1、微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：4575125381/43学科网（北京）股份有限公司第 12 讲三角函数性质、最值和 W 小题 16 类【题型一】图像与性质 1：“识图”【典例分析】已知函数 =2 +0,2，过点12,0，3,2，当 12,512，=2 +4 3 的最大值为 9，则的值为（）A2B52C2 和52D2【答案】B【解析】由图可得 =2 2 6，所以()=4 2 6+1 2 2 2 6，令 2 6=0,1，转化为求=22+4+1 的最大值问题.【详解】由已知，4=3 12=4，所以=2，=2，又(3)=2，|2，所以(2 3+)=
2、1，=6，故 =2 2 6，所以 =2 +4 3=4 2 6+1 2 2 2 6，因 12,512，所以 2 6 0,23，2 6 0,1，令 2 6=，则 0,1，故=22+4+1，若 0，易得，不符合题意；若 0 ，的最小正整数为_.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：4575125382/43学科网（北京）股份有限公司【答案】2【分析】先据图求出解析式，在解得两个可转为特殊角的三角函数值，解不等式验证最小正整数即可.【详解】由题图可知，34 =1312 3=34（T 为 f（x）的最小正周期），得 T，所以2，所以 f（x）2cos（2x）
3、.点(3,0)可看作“五点作图法”中的第二个点，则 232，得6，所以 f(x)2cos(2 6)，所以(74)=2 2 (74)6=2 (113)=2 3=1，(43)=2 (2 43 6)=2 52=0 所以7()()4f xf 43 0，即（f（x）1）f（x）0，可得 f（x）1 或 f（x）0，所以 cos(2 6)12或 cos(2 6)0当 x1 时，2 6=2 6 (3,2),0 (2 6)12，不符合题意；当 x2 时，2 6=4 6 (,76),cos(2 6)，)图像上的最低点和最高点，若、两点间的距离为，则关于函数()=()的说法正确的是（）A在区间 ，上单调递增B在区
4、间，上单调递减C在区间，上单调递减D在区间，上单调递增【答案】C【分析】首先利用二倍角公式将()化简为()=12 (2+2)，再由，分别为()的图像上的最低点和最高点得到=，再由，两点之间距离为 5 得 32+2=5，从而求得,的值，进而求得的值，由题可知()的最小正周期为 6，由此得到的值，再由()经过点 1,2 及的范围求得的值，得到函数()的解析式，进而判断函数()在区间的单调性.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：4575125383/43学科网（北京）股份有限公司【详解】()=(+)(+)=12 (2+2)如图，过点作轴的垂线，过点作轴
5、的垂线，设两垂线的交点为，连接，可知为直角三角形，|=5，|=3，则|=4，易知=，解得=2，=2，12 =2，12 =|，得=4，12 22=1 (2)=3，=6，故()=2 (3 +2)，由函数()的图像经过点(1,2)可得(1)=2 (3+2)=2，则3+2=2+2，又 0 ，02 =2+微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：4575125384/43学科网（北京）股份有限公司(3)=0,(23+)=0,0 2解得：=3 ()=(2+3)又(0)=3,3=3，=2，()=2 (2+3)()=1 2 322=2 32=2 (2+3)=2 (2+
6、3+2)=2 (2+56)由三角函数图象平移性质得 2 (2+56)=2 2(4)+56 =2 (2 2+56)=2 (2+3)=()(技巧：由三角函数图象平移性质得(2+3)(2+56)2=4)所以()函数向右平移4个单位长度得到().故选：B【题型二】图像与性质 2：求周期【典例分析】已知函数4411()(1)(1)sincosf xxx，则()的最小正周期为ABCD【答案】C【详解】=1sin4 11cos4 1=1sin4sin4 1cos4cos4=1sin21+sin2sin41cos21+cos2cos422222244222cos1sinsin1cos2sincos81611s
7、incossincossin 21cos 4xxxxxxxxxxxx，则 的最小正周期为24=2，故选 C.【变式演练】1.函数()=|+|的最小正周期为（）ABCD【答案】B【分析】画出()=1+2 2 图象，再利用图象翻折得到()=|1+2 2|观察图象可得周期.【详解】由()的图象可知，=.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：4575125385/43学科网（北京）股份有限公司故选：B.【点睛】本题考查三角函数型的图像与性质.三角函数周期的求解公式法：(+)+或 (+)+的最小正周期为2|，()的最小正周期为|2.已知函数 =+在区间,有三
8、个零点，且 ，若+=，则 的最小正周期为（）ABCD【答案】C【分析】根据题意，知当=73时，+6=52，由对称轴的性质可知1+2=23和2+3=83，即可求出，即可求出 的最小正周期.解：由于 =+6 0 在区间 0,73 有三个零点1，2，3，当=73时，+6=52，由对称轴可知1，2满足1+6+2+6=2 2，即1+2=23.同理2，3满足2+6+3+6=32 2，即2+3=83，1+22+3=103=53，=2，所以最小正周期为：=22=.故选：C.3.已知函数()=2 +2 ，则A()的最小正周期为，最小值为 1B()的最小正周期为，最小值为-3C()的最小正周期为 2，最小值为 1
9、D()的最小正周期为 2，最小值为-3【答案】D【分析】首先利用余弦倍角公式，将式子进行化简，使得解析式中只有一个函数名，之后进行配方，结合正弦函数的周期和值域，求得函数的周期和最值，对选项逐一分析判断，得出结果.【详解】化简函数解析式可得()=2 +2 =1 2 2 +2 =2(12)2+32，可以求得其最小正周期为=2，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：4575125386/43学科网（北京）股份有限公司其最大值为32，最小值为2(1 12)2+32=3，故选 D.【题型三】图像与性质 3：正余弦函数的对称轴【典例分析】设函数()=(+)(
