1、更上一层楼基础巩固1下列可以作为直线2xy+1=0的参数方程的是( )A.(t为参数) B.(t为参数)C.(t为参数) D.(t为参数)思路解析：根据所给的方程可知直线的斜率为2,而所给直线的参数方程中,A选项的斜率是1,B选项的斜率是-2,C选项的斜率是2,D选项的斜率是,所以只有C符合条件,这里C虽然不是标准式的参数方程,但是只有C能化成2x-y+1=0.答案：C2已知直线l的斜率为k=-1,经过点M0(2,-1),点M在直线上,以的数量t为参数,则直线l的参数方程为_.思路解析：直线的斜率k=-1,倾斜角=.因此得cos=,sin=.代入参数方程的标准形式即可.答案：(t为参数)3直线
2、l经过点M0(1,5),倾斜角为,且交直线x-y-2=0于M点,则|MM0|=_.思路解析：直线l的参数方程为(t为参数),代入方程x-y-2=0中得1+t-(5+t)-2=0t=6(-1).根据t的几何意义即得|MM0|=6(-1).答案：6(-1)4已知直线l的参数方程是(t为参数),其中实数的范围是(,),则直线l的倾斜角是_.思路解析：首先要根据的范围把直线的参数方程化为标准参数方程,根据标准式结合的范围得出直线的倾斜角.答案：-5已知圆x2+y2=r2及圆内一点A(a,b)(a、b不同时为零),求被A平分的弦所在的直线方程.思路分析：利用直线参数方程中参数t的性质.所以,首先设出直线
3、的参数方程,代入圆的方程,可以得到关于参数t的二次方程,根据参数的性质可知,方程两根的和为0.解：设所求直线的参数方程为(t为参数),代入圆的方程x2+y2=r2,整理得t2+2(acos+bsin)t+a2+b2-r2=0.设t1、t2为方程两根,A是中点,t1+t2=0,即acos+bsin=0.a+b,得ax+bya2+b2+t(acos+bsin)a2+b2,故所求直线方程是ax+by=a2+b2.6下表是一条直线上的点和对应参数的统计值:参数t26横坐标x2-12-0纵坐标y5+65+7根据数据,可知直线的参数方程是_,转化为普通方程是(一般式)_,直线被圆(x-2)2+(y-5)2
4、=8截得的弦长为_.思路解析：这是一个由统计、直线参数方程和普通方程、圆的知识组成的一个综合问题.充分考查了这几部分知识的灵活运用.首先,根据统计的基本知识,观察分析所给数据的特点给出直线的参数方程(t为参数),然后把参数方程转化为普通方程x+y-7=0,而由参数方程可知直线一定过点(2,5),恰好是所给圆的圆心,所以直线被圆所截得的弦长恰好是圆的直径,易知直径长为.答案：(t为参数) x+y-7=0 7已知点A(3,0),点B在单位圆x2+y2=1上移动时,求AOB的平分线与AB的交点的轨迹.思路分析：本题综合了圆和直线的参数方程两者的应用,要注意的是当点O,A,B共线这种特殊情况的讨论.解
5、：点B在单位圆上,则可设B(cos,sin),AOB的平分线与AB的交点为P(x,y),则分 =3,又点P在AB上,由直线的参数方程得()2+()2=1.整理得(x-)2+y2=.特别地,如果点B的坐标为(1,0),则AOB的平分线与AB交于线段AB上任一点,P点轨迹为线段BA;如果点B的坐标为(-1,0),则AOB的平分线与AB交于点O.当点B的坐标为(1,0)时,所求轨迹为线段BA;当点B的坐标为(-1,0)时,所求轨迹为点O;当点B为单位圆上其他点时,所求轨迹为以(,0)为圆心,以为半径的圆.综合应用8给出两条直线l1和l2,斜率存在且不为0,如果满足斜率互为相反数,且在y轴上的截距相等
6、,那么直线l1和l2叫做“孪生直线”.(1)现在给出4条直线的参数方程如下:l1:(t为参数);l2:(t为参数);l3:(t为参数);l4:(t为参数).其中构成“孪生直线”的是_.(2)给出由参数方程表示的直线l1:(t为参数),直线l2:(t为参数),那么,根据定义,直线l1、直线l2构成“孪生直线”的条件是_.思路解析：根据条件,两条直线构成“孪生直线”意味着它的斜率存在不为0,互为相反数,且在y轴的截距相等,也就是在y轴上交于同一点.对于题(1),首先可以判断出其斜率分别为-1,1,-1,1,斜率互为相反数条件很明显,再判断在y轴上的截距.令x=0得出相应的t值,代入y可得只有直线l
