1、2020年高三第三次教学质量检测理科数学第卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出并集，再求对应的补集，即可得出结果.【详解】因为集合，所以，因此.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的并集和补集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2. 已知复数（为虚数单位），若复平面内对应点在虚轴上，则实数的值为（ ）A. B. 3C. 3D. 0【答案】A【解析】【分析】先根据复数的除法化简，求出，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】因为，所以，又复平面内对应点在虚
2、轴上，所以，解得.故选：A.【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查由复数的几何意义求参数，属于基础题型.3. 下面的折线图表示某商场一年中各月份的收入、支出情况，据此判断下列说法错误的是（ ）A. 相邻两月的收入增长率最大为1月至2月B. 支出最高值与支出最低值的比是61C. 收入最高的月份是2月份D. 2月至5月为销售淡季，收支均递减【答案】D【解析】【分析】根据折现统计图即可判断各选项【详解】解：由折线统计图可得相邻两月的收入增长率最大为1月至2月，故A正确；支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是，故B正确收入最高的是2月份 万元，故C正
3、确2月至5月收入递减，3月、4月的支出相同，故D错误；故选：D【点睛】本题考查了统计图识别和应用，关键是认清图形，属于基础题4. 已知向量，若，则（ ）A. 5B. 5C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，先得到，再由向量共线的坐标表示，列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为向量，所以，又，所以，解得.故选：C.【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.5. 已知实数，满足不等式组，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先作出可行域，再由可表示为可行域内的点和点连线的斜率，由图可得解.【详解】由不等式组，作出可行域
4、，如图所示，可表示为可行域内的点和点连线的斜率，由图可知经过点时斜率最大，此时，故选：D.【点睛】本题主要考查了分式型线性规划的求解，考查了数形结合的能力，属于基础题.6. 函数（ ）A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数【答案】D【解析】由题意，因为，所以为偶函数，故排除A,C，由诱导公式得，即函数的最小正周期为，所以正确答案为D.点睛：引题主要考查三角函数的奇偶性、周期性等性质，以及三角函数诱导公式的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.在此类问题中，函数解析式相对特殊，直接法求解不容易算，采用三角函数的
5、性质去判断，反而会使问题简单化，以达到四两拔千斤的效果.7. 如图所示，给出的是计算值的程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A. i9B. i10C. i11D. i12【答案】C【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出的值，模拟循环过程可得条件【详解】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：不满足条件，第1圈：不满足条件，第2圈：不满足条件，第3圈：依此类推不满足条件，第10圈：不满足条件，第11圈：此时，应该满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：故选：C【点睛】算法是新课程中新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，
6、应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误，属于基础题8. 在中，若，则下列等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用降次公式得到，展开得到，得到【详解】，.故选A.【点睛】本题考查了三角恒等变换，也可以利用特殊值法排除选项得到答案.9. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】构造函数利用单调性判断.【详解】设，所以为增函数，由于，所以，所
7、以；反之成立，则有，所以.所以是充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查充要条件的判定，明确两者之间的推出关系是判定的关键.10. 甲、乙两名同学轮流投篮，甲先投乙后投，直到有1人投中为止.每次投篮，甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6.记甲投篮的次数为，到投篮结束时，等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】表示甲同学投篮了次投篮结束，最后一次可能甲同学投中也可以是乙同学投中，分两种情况求解即可.【详解】表示甲同学投篮了次投篮结束，有两种可能，一种是甲同学投了次，乙次，最后一次甲同学投中，一种是甲同学投了次，乙同学次，最后一次乙同学投中，所以.故选：A.【点睛】本题主要