10、,)，若方程 =恰好有三个根，分别为,()，则+的取值范围是_【答案】54,118)【详解】作 =sin 2+4 0,98图像，由图像可得，231123137223,2,)222,),4444 244442xxxxxx 1+2+3的取值范围是54,118【变式演练】1.若将函数 =2sin 2+2 的图象向左平移6个单位后得到的图象关于轴对称，则函数 在 0,2 上的最大值为（）A2B 3C1D 32【答案】A【分析】利用三角函数图象的变化规律求得：=2sin 2+3+，利用对称性求得=6，由 0,2时，可得 2+6 6,76，由正弦函数的单调性可得结果.【详解】函数 =2sin 2+(2)的
11、图象向左平移6个单位长度后，图象所对应解析式为：=2sin 2 +6+=2sin 2+3+，由 关于轴对称，则3+=+2，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：4575125387/43学科网（北京）股份有限公司可得=+6，又 0 图象对称中心和函数 =3cos 2+的图象的对称中心完全相同，若 0,2，则函数 的取值范围是_【答案】32,3【分析】化简得到 =3cos 23，根据对称中心相同得到=2，故 =3sin 2 6，当 0,2，2 6 6,56，得到范围.【详解】=3sin 6，=3cos 2+,两函数对称中心完全相同，故周期相同，故=2
12、，故 =3sin 2 6，当 0,2，2 6 6,56，故 =3sin 2 6 32,3.故答案为：32,3.【变式演练】1.已知函数()=2 (+)(0,|0,|2)的最小正周期 34，2 34，解得：0 83，由于=712是函数()的一条对称轴，且(,0)3为()的一个对称中心，712 3=4=4+2 =214+2，（），则=2+4，（），则=2，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：4575125389/43学科网（北京）股份有限公司又2 3+=，()，由于|2，=3，故()=2 (2+3)，4,6，2+3 6,23，2+3 12,1，1,2
13、.故选：B2.已知定义在,+上的奇函数 在,上单调递增，且满足 =，则关于的不等式 +的解集为（）A,+B,+C,D,【答案】C【分析】令 =2，利用奇偶性定义可知 为奇函数，并可确定 在,0，0,+上单调递增，由 10g 知 1=0，结合52 1=1=2，当=52时，2+=45+52=95，当=52时，2+不成立，即52 52 不成立，由此可在坐标系中画出 与=大致图象如下图所示：由图象可知：当 ,1 0,1 时，即当 ,1 0,1 时，2+.故选：C.3.设函数 sin 23f xx.若12 0，且(1)+(2)=0，则 2 1 的取值范围为（）A(6,+)B(3,+)C(23,+)D(4
14、3,+)微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253810/43学科网（北京）股份有限公司【答案】B【分析】由函数的图象可得，x2，x1 关于点（6，0）对称，|x2x1|最小，进而可得结果.【详解】根据函数 f（x）sin（2 x+3）f（x1）+f（x2）0，可得 f（x1）f（x2），令 x2x1，根据图象，可得 x2，x1 关于点（6，0）对称时，|x2x1|最小，x1x20，x20，则 x13，故选：B【题型五】最值与范围 1：辅助角【典例分析】已知函数 =+，周期 0，函数()=3 +4 （0 3）的值域为 4,5，则(3)的
15、取值范围是（）A 1,725B 725,1C725,35D725,45【答案】D【分析】利辅助角公式可得 =5sin +（其中sin=45,cos=35,0 2），再利用换元法令=+，从而得到 cos3 的取值范围.【详解】因为 =5sin +（其中 sin=45,cos=35,0 0,03，所以3 +因为 =4，且 0 2，所以 =4,2=5，故2 3 +，即2 3 2当 0 2 2 时，=cos单调递减，因为 cos2 =sin=45,cos 2=cos2=sin2 cos2=1625 925=725，所以 cos3 725,45 故选 D2.已知当=4时，函数()=+取到最大值，则 +3
16、4 是（）A奇函数，在=0 时取到最小值；B偶函数，在=0 时取到最小值；C奇函数，在=时取到最小值；D偶函数，在=时取到最小值；【答案】B【分析】由辅助角公式可得()=2+1 +，根据=4时()有最大值可得，求出()，再根据奇偶性并计算 0+34、+34 可得答案.【详解】2()sincos1sinf xaxxax =12+1,=2+1，取 ，当sin1x 时，()有最大值 2+1，即+=2+2 ，所以=2+2+4，可得=2+2+4，所以=34，()=2+1 +34，则 +34=2+1 +32=2+1 ，因为 =，所以 +34=+34，+34 为偶函数，0+34=2+1 0=2+1，+34=
17、2+1 =2+1，故 B 正确，故选：B.3.若存在正整数 m 使得关于 x 的方程 +(+)=+在(,)上有两个不等实根，则正整数 n 的最小值是_【答案】4【分析】化简 +(1+)=2+(1+)2 (+)，因为 0 ，则 +1+2+1+22+1 2+1+2 1，即可得出答案【详解】+(1+)=2+(1+)2 (+)，其中 =1+2+(1+)2，=22+(1+)2，因为 0 ，则 +1+2+1+2 2+1 2+1+2 1对任意，恒成立由得 3 4 3，存在 ，成立，所以 3 3，所以=4故答案为：4【题型六】最值与范围 2：一元二次正余弦有界性【典例分析】.关于的不等式 在区间(,)上恒成立
18、，的最大值为，则实数的取值范围（）A +B=+C D=【答案】D【分析】根据题中条件，得到 2 32 5 ，求出 3 5 2 4 3 得 2 4 2 4 3 ，即 4 2 4 3 2+0，则 2 32 5 ，为使不等式有解，必有 5；所以5 2 3 5 ，即 3 5 2 3+5 ，若=2 3+1，则 3 4+2 3 2 3+4+2 3，即 3 3+1 2 3+3+1，则12 3+12，又 1 3+12显然恒成立，所以12 1，解得6+2 76+2，；微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253813/43学科网（北京）股份有限公司由题意可
