1、第3讲导数的应用(二)基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是_解析f(x)3x22ax(a6)，由已知可得f(x)0有两个不相等的实根，4a243(a6)0，即a23a180.a6或a3.答案(，3)(6，)2已知函数f(x)x2mxln x是单调递增函数，则m的取值范围是_解析依题意知x0时，f(x)，令g(x)2x2mx1，x(0，)，当0时，g(0)10恒成立，m0成立，当0时，则m280，2m0，综上，m的取值范围是2，)答案2，)3某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增
2、加100元，已知总营业收入R与年产量x的年关系是RR(x)则总利润最大时，每年的产量是_解析由题意得，总成本函数为CC(x)20 000100x，总利润P(x)又P(x)令P(x)0，得x300，易知x300时，总利润P(x)最大答案3004要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为12，则它的长为_，宽为_，高为_时，可使表面积最小解析设底面宽为x cm，则长为2x cm，高为 cm，S4x24x2.S8x0，解得x3 (cm)长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm.答案6 cm3 cm4 cm5若关于x的不等式x33x29x2m对任意x2,2恒成立，则m
3、的取值范围是_解析令f(x)x33x29x2，则f(x)3x26x9，令f(x)0，得x1或3(舍去)f(1)7，f(2)0，f(2)20.f(x)的最小值为f(2)20，故m20.答案(，206(2013潍坊模拟)已知函数yf(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，不等式f(x)xf(x)0成立，若a30.3f(30.3)，b(log3)f(log3)，cf，则a，b，c间的大小关系是_解析设g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)0(x0)，当x0时，g(x)为增函数130.32,0log3g(30.3)g(log3)，即cab.答案cab二、填空题7(2013湖南十二校测试)已知
4、函数f(x)的定义域为1,5，部分对应值如下表：x10245y12021f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示(1)f(x)的极小值为_；(2)若函数yf(x)a有4个零点，则实数a的取值范围是_解析(1)由yf(x)的图象可知：x(1,0)0(0,2)2(2,4)4(4,5)f(x)000f(x)极大值极小值极大值f(2)为f(x)的极小值且f(2)0.(2)yf(x)的大致图象如图所示：若函数yf(x)a有4个零点，则a的取值范围是1,2)答案(1)0(2)1,2)8(2014开封一模)已知函数f(x)ax33x1对x(0,1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围是_ .解析当x(0,1
5、时不等式ax33x10可化为a，设g(x)，x(0,1，g(x).g(x)与g(x)随x的变化情况如下表：xg(x)0g(x)极大值4因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是4，)答案4，)二、解答题9设函数f(x)x2exxex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x2,2时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(，)，f(x)xex(exxex)x(1ex)，若x0，则1ex0，所以f(x)0；若x0，则1ex0，所以f(x)0；当x0时，f(x)0，当x(，)时，f(x)0.f(x)在(，)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(，)(2)由(1
6、)知，f(x)在2,2上单调递减f(x)minf(2)2e2，m2e2时，不等式f(x)m恒成立故实数m的取值范围是(，2e2)10(2014青岛一模)设函数f(x)ln x，g(x)ax，函数f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的图象上，且在此点有公切线(1)求a，b的值；(2)试比较f(x)与g(x)的大小解(1)f(x)ln x的图象与x轴的交点坐标是(1,0)，依题意，得g(1)ab0，又f(x)，g(x)a，又f(x)与g(x)在点(1,0)处有公切线，g(1)f(1)1，即ab1，由得a，b.(2)令F(x)f(x)g(x)，则F(x)ln xln xx(x0)，F(x)20
7、.F(x)在(0，)上为减函数，且F(1)0，当0x1时，F(x)F(1)0，即f(x)g(x)；当x1时，F(x)F(1)0，即f(x)g(x)；当x1时，F(x)F(1)0，即f(x)g(x)综上可知，当0x1时，即f(x)g(x)；当x1时，即f(x)g(x)能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014洛阳统考)若函数f(x)2x39x212xa恰好有两个不同的零点，则a可能的值为_4；6；7；8.解析由题意得f(x)6x218x126(x1)(x2)，由f(x)0得x1或x2，由f(x)0得1x2，所以函数f(x)在(，1)，(2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减，从而
8、可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2)，若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点，则需使f(1)0或f(2)0，解得a5或a4.答案2(2014深圳中学检测)已知对任意实数x，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时，f(x)_0，g(x)_0.解析由题意知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数当x0时，f(x)，g(x)都单调递增，则当x0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，即f(x)0，g(x)0.答案3(2014佛山模拟)设0a1，函数f(x)x，g(x)xln x，若对任意的x1，x21，e，都有f(x1)g(x2)成立，则实数a的
9、取值范围是_解析f(x)1，当0a1，且x1，e时，f(x)0，f(x)在1，e上是增函数，f(x1)minf(1)1a2，又g(x)1(x0)，易求g(x)0，g(x)在1，e上是增函数，g(x2)maxg(e)e1.由条件知只需f(x1)ming(x2)max.即1a2e1.a2e2.即a1.答案，1三、解答题4设函数f(x)xaln x(aR)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2；记过点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)的直线斜率为k.问：是否存在a，使得k2a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解 (1)f(x)的定义域为(0，)f(x)
10、1.令g(x)x2ax1，其判别式为a24.当|a|2时，0，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增当a2时，0，g(x)0的两根都小于0，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增当a2时，0，g(x)0的两根x1，x2.当0xx1时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)0，当xx2时，f(x)0，所以f(x)分别在(0，x1)，(x2，)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减(2)由(1)知，a2.因为f(x1)f(x2)(x1x2)a(ln x1ln x2)，所以k1a.又由(1)知，x1x21，于是k2a.若存在a，使得k2a，则1，即ln x1ln x2x1x2，由x1x21，得x22ln x20(x21)(*)再由(1)知，函数h(t)t2ln t在(0，)上单调递增，而x21，所以x22ln x212ln 10，这与(*)矛盾故不存在a，使k2a.
