1、第五节合情推理与演绎推理1合情推理(1)归纳推理.定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)特点：由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理.定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)特点：类比推理是由特殊到特殊的推理(3)合情推理.归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个
2、特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)模式：三段论大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理()(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(3)“所有9的倍数都是3的倍数，某数m是9的倍数，则m一定是3的倍数”，这是三段论推理()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()答案：(1)(2)(3)(4)2由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大
3、”，推出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是()A归纳推理B类比推理C演绎推理 D以上都不是解析：类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)所以，由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理选B.答案：B3“因为指数函数yax是增函数(大前提)，而y是指数函数(小前提)，所以函数y是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A大前提错误导致结论错误B小前提错误导致结论错误C推理形式错误导致结论错误D大前提和小前提错误导致结论错
4、误解析：“指数函数yax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的答案：A4(2015山东卷)观察下列各式：C40；CC41；CCC42；CCCC43；照此规律，当nN*时，CCCC_解析：观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有CCCC4n1.答案：4n15(2015课标全国卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_解析：由丙的说法“三人去过同一城市”知
5、乙至少去过一个城市，而甲说去过的城市比乙多，且没去过B城市，因此甲一定去过A城市和C城市又乙没去过C城市，所以三人共同去过的城市必为A，故乙去过的城市就是A.答案：A城市一个过程合情推理的过程概括为一种模式演绎推理的一般模式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的三个防范1在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误2合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明3演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理
6、数学问题，注意推理过程的严谨性，书写格式的规范性一、选择题1数列2，5，11，20，x，47，中的x等于()A28B32C33D27解析：由523，1156，20119.归纳推理则x2012，因此x32.答案：B2推理“矩形是平行四边形；三角形不是平行四边形；三角形不是矩形”中的小前提是()A BC D和解析：由演绎推理三段论可知，是大前提；是小前提；是结论答案：B3(2016开封模拟)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28 B76 C123 D199解析：从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它
7、前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123.答案：C4由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”“”类比得到“”以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是()A1 B2 C3 D4解析：由向量的数量积的定义及运算律知，正确，错误故选B.答案：B5(2014北京卷)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格
8、”若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A2人 B3人 C4人 D5人解析：用A，B，C分别表示优秀、及格和不及格显然，语文成绩得A的学生最多只有一人，语文成绩得B的也最多只有1人，得C的也最多只有1人，所以这组学生的成绩为(AC)，(BB)，(CA)满足条件，故学生最多为3人答案：B二、填空题6(2016长春模拟)已知x(0，)，观察下列各式：x2，x3，x4，类比得xn1(nN*)，则a_解析：第一个式子是n1的情况
9、，此时a111；第二个式子是n2的情况，此时a224；第三个式子是n3的情况，此时a3327，归纳可知ann.答案：nn7在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2a2b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是_解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得SSSS.答案：SSSS8观察等式：，1，.照此规律，对于一般的角，有等式_解析：根据等式的特点，分别用，
10、代替两个角，并且发现tan，tan1，tan，故对于一般的角，的等式为tan.答案：tan三、解答题9平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S底高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的；请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V底面积高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.10某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos
11、217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin (25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解：(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 30.(2)归纳三角恒等式sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.