19、得，(,)是 6+2,76+2 的子集，此时 的最大值为76 6=43，不满足题意，故排除 AB 选项；若=11，则 3 4 2 3+4，即 32 2 32+2，显然对任意 xR 恒成立，此时 无最大值；故 C 错；若=7，则 3 12 2 3+12，即32 3 32，因为 1 3 32 显然恒成立，所以32 1，解得3+2 0，再令 =,则 1,1，可得不等式 42+2 1 0 在 1,1 无解，可得4 12+1 2 1 04 1 2+1 2 1 0，解之可得的最大值，再代入方程 12=0,0,2018中，可微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：
20、45751253814/43学科网（北京）股份有限公司将方程化为12 12=0,0,2018，解之可得解的个数.【详解】根据余弦函数的二倍角公式将不等式 cos2 cos21axbx 转化为 +2 2 2 1 1,即4 2 +2 1 0，令 =,则 1,1，所以由题意得不等式 42+2 1 0 在 1,1 无解，所以4 12+1 2 1 04 1 2+1 2 1 0，解得 12，所以的最大值为12，所以方程 12=0,0,2018化为12 12=0,0,2018，即 =1,0,2018，所以 0 2 2018,，解得 0 20182 321.3,，所以整数的个数有 322 个，所以当实数取得最
21、大值时，方程 12=0,0,2018的解得个数为 322.故答案为：322.3.已知 ，若 +对任意实数恒成立，则实数应满足的条件是_.【答案】12m 【分析】不等式2 +2 2 2 0 变形为 2 +2 2 1 0 令=0 1，即上式变形为关于的一元二次不等式 2+2 2 1 0，对应的二次函数为()=2+2 1，根据题意，若满足 0 2时不等式2 +2 2 2 0 恒成立，则需 0 1 时，()0 恒成立，分类讨论，当=0 或 0 =1 或=1 时，判断函数单调性，解不等式，求解即可.【详解】2 +2 2 2 0 1 2 +2 2 2=2 +2 2 1 0.设=0 1，()=2+2 2 1
22、.由题意可知，0 1 时，()0 恒成立.当对称轴=0 时()在 (0,1)上单调递减，则()(0)=2 1 0，即12 0当对称轴 0 =1 时，()()=2+22 2 1=2 2 1 0。解得 1 2 1+2即 0 1当对称轴=1 时()在 (0,1)上单调递增，则()(1)=1+2 2 1=2 0，即 1综上所述：12m 故答案为：12m 【题型七】最值与范围 3：sinx 与 cosx 积和（差）换元型【典例分析】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253815/43学科网（北京）股份有限公司函数22cos22sincos2si
23、ncos()2 cos4xxxxxf xx的值域为（）A 2+1,2+1 B2+1,2+1C 54,2+1D54,2+1【答案】D【分析】将原式化简为 =+2 ，再令=+2,2，将()转化为关于 t 的二次函数，利用二次函数的性质求解值域.解：22cos22sincos2sincos()2 cos4xxxxxf xx=2 2+2 则 =+2 且,4xkkZ，令=+=2 4 2,2，则 2 =2 1，则()=2+1，2,2，当=2时，()0 恒成立，则判别式：=4 2+2 4 4 4+32+4 2=42 24+72+8 0 恒成立，即有不等式的解集为(),()由韦达定理可得 ,()()=1 故选
24、：D2.已知函数 =6 +74 2 +1，则 的最小值为（）微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253818/43学科网（北京）股份有限公司A1B2C132D5【答案】B【分析】首先根据换元法将函数 =6 +74 2 +1的最小值与函数=4+1 2 在区间(0,2的最小值，最后利用基本不等式求出函数的最小值即可.【详解】=6 +74 2 +1=6 +74(12 )+1=4 2+6 +3+1，令=+1 (0,2，则=4(1)2+6(1)+3=422+1=4+1 2，因此函数 =6 +74 2 +1的最小值与函数=4+1 2 在区间(0,2
25、的最小值相同，又因为=4+1 2 2 4 1 2=2，当且仅当=12即 =12时等号成立，所以函数 =6 +74 2 +1的最小值 2.故选：B3.函数 =+的最大值为_.【答案】33.试题分析：令=+2,，则 =2，1+2 ()=2，（其中 =11+2,=1+2）()=21+2，由于 ，()1,1，1 21+2 1，解得：33 33 故答案应填：33【题型九】最值与范围 5：绝对值型【典例分析】若函数()=+cos+sin的图象经过点(0,1)和2,1，且当 0,2 时，|()|2 恒成立，则实数 a的取值范围是_.【答案】2 4+3 2.【分析】由 的图象经过(0,1)和2,1 两点，可得
26、，与的关系，将原函数转化为只含有变量的函数，对的取值分 1，=1，1 讨论，求出 的最值，转化为最值问题即可求解.【详解】因为 经过点(0,1)和2,1，所以(0)=+=1，2=+=1，可得=1 ，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253819/43学科网（北京）股份有限公司故()=+(1 )cos+(1 )sin=+(1 )(sin+cos)=+2(1 )sin +4因为 0 2，所以4 +4 34，所以 22 sin +4 1，当 0，可得 1 2(1 )sin +4 2(1 )，所以 1 ()2(1 )+，要使2 ()2 恒成立
27、，只要 2(1 )+2，即 2，又 1，从而2 1 时，1 1，从而 1 4+3 2.综上所述，a 的取值范围为2 4+3 2，故答案为：2 4+3 2.【变式演练】1.函数 =+的值域为（）A,B,C,D,【答案】A【分析】如何去函数()中的绝对值，需判断 ,的正负，将的范围缩小，考虑周期性，只要研究一个周期的值域即可，而(+)=()，周期为，取 0,，对 分段讨论，由辅助角公式，结合正弦函数的值域，即可求解.【详解】(+)=(+)+2 (+)=()，所以 周期为，取 0,，当 0,2,=+2 =5 (+)，其中 =25,=15,+2+，当+=2时，()5，5 =2,5 (2+)=5 =1，
