1、圆 一、填空题1已知点O为ABC的外心，若A=80，则BOC的度数为（）A40B80C160D1202点P在O内，OP=2cm，若O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为（）A1cmB2cmC cmD cm3已知A为O上的点，O的半径为1，该平面上另有一点P，那么点P与O的位置关系是（）A点P在O内B点P在O上C点P在O外D无法确定4如图：点A、B、C、D为O上的四等分点，动点P从圆心O出发，沿OCDO的路线做匀速运动设运动的时间为t秒，APB的度数为y则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）ABCD5在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（）A与x轴相离，与y轴
2、相切B与x轴，y轴都相离C与x轴相切，与y轴相离D与x轴，y轴都相切6如图，O的直径AB与弦AC的夹角为30，切线CD与AB的延长线交于点D，若O的半径为2，则CD的长为（）A2B4C2D47如图，PQR是O的内接正三角形，四边形ABCD是O的内接正方形，BCQR，则DOR的度数是（）A60B65C72D758如图，A，B，C，D，E互相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积是（）AB1.5C2D2.5二、选择题9如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为10如图，在ABC中，A=
3、90，AB=AC=2cm，A与BC相切于点D，则A的半径长为cm11善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中用数量关系描述图形性质和用图形性质描述数量关系，往往会有新的发现小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径AB弦CD于点E，设AE=x，BE=y，用含x，y的式子表示图中的弦CD的长度），通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x，y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式12如图，AOB=30，OM=6，那么以M为圆心，4为半径的圆与直OA的位置关系是13如图，ABC内接于O，B=
4、OAC，OA=8cm，则AC=cm14阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确”请你回答：小亮的作图依据是三、解答题（7+7+8+8）15已知：如图，在ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DEAC，垂足为点E求证：（1）ABC是等边三角形；（2）16九章算术是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架九章算术中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图），其中BOCD于点A，求间径就是要求O的直径再次阅读后，
5、发现AB=寸，CD=寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题请你补全题目条件，并帮助小智求出O的直径17如图，在O中，AB是直径，CD是弦，ABCD（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：CPD=COB；（2）点P在劣弧CD上（不与C、D重合）时，CPD与COB有什么数量关系？请证明你的结论18如图，已知ABC是等边三角形，以AB为直径作O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DEAC于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）若ABC的边长为4，求EF的长度第24章 圆（北京市西城区重点中学）参考答案与试题解析一、填空题1已知点O为ABC的外心，若A=80，则BOC的度数为（）A40
6、B80C160D120【考点】三角形的外接圆与外心【分析】根据圆周角定理得BOC=2A=160【解答】解：点O为ABC的外心，A=80，BOC=2A=160故选C【点评】熟练运用圆周角定理计算，即在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半2点P在O内，OP=2cm，若O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为（）A1cmB2cmC cmD cm【考点】垂径定理；勾股定理【专题】计算题【分析】过P作ABOP交圆与A、B两点，连接OA，故AB为最短弦长，再解RtOPA，即可求得AB的长度，即过点P的最短弦的长度【解答】解：过P作ABOP交圆与A、B两点，连接OA，如下图所示：故AB为最
7、短弦长，由垂径定理可得：AP=PB已知OA=3，OP=2在RtOPA中，由勾股定理可得：AP2=OA2OP2AP=cmAB=2AP=2cm故此题选D【点评】本题考查了最短弦长的判定以及垂径定理的运用3已知A为O上的点，O的半径为1，该平面上另有一点P，那么点P与O的位置关系是（）A点P在O内B点P在O上C点P在O外D无法确定【考点】点与圆的位置关系【分析】根据题意可知点P可能在圆外也可能在圆上，也可能在圆内，所以无法确定【解答】解：PA=，O的直径为2点P的位置有三种情况：在圆外，在圆上，在圆内故选D【点评】本题考查了圆的认识，做题时注意多种情况的考虑4如图：点A、B、C、D为O上的四等分点，
8、动点P从圆心O出发，沿OCDO的路线做匀速运动设运动的时间为t秒，APB的度数为y则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）ABCD【考点】动点问题的函数图象【分析】根据题意，分P在OC、CD、DO之间3个阶段，分别分析变化的趋势，又由点P作匀速运动，故都是线段，分析选项可得答案【解答】解：根据题意，分3个阶段；P在OC之间，APB逐渐减小，到C点时，为45，P在CD之间，APB保持45，大小不变，P在DO之间，APB逐渐增大，到O点时，为90；又由点P作匀速运动，故都是线段；分析可得：B符合3个阶段的描述；故选：B【点评】本题主要考查了函数图象与几何变换，解决此类问题，注意将过程分成几
9、个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况5在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（）A与x轴相离，与y轴相切B与x轴，y轴都相离C与x轴相切，与y轴相离D与x轴，y轴都相切【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径的相离，等于半径的相切【解答】解：是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，如图所示：这个圆与y轴相切，与x轴相离故选A【点评】直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径6如图，O的直径AB与弦AC的夹角为30，切线CD与AB的延长线交于点D，若O的半径为2，则CD
10、的长为（）A2B4C2D4【考点】切线的性质【专题】压轴题【分析】连接OC，BC，AB是直径，CD是切线，先求得OCD=90再求COB=2A=60，利用三角函数即可求得CD的值【解答】解：连接OC，BC，AB是直径，则ACB=90，CD是切线，OCD=90，A=30，COB=2A=60，CD=OCtanCOD=2故选A【点评】本题利用了切线的性质，直径对的圆周角是直角求解7如图，PQR是O的内接正三角形，四边形ABCD是O的内接正方形，BCQR，则DOR的度数是（）A60B65C72D75【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；正方形的性质【分析】根据等边三角形和正方形的性质，求得中心
