1、第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.(2018四川遂宁模拟)直线l不平行于平面,且l,则()A.内的所有直线与l异面B.内不存在与l平行的直线C.内存在唯一的直线与l平行D.内的直线与l都相交答案B如图,设l=A,内的直线若经过点A,则与直线l相交;若不经过点A,则与直线l异面.故选B. 2.(2018河南六市一模)设直线m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列事件中是必然事件的是()A.若m,n,mn,则B.若m,n,mn,则C.若m,n,mn,则D.若m,n,mn,则答案D对于A,m,n,mn,则与可能平行,也可能相交,所以A不是必然事件;对于B,n,mn,则m,又m
2、,则,所以B是不可能事件;对于C,m,n,mn,则与可能平行也可能相交,所以C不是必然事件;对于D,m,mn,则n,又n,所以,所以D是必然事件.故选D.二、填空题3.(2018广西百色月考)不在同一条直线上的三点A,B,C到平面的距离相等,且A,给出以下三个结论:ABC中至少有一条边平行于;ABC中至多有两边平行于;ABC中只可能有一条边与相交,其中正确的结论是.(只填序号) 答案解析如图所示,三点A,B,C可能在的同侧(如图1),也可能在的两侧(如图2),其中真命题是.图1图24.(2019山东济南模拟)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为BC,AD的中点,将四边形CDFE沿EF翻折,
3、使得平面CDFE平面ABEF,则异面直线BD与CF所成角的余弦值为.答案3010解析如图,连接DE交FC于O,取BE的中点G,连接OG,CG,则OGBD且OG=12BD,所以COG为异面直线BD与CF所成的角或其补角.设正方形ABCD的边长为2,则CE=BE=1,CF=DE=CD2+CE2=5,所以CO=12CF=52.易得BE平面CDFE,所以BEDE,所以BD=DE2+BE2=6,所以OG=12BD=62.易知CE平面ABEF,所以CEBE,又GE=12BE=12,所以CG=CE2+GE2=52.在COG中,由余弦定理得,cosCOG=OC2+OG2-CG22OCOG=522+622-52
4、225262=3010,所以异面直线BD与CF所成角的余弦值为3010.三、解答题5.(2019湖南益阳月考)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,ADBC,ADAB,AB=BC=2AD=4,ABP是等边三角形,且平面PAB平面ABCD,E是PB的中点,点M在棱PC上.(1)求证:AEBM;(2)若三棱锥C-MDB的体积为1639,且PM=PC,求实数的值.解析(1)证明:因为在梯形ABCD中,ADBC,ADAB,所以BCAB,又平面PAB平面ABCD,且平面PAB平面ABCD=AB,所以BC平面PAB,又AE平面PAB,所以BCAE.因为ABP是等边三角形,E是PB的中点,所以BP
5、AE,又BCBP=B,所以AE平面PBC,又BM平面PBC,所以AEBM.(2)过点P作PFAB于点F,连接CF,易知PF平面ABCD,则PFCF,因为ABP是等边三角形,AB=4,所以PF=23.过点M作MNCF于点N,则MNPF,CMCP=MNPF,V三棱锥P-BCD=13124423=1633,V三棱锥C-MDB=1639=V三棱锥M-BCD,所以V三棱锥M-BCDV三棱锥P-BCD=13,又V三棱锥M-BCDV三棱锥P-BCD=MNPF=13,所以CMCP=MNPF=13,所以PMPC=23,所以=23.6.(2019太原五中模拟)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,四边
6、形ABEF为正方形,AF=2FD=4,AFD=90,且DFE=CEF=60.(1)证明:平面ABEF平面EFDC;(2)求五面体ABCDFE的体积.解析(1)证明:因为四边形ABEF为正方形,所以AFEF.因为AFD=90,所以AFDF.又因为DFEF=F,又EF平面EFDC,DF平面EFDC,所以AF平面EFDC,又AF平面ABEF,所以平面ABEF平面EFDC.(2)连接AE,AC,过点D作DMEF,垂足为点M,则DM平面ABEF.因为ABEF,AB平面EFDC,EF平面EFDC,所以AB平面EFDC.因为平面ABCD平面EFDC=CD,AB平面ABCD,所以ABCD,所以CDEF.由已知
7、,DFE=CEF=60.所以四边形EFDC为等腰梯形.VA-EFDC=13AFS等腰梯形EFDC=43,VC-ABE=VD-ABE=13DMSABE=833,所以五面体ABCDFE的体积V=VA-EFDC+VC-ABE=2033.7.(2019湖北联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,ABAC,PA平面ABCD,且AB=AC=1,PA=2,点E是PD的中点.(1)求证:PB平面AEC;(2)求点D到平面AEC的距离.解析(1)证明:如图,连接BD交AC于点O,则O为BD的中点,连接OE.又点E是PD的中点,所以OEPB,又OE平面ACE,PB平面ACE,所以PB平面A
8、CE.(2)因为ABAC,四边形ABCD为平行四边形,所以CDAC.因为PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以CDPA.因为PAAC=A,所以CD平面PAC.又因为PC平面PAC,所以CDPC,VD-AEC=VE-ADC=12VP-ADC,VP-ADC=13SACD|PA|=26.设点D到平面AEC的距离为h,则VD-AEC=13SAECh,在PAD中,PAAD,PA=2,AD=2,E为PD的中点,所以AE=1,在PCD中,PCCD,PC=3,CD=1,E为PD的中点,所以CE=1,则ACE为正三角形,所以SAEC=34,所以h=63,即点D到平面AEC的距离为63.8.(2019安徽师大附
9、中检测)如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF平面ABCD,四边形ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形,且ADBC,BAD=90,AB=AD=1,BC=3.(1)求证:AFCD;(2)求直线BF与平面CDE所成角的正弦值.解析(1)证明:因为四边形ADEF为正方形,所以AFAD,又平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD,AF平面ADEF,所以AF平面ABCD,又CD平面ABCD,所以AFCD.(2)如图,取BC上的一点G,使BG=1,则BGAD,又ADEF,所以BGEF,即四边形BGEF是平行四边形,所以EGBF,EG=2.在平面ABCD内,过G作GHCD,垂足为H,连接EH,DG.由(1)及已知得,DE平面ABCD,所以DEGH,又DEDC=D,所以GH平面CDE,即GEH为直线BF与平面CDE所成角的平面角.在RtCDG中,DG=1,CG=2,所以CD=5,GH=25,在RtEGH中,sinGEH=GHEG=105,所以直线BF与平面CDE所成角的正弦值为105. 10 / 10