28、()；当 (2,=2 =5 ()，其中 =25,=15,2 ，当 =2时，()5，5 (2 )=5 =1,5 ()=5 =2，()；0,()1,5，()周期为，所以()的值域为1,5.故选:A.2.已知函数 =，若对任意实数，方程 +=有解，方程 =也有解，则+的值的集合为_.【答案】2【分析】根据题意，不妨设 1 2，分类讨论当 2，1，1 2三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的图象和性质，从而求出和的值，即可得出+的值的集合.解：由题可知 =，不妨设 1 2，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253820/43学科网（北京）股份
29、有限公司对于，对任意实数1，2，方程 1+2=有解，当 2时，方程可化为=2 1+2 有解，所以 2 1恒成立，所以 2；当 1时，同上；当 1 2时，方程可化为=2 1有解，所以 0,2，综上得：=2；对于，对任意实数1，2，方程 1 2=也有解，当 2时，方程可化为=2 1有解，所以 0,2；当 1时，同上；当 1 2时，方程可化为=2 2+1 有解，所以 1 2 2 1恒成立，所以=0，所以+的值的集合为 2.故答案为：2.3.已知函数()=(+)+的最小正周期为，若()在,上的最大值为 M，则 M 的最小值为_.【答案】2 22【分析】求出的值，取=2，然后对函数 yfx在区间 0,4
30、 上是否单调进行分类讨论，利用绝对值三角不等式结合辅助角公式可求得的最小值.【详解】由于函数 =2 +的最小正周期为，则 =2=2，=2.不妨取=2，则 =2 2+.若函数 yfx在区间 0,4 上单调，则2 +2 +2 2 42，若函数 yfx在区间 0,4 上先增后减，则=0,4,2+=2 +,2 +,2 ,2 2 +2 +2 2+4=42 +4=2 2 +422 22；若函数 yfx在区间 0,4 上先减后增，同理可知的最小值为2 22.2 222，综上可知，的最小值为2 22.故答案为：2 22【题型十】三角换元 1：圆代换【典例分析】如图，已知 为边长为 2 的等边三角形，动点 P
31、在以 BC 为直径的半圆上，若=+，则+的最小值为_微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253821/43学科网（北京）股份有限公司【答案】1【分析】如图建系，设 P 点坐标(,)，则可得,的坐标，根据题意，可得,的表达式，代入所求，根据的范围，利用三角函数求最值，即可得答案.【详解】取 BC 中点 O，以 O 为原点，OC，OA 方向为 x 轴 y 轴正方向建系，如图所示由题意得：=2 6 0=3，所以(0,3),(1,0),(1,0)，如图以 BC 为直径的半圆方程为：2+2=1(0)，设(cos,sin)P，因为 0，所以 ,2，
32、则=(,3)，=(1,3),=(1,3)，因为=+，所以 =+3=3 3，整理可得=12+12 36 =12 36 12 ，所以 2+=2(12 36 12 )+12+12 36 =32 (+6)，因为 ,2，所以+6 76,136，当+6=136 时，(+6)取最大值12，所以 2+的最小值为32 12=1，故答案为：1【变式演练】1.若+=，那么 的最大值为_.【答案】26【分析】设=2 ,=2 ，利用三角函数有界性得函数的最大值.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253822/43学科网（北京）股份有限公司【详解】设=2 ,=2
33、 ，所以 2 3=2 2 3 2 8+18=26，所以 2 3的最大值为 26.故答案为：262.记,=+，其中,、,，已知、是椭圆+=上的任意两点，是椭圆右顶点，则,+,的最大值是_.【答案】4+4 2【分析】设点 2 ,，其中 0 2，可得,=2 1 +2 ，分 0 和 2两种情况讨论，结合辅助角公式求得,的最大值，同理可求得,的最大值，由此能得出结果.【详解】设点 2 ,，其中 0 2，易知点 2,0，则,=2 2+2 =2 1 +2 .当 0 时，,=2 1 +2 =2 2 4+2，0 ，则3444，当 4=2时，,取最大值 2 2+2；当 2时，,=2 1 2 =2 2 2 +4，2
34、，则54 +4 94，当+4=32 时，,取最大值 2 2+2.综上所述，,的最大值 2 2+2，同理可知，,的最大值也为 2 2+2.因此，,+,的最大值是 4+4 2.故答案为：4+4 2.3.设圆:+=上两点,，,满足：=，则 +的取值范围是_.【答案】152,15【分析】首先由数量积公式可得120AOB，再根据绝对值的几何意义得=1215+2225表示两点，分别到直线 2=0 的距离之和，再以直线 2=0 为轴重新建立直角坐标系后，利用三角函数表示，根据角的范围求值域.【详解】由 =12，得120AOB.设=1215+2225表示两点，分别到直线 2=0 的距离之和.取直线 2=0 为
35、轴重新建立直角坐标系后，则表示两点，分别到轴的距离之和.在新的直角坐标系下，设 ,，+120,+120。则有=+120.由对称性，不妨设点在轴上或上方，即120 60.所以=+120,0 60 +120,120 0，0 60时，=+120=微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253823/43学科网（北京）股份有限公司12 +32 =+60，得+60 60,120，则 32,1，当120 55，2 ，即+0,0 =,=,(0,2)因此2+1+3+1=2+3=2 +3 =13 (+),=23,(0,4)因为+(，+2)sin（+）(,1,
36、=213，所以 2 0，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253826/43学科网（北京）股份有限公司化为 2 2 sin+cos=2 2 22+22，化为 5+2 2 0，2.当=4时，即 a=1 时取等号.因此 2+2 2+12+1的最小值是 2.故答案为 2.【变式演练】1.函数=1+0 2 的最大值和最小值分别为（）A1,1B 22,22C 22，0D0,1【答案】D【分析】根据二倍角公式和同角的基本关系化简可得=1+=2 2+2 212 2+2 2+1，再令2=，0,1，可得=1+21 22，再根据二次函数的性质即可求出结果
