1、直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2bxc0(或ay2byc0)(1)若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；b0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为，则椭圆C的离心率为_5.在平面直角坐标系中，已知椭圆C：1(ab0)过点，离心率为.(1) 求椭圆C的方程(2) 若斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，试探究OA2OB2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由三、典型例题题型
2、一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点变式在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1(ab0)的左焦点为F1(1,0)，且点P(0,1)在C1上(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程例2 如图，在平面直角坐标系中，已知焦点在x轴上，离心率为的椭圆E的左顶点为A，点A到右准线的距离为6（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点A且斜率为的直线与椭圆E交于点B，过点B与右焦点F的直线交椭圆E于M点，求M点的坐标题型二
3、弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0) 的离心率e，右焦点F到左准线l的距离为3 (1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程BAOxylPC变式 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，AB4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|CD|，求直线AB的方程题型三 定点问题例4 如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴
4、交于两点若直线斜率为时，（1）求椭圆的标准方程；（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论 例5 已知椭圆C：y21(a1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2y26x2y70相切(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且0，求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标变式1 已知椭圆C：1(ab0)，四点(1,1)，(0,1)，中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点变式2 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：1(ab0)的离心
5、率为，椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(1)(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 已知过点M(0，1)的动直线l与椭圆C交于A，B两点，试判断以线段AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由题型四 定值问题例6 已知椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且与轴平行，过点作两条直线分别交椭圆于两点，若直线平分，求证：直线的斜率是定值，并求出这个定值变式 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的右顶点为.（1）求该椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线的斜率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距
6、离为1（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值变式在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于两点，为弦的中点，记直线的斜率分别为，当时，求的值.题型五 最值、范围问题例8 已知椭圆C：的左焦点为F(1，0)，左准线方程为x2.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若椭圆C上有A，B两点，满足OAOB(O为坐标原点)，求AOB面积的取值范围例9 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已知椭圆C的离心率
7、为，点A到右准线的距离为6。（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点Q的横坐标为，求的取值范围。例10 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，为右准线上一点点在椭圆上，且（1）若椭圆的离心率为，短轴长为 求椭圆的方程； 若直线的斜率分别为，求的值（2）若在轴上方存在两点，使四点共圆，求椭圆离心率的取值范围四、课堂练习1. 已知抛物线上的点M到其准线的距离为5，直线l交抛物线于A，B两点，且AB的中点为N(2，1)，则点M到直线l的距离为_2.已知F为双曲线C：的左焦点，直线l经过点F，若点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，则双曲线C的离心率为_3.已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为
8、F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为_4.已知椭圆过点作直线l与椭圆交于另一点C，求OBC面积的最大值5.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到右准线的距离为1过轴上一点的直线与椭圆交于两点，与交于点，是弦的中点，直线与交于点（1）求椭圆的标准方程；（2）试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由6. 已知，在平面直角坐标系中，椭圆的焦点在椭圆上，其中，且点是椭圆位于第一象限的交点.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 过轴上一点的直线与椭圆相切，与椭圆交于点，已知，求直线的斜率.五、课后练习1.由椭圆的
9、左焦点作倾斜角为45的直线l交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则_2. 已知抛物线y22px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在坐标原点，斜边长是5，一条直角边所在的直线方程是y2x，那么抛物线的方程为_3. 若直线kxy30与椭圆有公共点，则k的取值范围是_4. 已知双曲线C：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则双曲线C的离心率为_5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，两条准线之间的距离为4.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 已知椭圆的左顶点为A，点M在圆上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且AOB的面积是
10、AOM的面积的2倍，求直线AB的方程6. 如图，已知椭圆O：的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.(1) 当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求FBM的面积；(2) 记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；求的取值范围7. 已知椭圆，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且当点是椭圆的上顶点时，线段的中点为（1）求椭圆的方程；（2）延长线段与椭圆交于点，若，求此时的方程8. 已知椭圆C：的长轴长为4，两准线间距离为设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D(1，0)，且与椭圆C相交于E，F两点（1）求椭
11、圆C的方程；（2）若AEF的面积为，求直线l的方程；（3）已知直线AE，AF分别交直线x3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k0)，k，求证：kk为定值9. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于两点若的面积为，求直线l的方程10. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆的左顶点，为椭圆上位于轴上方的点，直线交轴于点，过点作的垂线，交轴于点（）当直线的斜率为时，求的外接圆的方程；（）设直线交椭圆于另一点，求的面积的最大值版权所有：高考资源网()
