(当m0时，取等号)，其面积最大值为.10.已知斜率为k的直线与椭圆1交于A，B两点
10、，弦AB的中垂线交x轴于点P(x0，0)，则x0的取值范围是_.答案解析设直线的方程为ykxm，联立化简得(34k2)x28kmx4m2120，所以64k2m24(34k2)(4m212)0，所以4k2m230.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得所以y1y2kx1mkx2mk(x1x2)2m2m，所以，所以线段AB的中点坐标为，当k0时，弦AB的中垂线为y轴，此时x00，当k0时，线段AB的垂直平分线方程为y，把点P(x0，0)代入上面的方程得x0(34k2)km.所以m，代入4k2m230.整理得x0)，x，综上，x00)，焦点为F，直线l交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，
11、y2)两点，D(x0，y0)为线段AB的中点，且|AF|BF|12x0.(1)求抛物线C的方程；(2)若x1x2y1y21，求的最小值.解(1)由题意知|AF|BF|x1x2p，x1x22x0，且|AF|BF|12x0，p1，抛物线C的方程为y22x.(2)设直线l的方程为xmyb，代入抛物线方程，得y22my2b0，4m28b0，y1y22m，y1y22b.x1x2y1y21，即y1y21，y1y22，即b1，则m取任意实数时，0恒成立.|AB|y1y2|2，x0(y1y2)22y1y2m21，令tm21，t1，)，则，的最小值为.12.已知椭圆C：1(ab0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短
12、距离为b.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点M在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求OAB面积的最大值.解(1)由题意，得acb，则(ac)2b2，结合b2a2c2，得(ac)2(a2c2)，即2c23aca20，亦即2e23e10，结合0e0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.因为y1y2k(x1x2)2m，所以线段AB的中点N的坐标为，因为点N在直线yx上，所以2，解得k.所以48(12m2)0，解得2m2，且m0，|AB| |x2x1|.又原点O到直线l的距离d，所以SOAB.当且仅当12m2m2，
13、即m时等号成立，符合2m0，b0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交于B，C两点，记BAC，若的离心率为，则()A. B.C. D.答案B解析e，ca，b2c2a2a2，双曲线方程可变形为x2y2a2.设B(x0，y0)，由对称性可知C(x0，y0)，点B(x0，y0)在双曲线上，xya2.A(a，0)，(x0a，y0)，(x0a，y0)，(x0a)(x0a)ya2xy0，即.故选B.14.若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为_.答案6解析点P为椭圆1上的任意一点，设P(x，y)(3x3，2y2)，由题意得左焦点F(1，0)，(x，y)，(x1，y)，x(
14、x1)y2x2x2.3x3，x，2，2，6212，即612.故最小值为6.15.如图，由抛物线y212x与圆E：(x3)2y216的实线部分构成图形，过点P(3，0)的直线始终与图形中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为()A.4，5 B.7，8 C.6，7 D.5，6答案B解析由题意可知抛物线y212x的焦点为F(3，0)，圆(x3)2y216的圆心为E(3，0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|4，设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|x03，由得(x3)212x16，整理得x26x70，解得x11，x27(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xCxD1，因此0x01，又|AB|AP|BP|4x03x07，所以|AB|x077，8，故选B.16.(2018嘉兴测试)已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF245，求该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值.解不妨设|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，其中a1，a2分别为椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长，则|PF1|a1a2，|PF2|a1a2，由余弦定理得(2)a(2)a4c2(c为半焦距)，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则4.又42，即e1e2，当e1，e2时，等号成立，所以椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为.