37、.【详解】设2=，则 0,1，则=1+=2 2+2 2 2 2 2 2 2+2 2 2+2 2=2 2+2 2 1 2 2+2 2+1=2+212+2+1=1+2221=1+21 22，由 0,1，得2 1 2 2 1，所以1 1+21 22 0，所以当=0，即=0 时，；当=1，即=4时，.故选：D.【题型十四】三角换元 5：向量中的三角换元【典例分析】已知平面向量,，=,=,=,=，则 +的最大值是_，最小值是_.【答案】162 15【分析】设=2,0,=4 ,4 ,=，易得 =14，则 =154，进而表示 +，作图分析只讨论 0,180；利用分类讨论 与,的投影的正负，以 与 垂直，与
38、垂直作为分界线，从而分三类讨论单调性，求得分别的最值，即可求得答案.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253827/43学科网（北京）股份有限公司【详解】因为=2,=3,=4,=32，可设=2,0,=4 ,4 ,=，易得 =14，则 =154所以 +=4 2 +4 3 或 +=4 2 +4 3 ，其外有绝对值，结果一样故后面只讨论前者，将其整理为 +=8 +3 +3 15 ；从图象中可看出对顶角部分（无论阴影部分还是非阴影部分）是对称的，所以只讨论 0,180当 与,的投影均非负时，显然以 与 垂直是第一个分界线，则 0,90则 +=
39、11 +3 15 =16 +,=1116,=3 1516因为2 =11162=121256 128256=12=2 4 5，所以0 45由 +90+135，即1116=+1，则 11 16 +16，所以最小值为 11，最大值为 16；当 与 的投影为负，与 的投影为正时，显然以 与 垂直是第二个分界线，则 90,90+则 +=5 +3 15 =4 10 ,=108,=3 68显然在第四象限，因2 45=12 2732=2，所以45 0，即0 45 90 90 135 90+90 +135+225，故 90 90 90 +225，所以=4 10 在区间 90 ,90 +上应单调递减，故 10 9
40、0 +10 1014 3 68+154 10815 10 90 10 15；当 与,的投影均为负时，则 90+,180微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253828/43学科网（北京）股份有限公司所以 +=11 3 15 =16 +,=1116,=3 1516由中0 45，即 90 90+180+225所以=16 +在区间+90+,180+上应单调递减故 180+90+14 3 1516 154 111615；综上所述，+的最大值为 16，最小值为 2 15.故答案为：(1).16；(2).2 15【变式演练】1.已知平面向量,，=,
41、=,=,=，则 +的最大值是_，最小值是_.【答案】162 15【分析】设=2,0,=4 ,4 ,=，易得 =14，则 =154，进而表示 +，作图分析只讨论 0,180；利用分类讨论 与,的投影的正负，以 与 垂直，与 垂直作为分界线，从而分三类讨论单调性，求得分别的最值，即可求得答案.【详解】因为=2,=3,=4,=32，可设=2,0,=4 ,4 ,=，易得 =14，则 =154所以 +=4 2 +4 3 或 +=4 2 +4 3 ，其外有绝对值，结果一样故后面只讨论前者，将其整理为 +=8 +3 +3 15 ；从图象中可看出对顶角部分（无论阴影部分还是非阴影部分）是对称的，所以只讨论 0
42、,180微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253829/43学科网（北京）股份有限公司当 与,的投影均非负时，显然以 与 垂直是第一个分界线，则 0,90则 +=11 +3 15 =16 +,=1116,=3 1516因为2 =11162=121256 128256=12=2 4 5，所以0 45由 +90+135，即1116=+1，则 11 16 +16，所以最小值为 11，最大值为 16；当 与 的投影为负，与 的投影为正时，显然以 与 垂直是第二个分界线，则 90,90+则 +=5 +3 15 =4 10 ,=108,=3 68
43、显然在第四象限，因2 45=12 2732=2，所以45 0，即0 45 90 90 135 90+90 +135+225，故 90 90 90 +225，所以=4 10 在区间 90 ,90 +上应单调递减，故 10 90 +10 1014 3 68+154 10815 10 90 10 15；当 与,的投影均为负时，则 90+,180所以 +=11 3 15 =16 +,=1116,=3 1516微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253830/43学科网（北京）股份有限公司由中0 45，即 90 90+180+225所以=16 +
44、在区间+90+,180+上应单调递减故 180+90+14 3 1516 154 111615；综上所述，+的最大值为 16，最小值为 2 15.故答案为：(1).16；(2).2 152.已知OAOB是两个夹角为 120的单位向量，如图示，点在以为圆心的上运动.若=+，其中 ，则+的最大值是（）A 2B2C 3D3【答案】B【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值即可得出答案.解：由题意，以为原点，为轴的正向，建立如图所示的坐标系，设(,)，0120 可得(1,0)，1(2B，3)2，由(1OCx，10)(2y，32)=+得，12 =，32 =，32
45、=3 ，cos3sin2sin(30)xy ，0120 ，3030150，当=60时，+的最大值为 2，此时为弧的中点.所以+的最大值是 2.故选：B.3.已知非零平面向量，满足：，的夹角为3，与 的夹角为23，=2 3，=2，则 的取值范围是_【答案】0,6+4 3微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253831/43学科网（北京）股份有限公司【分析】以点为起点作向量=，=，=，则=，=，=，由，的夹角为3，与 的夹角为23 可知：四点,共圆，然后结合正弦定理与三角函数求解即可【详解】如图：以点为起点作向量=，=，=，则=，=，=，由