7、1和直线l4在y轴上的截距相等,而其斜率又恰好相反,可以构成“孪生直线”.对于题(2)首先写出相应斜率分别是tan1和tan2,因此要tan1=-tan2,即tan1+tan2=0；然后再考虑在y轴上的截距,首先在l1的参数方程中,令x=x1+tcos1=0,可得t=,代入得y=y1-x1tan1.同理可得直线l2在y轴上的截距是y=y2-x2tan2.由定义中的条件“截距相等”可得y1-x1tan1=y2-x2tan2,即y1-y2=x1tan1-x2tan2.如果把tan1=-tan2代入式子还可以进一步得到y1-y2=x1tan1+x2tan1,即y1-y2=(x1+x2)tan1.答案
8、：（1）直线l1和直线l4（2）tan1+tan2=0且y1-y2=x1tan1-x2tan2也可以写出y1-y2=(x1+x2)tan19已知抛物线方程：y=x2-2x+,过焦点F作直线交抛物线于A、B,且AFFB=12.求(1)直线AB的方程;(2)弦AB中点到抛物线准线的距离.思路分析：由题目中的条件可知：利用直线的标准参数方程来求解,主要考虑从t的几何意义来入手解题.解：(1)由y=x2-2x+,得(x-1)2=y+,焦点F（1,0）.可设直线AB:代入y=x2-2x+,t2cos2-tsin-=0,由题意AFFB=12,或=-2,即t1=-t2或t1=-2t2.(t1+t2)2=-t
9、1t2或(t1+t2)2(-2)=t1t2,解得tan=.AB:y=(x-1).(2)设AB中点为M,AB: tm=(t1+t2)=,准线l:y=-.d=ym-(-)=.10过点M（2,1）的直线l交椭圆C：=1于A、B两点,使点M是AB的一个三等分点,求直线方程.思路分析：本题为一直线与圆锥曲线的相交问题,由此类问题的一般求解方法：把直线的参数方程同椭圆的参数方程联立即可,考虑利用直线参数方程中参数的几何意义来解答.解：设AB方程为(t为参数),A、B两点对应的参数为t1,t2,则t1=-2t2.则由t1+t2=-t2,t1t2=-2t22t1t2=-2(t1+t2)2；联立C与l得(4si
10、n2+cos2)t2+(18sin+4cos)t-8=0.故t1+t2=,t1t2=,tan=-8=k.l方程为y-1=(-8)(x-2).11已知AB是半径为R的圆O的直径,CN为平行于AB的弦,M为CN的中点,求BM、ON交点P的轨迹方程.思路分析：求交点的轨迹方程问题,其一般方法是联立方程组求解即可.但入手的角度不同,选择的参数不一样,则解题思路及消参方法自然不同.解：建立直角坐标系:以AB所在直线为x轴,线段AB中垂线为y轴.(自行作图)则B(R,0),设P(x,y),CNAB,ym=yn.设M纵坐标为参数t,则M(0,t),t(-R,R),t0.则N(,t),由点斜式得lON:y=x
11、,lBM:y=x+t.由于动点P是BM、ON的交点,故P的坐标同时满足以上两个直线方程,两者联立消去参数t得P的轨迹方程为y2=-2R(x-)(0x,-Ry0,t为参数时,设)(2)求上述直线截上述曲线所得的弦长.(3)根据上述求解过程总结出一个结论,并用基本语句编写一个算法计算弦长.思路分析：本题综合考查参数方程,直线与曲线的位置关系以及算法等基本知识.首先根据参数方程的形式知:当t为参数时,参数方程表示直线,当为参数表示圆,且直线恰好过圆的圆心,所以弦长就是圆的直径.根据所给的参数方程不难得到一般结论,用算法表示弦长只需根据数据求出圆的直径,所以只需使用顺序结构即可.解：(1)以t为参数时
12、,所给参数方程表示的图形是过点(2,5)且斜率为tan的直线,化为普通方程是y-5=tan(x-2);以t为参数时,参数方程表示以(2,5)为圆心,半径为t的圆,化为普通方程是(x-2)2+(y-5)2=t2.(2)上述直线恰好过圆的圆心,所以截圆所得弦长为圆的直径2t.(3)根据上述计算过程可以总结出一般的结论为:对于一个参数方程(为参数时,设t0,t为参数时,设),如果分别以t,为参数,则所给的参数方程表示的图象分别是一条直线和一个圆,且直线过圆的圆心,所以直线截圆所得弦长是圆的直径2t.用基本语句写出表示弦长的算法如下:INPUT“参数t(t0)”;t,d=2t,PRINT“所给参数方程表示的直线被圆截得的弦长是”;d,END.