8、考查了独立事件的概率计算，属于基础题.11. 以下是某同学对棱长为1的正方体的性质的探究，其中正确的是（ ）A. 12条棱中可构成16对异面直线B. 以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体的体积为C. 过正方体的一个顶点的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形D. 以正方体各表面中心为顶点的正八面体的表面积是【答案】B【解析】【分析】在正方体ABCDA1B1C1D1中，与棱AB异面的有CC1，DD1，B1C1，A1D1共4对，正方体ABCDA1B1C1D1有12条棱，由此能求出异面直线共有多少对，可判断A；利用线面垂直的判定与性质，结合正方体的性质利用计算可得B正确；过正方体的一个顶点的截面
9、最多与正方体的五个面相交，即可判断C；求出八面体的棱长，然后求解表面积即可判断D【详解】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与棱AB异面的有CC1，DD1，B1C1，A1D1共4对，正方体ABCDA1B1C1D1有12条棱，排除两棱的重复计算，异面直线共有12424对故A错；以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体，例如为四面体B1D1CA的体积为V14，得到B正确；过正方体的一个顶点的截面最多与正方体的五个面相交，所以不可能是六边形，故C错；正方体的棱长为1，以正方体各表面中心为顶点的正八面体的棱长为：，八面体的表面积为：8，故D错；故选：B【点睛】本题主要考查异面直线的判断，平面截正方
10、体，棱锥表面积和球的体积的求法，考查判断和推理、空间想象能力和运算能力，具有一定的综合性，属于中档题12. 已知椭圆：与双曲线：（，）有共同的焦点，且在第一象限的交点为，满足（其中为原点）.设，的离心率分别为，当取得最小值时，的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作，利用椭圆和双曲线定义可表示出，由，可得点的横坐标为，利用勾股定理可得，即，再利用基本不等式可求出最值，并求出此时的值.【详解】如图，作，垂足为M，根据椭圆与双曲线的定义可得，解得，由，可得点的横坐标为，即，由勾股定理可得，整理得，即，当且仅当时等号成立，.故选：D.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的基本性质，属
11、于中档题.第卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题.把答案填在答题卷中相应的横线上.）13. 已知抛物线：的焦点为，若抛物线上一点满足，则的值为_.【答案】4【解析】【分析】由点在抛物线：上可得，利用抛物线的定义得到关于的方程，解方程即可求解.【详解】因为点在抛物线：上，所以，由抛物线的定义知，解得.故答案为：4【点睛】本题考查抛物线的定义及其标准方程；考查运算求解能力；属于基础题.14. 的展开式中的常数项的值是_.（用数字作答）【答案】40【解析】【分析】利用二项式定理求出二项式的展开式的通项公式，令的指数为零，求得的值，然后代入二项式的展开式的通项公式即可求解.【详解】由题意知，二项式
12、的展开式的通项公式为，令，解得，所以二项式的展开式的常数项为.故答案为：40【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式中的常数项；考查运算求解能力；属于基础题、常考题型.15. 已知函数，则的值为_.【答案】4037【解析】【分析】首先计算当时，当时，即可得解；【详解】解：因为，当时，当时所以故答案为：【点睛】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，解题的关键是推导出，属于中档题16. 中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示，从莱布尼茨三角形可以看出，排在第10行从左边数第3个位置上的数是_.一
13、般地，类比杨辉三角形中相邻两行（第行与第行，除首末项的二项式系数外）满足关系式，其中是行数，是列数，.请类比写出莱布尼茨三角形中相邻两行（第行、从左边数第个位置上的数与第行）满足的关系式的_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据题中条件，先得到从第二行开始，每一行相邻的两个数之和都等于这两个数上一行对应的数字，由此可求出第10行从左边数第3个位置上的数；以及满足的关系式.【详解】由题中条件可得，由此可得，从第二行开始，每一行相邻的两个数之和都等于这两个数上一行对应的数字；所以第9行第2个数字为，第10行第2个数字为，因此第10行第3个数字为；又莱布尼茨三角形的第2行数字可记作，；
14、第3行数字可记作：，；第4行数字可记作，；第5行数字可记作，；第行数字可记作，；第行数字可记作，；所以有.故答案为：；.【点睛】本题主要考查类比推理，根据题中条件找出规律即可，属于常考题型.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必做题，每个试题考生都必修作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题17. 已知数列的前项和为，.（1）求证：为等比数列；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，得到，与原式作差整理，即可证明数列是等比数列；（2）先由（1）得到，求出，再由裂项相消的方法，即可求出数列的和
15、.【详解】（1），则，所以.又，.是首项为4，公比为4的等比数列；（2）解：由（1）知，代入得，.【点睛】本题主要考查由递推关系证明数列是等比数列，考查裂项相消的方法求数列的和，属于常考题型.18. 在如图多面体中，四边形为矩形，（1）若为线段上一点，且，是否存在线段上一点，使，面？若存在，求出的值；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；【答案】（1）存在；（2）.【解析】【分析】（1）如图，过作，交于点，过作，交于点，过作，交于点，连接,可得，根据比例关系可证；（2）可根据面面关系证得为平面与平面所成的锐二面角的平面角，即可求出.【详解】（1）如图，过作，交于点，过作，交于点，过作，交于