46、，的夹角为3，与 的夹角为23 可知：四点,共圆，由 =2 3，=2 得=2 3，=2，在 中：sin=sin，即2 3sin23=2sin所以 sin=12，所以=6，由同弧所对的圆周角相等，可得=6，设=，则=56 ，在 中：sin6=sin=sin56 ，所以=4sin,=4sin56 ，=cos=cos6=4sin 4sin56 32=8 3sin 12 cos+32 sin=4 3sincos+12sin2=2 3sin2 6cos2+6=4 3sin 2 3+6，0 56，3 2 3 43，32 sin 2 3 1，6 4 3sin 2 3 4 3，0 4 3sin 2 3+6 4
47、 3+6，则 的取值范围是 0,6+4 3故答案为：0,6+4 3【题型十五】三角函数中 w 求解【典例分析】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253832/43学科网（北京）股份有限公司函数()sin()0,|2f xx，已知,06为()图象的一个对称中心，直线=为()图象的一条对称轴，且()在,上单调递减记满足条件的所有的值的和为，则的值为（）ABCD185【答案】A【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到1312 +6=4+或1312+6=34+,，由()在1312,1912 上单调递减可以得到1912 1312 2，算出的大
48、致范围，验证即可.【详解】由题意知：1312 +6=4+或1312+6=34+,54 =14+2或54=34+2=25(1+4)或=25(3+4),()在1312,1912 上单调递减，1912 1312 22 12 2 2当=25(1+4)时，取=0 知=25此时()=25 +15，当 1312,1912 时，25 +15 2,710 满足()在1312,1912 上单调递减，=25符合取=1 时，=2，此时()=2+3，当 1312,1912 时，2+3 52,72 满足()在1312,1912 上单调递减，=2 符合当 1 时，0，舍去，当 2 时，2 也舍去当=25(3+4)时，取=0
49、 知=65此时()=65 +5，当 1312,1912 时，65 +5 32,2110 ，此时()在1312,1912 上单调递增，舍去当 1 时，,，若()的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间(,)，则的取值范围是（）微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253833/43学科网（北京）股份有限公司A,B,C(,D(,【答案】B【解析】,()=2 (4),由 12，得=2 4，,2T12 1,由对称轴 4=2+,=1(34 +),假设对称轴在区间 3,4 内，可知316+4 14+3,当 k=1,2，3 时，716 712,11
50、16 1112,1516 54，现不属于区间 3,4，所以上面的并集在全集12 0）的最大值为5，则正实数的取值个数最多为（）A4B3C2D1【答案】C【分析】换元，令=6 6,6 6，讨论6 6与2的大小关系，由单调性即可求出函数 的最大值，再根据函数零点的判断方法，即可判断出正实数的取值个数【详解】令=6 6,6 6，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253834/43学科网（北京）股份有限公司当6 6 2时，即 4，根据正弦函数的单调性可知，5，解得5；当6 6 2时，即 0 4，根据正弦函数的单调性可知，=在 2,2 上单调递
51、增，所以 6 65设 =6 6 5，1 4，=6 6 6 15，因为 0 6 6 0，0 4 0，由零点存在性定理可知，存在唯一的1 1,0 1,4，使得 1=0，即说明6 6=5只有一个实根，综上可知，正实数的取值个数最多为 2.故选：C【题型十六】数列与三角函数【典例分析】知 是等差数列，sinnnba，存在正整数 ，使得+=，.若集合=,中只含有 4 个元素，则的可能取值有（）个A2B3C4D5【答案】C【分析】考虑 3 不符合题意，=4,6,7,8 时，列举出满足条件的集合，再考虑=5 时不成立，得到答案.【详解】当 3 时，+=，根据周期性知集合最多有 3 个元素，不符合；当=4 时
52、，4nnbb，取=2 6，此时=32,12,32,12，满足条件；当=5 时，+5=，即 +5=，=25,，在单位圆的五等分点上不可能取到 4 个不同的正弦值，故不满足；当=6 时，+6=，取=3 6，此时=12,12,1,1，满足条件；当7t 时，+7=，取=27 2，此时=314,1,14,514，满足条件；当=8 时，+8=，取=4 58，此时=8,38,8,38，满足条件；故选：C【变式演练】1.设数列是首项为 0 的递增数列，函数()=|()|,+满足：对于任意的实数 ,)，()=总有两个不同的根，则的通项公式是=_微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版
53、下载 QQ 群：45751253835/43学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)2【分析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可得+1 =，再利用“累加”法和等差数列的前 n 项和公式，即可求解【详解】由题意，因为1=0，当=1 时，1()=|,0,2，又因为对任意的实数 0,1)，1()=总有两个不同的根，所以2=，所以1()=,0,2=，又2()=|12(2)|=|12()|=2,3，对任意的实数 0,1)，1()=总有两个不同的根，所以3=3，又3()=|13(3)|=|12(3)|=3,3,4，对任意的实数 0,1)，1()=总有两个不同的根，所以4=6，由此可得+
54、1 =，所以=1+(2 1)+(1)=1+(1)=(1)2，所以=(1)2故答案为(1)22.已知函数()=，数列 中，=()+(+)，则数列 的前 100 项之和=_【答案】10200【详解】因为 =2cosx2，所以 naf nf n1 2 2+（+1）2（+1）243=（4 3）2（43）2+（4 2）2（42）2=-(4 2)2 同理可得：42=(4 2)2,41=(4)2,4=(4)2 43+42+41+4=2(4 2)2+2(4)2=8(4 1),的前 100 项之和100=8 3+7+99=10200.故答案为 10200.3.设数列an是首项为 0 的递增数列，满足：对于任意的
55、 b0，1），fn（x）=b 总有两个不同的根，则an的通项公式为【答案】【详解】试题分析：根据条件确定 an+1an=n，利用叠加可求得an的通项公式解：a1=0，当 n=1 时，f1（x）=|sin（xa1）|=|sinx|，x0，a2，又对任意的 b0，1），f1（x）=b 总有两个不同的根，a2=f1（x）=sinx，x0，a2=又 f2（x）=|sin（xa2）|=|sin（x）|=|cos|，x，a3微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253836/43学科网（北京）股份有限公司对任意的 b0，1），f1（x）=b 总有两个
56、不同的根，a3=3又 f3（x）=|sin（xa3）|=|sin（x3）|=|sin x|，x3，a4对任意的 b0，1），f1（x）=b 总有两个不同的根，a4=6由此可得 an+1an=n，an=a1+（a2a1）+（anan1）=0+（n1）=故答案为【课后练习】1.已知定义在上的偶函数 =+(,)的部分图象如图所示，设为 的极大值点，则 +=（）AB C D【答案】B【分析】由()为偶函数得到=+为偶函数，从而得到=2，再由2=32=0 得到，从而得到()解析式，通过求导找到极大值点0，代入=+计算即可.【详解】因为 =+10为偶函数，=为偶函数，所以=+为偶函数，又 0 0 知=1,
57、所以 =10，因为 yfx和=为偶函数，所以只需考虑 0微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253837/43学科网（北京）股份有限公司的情况，当 0 时，=10，=10=210 +4当+4=2+2,，即=4+2,时，有极大值，此时(+)=22.故选：B.2.已知函数 f(x)3sin 的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆 x2y2k2 上，则 f(x)的最小正周期为_【答案】4【解析】【详解】试题分析：由已知可得=2(不妨取 0)，则最大值点(2,3)在圆上，则(2)2+(3)2=2，=2,=4.考点：1、函数=(+)的图
58、像与性质；2、圆的方程.【方法点晴】本题主要考查函数=(+)的图象与性质和圆的方程，综合性较高，属于较难题型.解决本题的关键是由()图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点这一条件判断出()的=2(不妨取 0)，进而可得最大值点(2,3)在圆上（用最小值点(2,3)也可以），从而代入圆方程问题就迎刃而解.3.已知函数 =，记方程 =在 ,上的根从小到大依次为，.，求+.+=_.【答案】92【分析】由已知写出()的对称轴方程及其周期，判断端点(0)、(21)的值，问题转化为()在 0,21 上与=13的交点问题，画出函数图象的草图即可确定根，进而根据目标表达式及对称轴求值.【详解】由 0,21，则
59、4 3 3,5912，而4 3=+2，知：关于=4+103 对称，又最小正周期为=24=8，(0)=(3)13,(21)=(214 3)=(5912)=(1112)13，()在 0,21 上的函数图象如下，其与=13的交点横坐标，即为 =13的根1，2，3，4，5，6，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253838/43学科网（北京）股份有限公司如图，区间内共有 6 个根，且有3+42=343,4+52=463,5+62=583，3+24+25+6=(3+4)+(4+5)+(5+6)=683+923+1163=92.故答案为：92.4
60、.当=时，函数 =sin cos取得最大值，则 +=_.【答案】3【分析】利用辅助角公式得出 =5 ，分析可得出0=+2+2 ，利用诱导公式及两角和的正切公式可求解.【详解】利用辅助角公式 =2 =5 ，其中 =2当=0时，函数 取得最大值，则0 =2+2 ，所以0=+2+2 ，所以 0+34=+2+2+34=+34+2=+34+2+34+2=+34+34=1+34又 +34=11+=211+2=13，所以 0+34=3 故答案为：3.5.已知 +=14，则 2 的最大值为_【答案】9/16【分析】由已知求得 =14 1,1，可得 34,1，利用同角三角函数基本关系可得 2 =122 1，利用
61、二次函数性质即可求解.【详解】+=14，1,11sincos1,14xy，34,54，即 34,12222131sinsincos1 coscoscoscos1442xyyyyyyQ微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253839/43学科网（北京）股份有限公司又 34,1，利用二次函数的性质知，当 =34时，sin sin2 max=34 122 1=916.故答案为：9166.已知直线=与函数 =和函数 =的图象分别交于,两点，若 =，则线段中点的纵坐标为_.【答案】710【详解】由题意，知,sin,cos，则线段的中点为,12 s
62、in+cos.而 =sin cos=15.；设 sin+cos=，、两式分别平方，相加，得 2=125+2，解得=75.又 0 0，故取75.所以线段中点的纵坐标为12 75=710.7.已知函数()=()+()+（），则()的最大值为_【答案】22【分析】利用两角差的正弦公式将 化为2 2sin4+2 2+1，利用二次函数与正弦函数性质可得结果.【详解】=2cos4 1+4 12+4+5=2+2sin44 42+4+5=2 2sin4+2 2+1，当4 0 时，4 0，=2 时函数=2 2sin4 的最大值为 22，此时，函数=+2 2+1 在=2 时取得最小值 1，的最大值为22.故答案为