16、点，连接,平面平面，平面，平面，平面，平面与平面分别交于，故存在，使得平面；（2），平面，平面，设平面平面，则，平面，从而平面，所以为平面与平面所成的锐二面角的平面角，在内，知，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查空间中点的存在性问题，考查二面角的求法，属于中档题.19. 已知椭圆：（）的短轴长为2，离心率是.（1）求椭圆方程；（2）点，轨迹上的点，满足，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）由已知即可以解得a,b,c的值；（2）先要考虑斜率不存在的情况，斜率存在时，联立直线与椭圆，韦达定理结合向量的横坐标，得出，化简得，结合解得，从而解出的取
17、值范围.试题解析：（1）由已知 ，所以的方程为（2）过的直线若斜率不存在，则或3.设直线斜率存在， 则由（2）（4）解得，代入（3）式得化简得由（1）解得代入上式右端得解得综上实数的取值范围是.点睛:解析中出现属于问题，由得出，结合韦达定理找到与的关系，再利用建立不等关系即得解.20. 已知函数.（1）当时，判断函数的零点个数，并加以证明；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.【答案】（1）有唯一零点；证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先对函数求导，判定其单调性，再由，即可得出结果；（2）先对函数求导，得到，根据题意，得到在上恒成立，令，则，所以在恒成立，根据二次函数的性质即可得出结
18、果.【详解】（1）当时，则，因为，所以，在上单调递增；又，在上有唯一零点；（2）因为，所以，又函数在上单调递增，所以在上恒成立.令，则，所以在恒成立，令，由二次函数开口向上，知，只需，即，解得，.即的取值范围为.【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的零点，考查由函数单调性求参数的问题，涉及一元二次不等式恒成立问题，以及三角函数的性质，属于跨章节综合题.21. 新冠肺炎来势汹汹，党中央运筹帷幄、全国人民众志成城，抗疫保卫战取得阶段性胜利.通过建立数学模型，可增强对疫情走势的准确预判.日期累计确诊病例数1月24日513.8711月25日2222.3161月26日3531.7921月27日4641
19、.4651月28日5651.2161月29日6361.0611月30日8770.5971月31日11680.1062月1日12890.092月3日142110.322月4日165120.722月5日173130.882月7日195151.362月8日208161.732月10日219182.132月11日225192.422月13日229212.662月14日230222.732月16日236243.272月17日240253.87平均数120.49新冠肺炎疫情拐点，是指疫情发展过程中确诊病例的变化率由多到少的转折时间点.由疫情发展过程可知，病例数开始增长很快，日增长率达到峰值后，增速减缓；即
20、累计确诊病例数与时间的函数图像，近似于一条曲线（图1）.假设这条曲线可近似如下表示：，其中，表示新冠肺炎累计确诊病例数，是时间，、为待定系数，而是的最大值.对上式关于求导，得：，在直角坐标系中画出图像（图2），该图像其实就是新冠肺炎每日新增确诊病例数曲线；再对求导，得二阶导数；令，解得，就是拐点出现的时刻.为确定新冠肺炎累计病例数随时间变化的函数关系式，我们对上述公式，两边取自然对数，得，令，（日期变为序列数），便得到与的线性回归方程：，这样，由统计报表中新冠肺炎逐日累计确诊病例数的信息，用最小二乘法可求一元线性回归方程的确定方法，可以得到、的值，上表为陕西省从2020年1月24日到2月20日
21、中选取其中21天，统计的每日新冠肺炎累计病例数报表，取，（1）试以表中所列的前20个数据为基础，参考数据：，推算与的线性回归方程（保留两位有效数字）；（2）由此估算陕西省新冠肺炎累计病例数关于时间的“拐点”.【答案】（1）；（2）陕西省新冠肺炎累计病例数关于时间的“拐点”约为2月2日.【解析】分析】（1）根据所给参考数据及公式求出、，即可求出回归直线方程；（2）由（1）及，知，所以，对求二阶导数，令，解方程即可求出，从而得解；【详解】解：（1）由表可知样本数，从而求得与的线性回归方程为.（2）由（1）及，知，所以，所以所以令，得，即，即陕西省新冠肺炎累计病例数关于时间的“拐点”约为2月2日.【
22、点睛】本题考查最小二乘法求回归直线方程，导数的计算及应用，考查阅读理解能力、计算能力，属于中档题.（二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.选修44：极坐标与参数方程22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设，若直线l与圆C相交于A，B两点，求的最大值.【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，求得圆C的直角坐标方程；（2）将直线方程与圆联立，由直线参数方程中参数几何意义及根与系数的关系，求得的
23、最大值.【详解】（1）圆C的极坐标方程为：，则由极坐标与直角坐标的转化公式得，所以：.（2）将线l的参数方程为：（t为参数），代入.所以设点A，B所对应的参数为和，则，则当时，的最大值为4.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，直线参数方程的应用，属于中档题.选修45：不等式选讲23. 在平面直角坐标系中，定义点，之间的“直角距离”为.（1）已知，三点，若，求的取值范围；（2）已知，三点，对任意，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，先得到，解不等式，即可得出结果；（2）根据题意，得到，由绝对值三角不等式求出其最小值，得到，再由题意，得出，求解即可得出结果.【详解】（1）由题意得，即，则，两边平方得，解得.故的取值范围为.（2）由题意，当且仅当且时取等号；又任意，不等式恒成立，所以恒成立，因此只需，即，解得，的取值范围.【点睛】本题主要考查绝对值不等的应用，熟记绝对值三角不等式即可，涉及一元二次不等式的解法，属于常考题型,