63、 228.若不等式 +4 0，对于 0,2 成立，则 +，分别等于（）A 22；22B 22；22C22；22D22；22【答案】D【分析】设 =|，根据三角函数值的符号，求得函数 符号的变化，根据函数 的单调性与对称性，求得,的值，即可求解.【详解】由 0 2，则4 +4 94，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253840/43学科网（北京）股份有限公司当4 +4 或 2 +4 94 时，即 0 34 或74 2时，(+4)0，当 +4 2时，即34 74 时，(+4)0，所以当 0 34 或74 2时，|0，当34 74 时，|
64、0，设函数 =|，则 在(,)上单调递增，在(,+)上单调递减，且函数 的图象关于直线=对称，所以(34)=(74)=0，所以 2=34+74=52，解得=54，又由(34)=|34 54|=0，解得=2，所以(+)=(2+54)=22，()=(2 54)=22.故选：D.9.设点,在椭圆+=上，点,在直线+=上，则 +的最小值是（）A+B C+D2【答案】D【分析】设12 2cosx，12siny，0,2，则 2 1+2 1222212 2 cos2 sin22 2 cos22 sin2xyxy再放缩可得其大于等于2212 2 cos22 sin2 xy结合已知条件，利用辅助角公式化简即可求
65、最值.【详解】设12 2cosx，12siny，0,2则有2121222 2 cos2 sinxxyyxy221 222 cos22 sin2xy22122 cos22 sin2xy22122 cos22 sin2 xy1 82 2(cossin)21 84sin224当且仅当 +4=12 2 2 =0时取最小值，即=4，此时 2,1，2,3，2 1+2 1 的最小值是 2，故选：D.10.若集合 P(,)+=，Q(,)+，则 PQ 表示的曲线的长度为_.【答案】23【分析】作出2240 xyx与+215的图象，得到 PQ 表示的曲线，利用圆的弧长即可求解.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信
66、 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253841/43学科网（北京）股份有限公司【详解】由2240 xyx得(2)2+2=4，由+215得+215=+215,2+215,0，作出两曲线图像如下：此时 PQ 表示的曲线长度为图中上半圆去掉劣弧 AB部分，直线 15 2=0 与圆心的距离=2215+1=1，且 r2，在 中，=12，=60=2=120，曲线长度为：2 4 120360=23.故答案为：2311.函数 yx21023xx的最小值为_【答案】5 2【分析】整理 yx21023xx得：yx 2 5 2，利用 2 5 2 0 作三角换元得：x5 2cos，0,，即可整
67、理函数为：y2sin +4 5，利用三角函数的性质即可得解.【详解】原函数可化为：yx 2 5 2.由 2(x5)20|x5|2，令 x5 2cos，0,那么 y 2cos5 2sin2sin +4 5.因为44,54，所以 sin +4 22,1，所以函数的最小值为 5 2.12.已知单位向量,满足 =，则对任意 ，+的最小值为_.【答案】14【分析】不妨设单位向量1=(,)，2=(,)，3=(,)，4=(1,0)，用坐标表示出向量的模，然后由二次函数性质得最小值，再由二倍角公式求得2，由各差化积公式变形，结合正弦函数性质和绝对值的性质得最小值【详解】由题意不妨设单位向量1=(,)，2=(,
68、)，3=(,)，4=(1,0)，其中1 2=()=3132，3 4=(0,32，6,2)，(0,)微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253842/43学科网（北京）股份有限公司()=2 2 2 1，2=181+2+3+4=(+,+)，1+2+3+4=(+)2+(+)2，所以=(+)时，1+2+3+4 +2+2 2+14+2+，又1 +2 1，12 1，所以14+2+14+1214故答案为：1413.设是正实数，若函数=在,上至少存在两个极大值点，则的取值范围是_.【答案】94,52 134,+【分析】考虑=在,2 上无极大值点和有且只
69、有一个极大值点的取值范围，取其补集后可得所求的取值范围.【详解】令 =1，解得=4+1 2，.若=在,2 上无极大值点，则存在实数，使得4+1 2 2 4+5 2，整理得到4+1 2 2 4+5 2，解得 2+12 0 且存在，故 2+12 +54 1，=0 或=1，故12 54或 0 14.若=在,2 上有且只有一个极大值点，则存在实数，使得43 2 4+1 2 2 4+5 2，或43 2 4+1 2 2 4+5 2，解得2 32 2+12+14 +54或者2 32 2+12+14 0 且存在，故 2+12 14且 2 32 +54，故整数满足=0,1,2，当=0 时，14 12，当=1 时
70、，54 94，当=2 时，52 0 在区间,2 上没有最值，则的取值范围是_.【答案】0,16 13,23微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253843/43学科网（北京）股份有限公司【分析】根据正弦函数的图像与性质，可求得取最值时的自变量值，由 在区间,2 上没有最值可知3+,2，进而可知3+或3+2，解不等式并取的值，即可确定的取值范围.【详解】函数 =sin +6,0，由正弦函数的图像与性质可知，当取得最值时满足+6=2+,，解得=3+,，由题意可知，在区间,2 上没有最值，则3+,2，所以3+或3+2，因为 0，解得 13+或
71、 16+12，当=0 时，代入可得 13或 16，当=1 时，代入可得 43或 23，当=2 时，代入可得 73或 76，此时无解.综上可得 0 16或13 23，即的取值范围为 0,16 13,23.故答案为：0,16 13,23.15.数列 的通项=，其前项和为，则 S18 为（）A173B174C175D176【答案】B【分析】化简可得=2 23，讨论取不同值时的通项公式，并项求和.【详解】=32 32=2 2 3 2 3=2 23当=3kN 时，3=3 2；=3 1kN 时，31=31 22；=3 2kN 时，32=32 2232+31+3=32 2231 22+3 2=9 52所以18=9 1+2+6 52 6=9 1+6 62302=174故选：B