11、角POR和POD，二者的差就是所求【解答】解：连结OD，如图，PQR是O的内接正三角形，PQ=PR=QR，POR=360=120，四边形ABCD是O的内接正方形，AOD=90，DOP=90=45，AOQ=PORDOP=75故选D【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了垂径定理8如图，A，B，C，D，E互相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积是（）AB1.5C2D2.5【考点】扇形面积的计算；多边形内角与外角【专题】压轴题【分析】圆心角之和等于五边形的内角和，由于半径
12、相同，那么根据扇形的面积2公式计算即可【解答】解：图中五个扇形（阴影部分）的面积是=1.5故选B【点评】解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和二、选择题9如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（2，0）【考点】确定圆的条件；坐标与图形性质【专题】网格型【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心如图所示，则圆心是（2，0）故答案为：（2，0）【点评】
13、能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置10如图，在ABC中，A=90，AB=AC=2cm，A与BC相切于点D，则A的半径长为cm【考点】切线的性质【专题】压轴题【分析】连接AD，则有AD是ABC的斜边上的高，可判定ABC是等腰直角三角形，所以BC=AB=2，利用点D是斜边的中点，可求AD=BC=cm【解答】解：连接AD；A=90，AB=AC=2cm，ABC是等腰直角三角形，BC=AB=2；点D是斜边的中点，AD=BC=cm【点评】本题利用了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质求解11善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中用数量关系描述
14、图形性质和用图形性质描述数量关系，往往会有新的发现小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径AB弦CD于点E，设AE=x，BE=y，用含x，y的式子表示图中的弦CD的长度），通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x，y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式【考点】垂径定理的应用【专题】数形结合【分析】此题中隐含的不等关系：直径是圆中最长的弦，所以ABCD首先可以表示出AB=x+y，再根据相交弦定理的推论和垂径定理，得CD=2CE=2【解答】解：直径AB弦CD于点E，CE=DE，根据相交弦定理的推论，得CE2=AEBE，则CE=，CD=2CE=
15、2又AB=x+y，且ABCD，x+y2【点评】本题考查：直径是圆中最长的弦；相交弦定理的推论以及垂径定理的综合应用12如图，AOB=30，OM=6，那么以M为圆心，4为半径的圆与直OA的位置关系是相交【考点】直线与圆的位置关系【分析】利用直线l和O相切d=r，进而判断得出即可【解答】解：过点M作MDAO于点D，AOB=30，OM=6，MD=3，MDr以点m为圆心，半径为34的圆与OA的位置关系是：相交故答案为：相交【点评】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键13如图，ABC内接于O，B=OAC，OA=8cm，则AC=8cm【考点】圆周角定理【专题】压轴题【
16、分析】结合等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理求得三角形AOC是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解【解答】解：连接OCOA=OC，OAC=OCA又B=OAC=AOC，AOC=90AC=OA=8cm【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理以及勾股定理14阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确”请你回答：小亮的作图依据是垂径定理【考点】垂径定理的应用；作图复杂作图【分析】利用垂径定理得出任意两弦的垂直平分线交点即可【解答】解：根据小亮作图的过程得到：小亮的作图依据是垂径定理故答案是：垂径定理【点评】此
17、题主要考查了复杂作图以及垂径定理，熟练利用垂径定理的性质是解题关键三、解答题（7+7+8+8）15已知：如图，在ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DEAC，垂足为点E求证：（1）ABC是等边三角形；（2）【考点】等边三角形的判定；圆周角定理【专题】证明题【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到ODDE，从而得到平行线，得到ODB=A，ODB=B，则A=B，得到AC=BC，从而证明该三角形是等边三角形；（2）再根据在圆内直径所对的角是直角这一性质，推出30的直角三角形，根据30所对的直角边是斜边的一半即可证明【解答】证明：（1）连接OD，得ODAC；BDO=A；
18、又OB=OD，OBD=ODB；OBD=A；BC=AC；又AB=AC，ABC是等边三角形；（2）如上图，连接CD，则CDAB；D是AB中点；AE=AD=AB，EC=3AE；AE=CE【点评】本题中作好辅助线是解题的关键，连接过切点的半径是圆中常见的辅助线作法之一另外还要掌握等边三角形的判定和性质以及30的直角三角形的性质16九章算术是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架九章算术中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图），其中BOCD于点A，求间径就是要求O的直径再次阅读后，发现A
19、B=1寸，CD=10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题请你补全题目条件，并帮助小智求出O的直径【考点】垂径定理的应用；勾股定理【分析】根据题意容易得出AB和CD的长；连接OB，设半径CO=OB=x寸，先根据垂径定理求出CA的长，再根据勾股定理求出x的值，即可得出直径【解答】解：根据题意得：AB=1寸，CD=10寸；故答案为：1，10； （2）连接CO，如图所示：BOCD，设CO=OB=x寸，则AO=（x1）寸，在RtCAO中，CAO=90，AO2+CA2=CO2（x1）2+52=x2解得：x=13，O的直径为26寸【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用；根据题意作出辅助
20、线，构造出直角三角形，运用勾股定理得出方程是解答此题的关键17如图，在O中，AB是直径，CD是弦，ABCD（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：CPD=COB；（2）点P在劣弧CD上（不与C、D重合）时，CPD与COB有什么数量关系？请证明你的结论【考点】圆心角、弧、弦的关系【专题】几何综合题【分析】（1）根据垂径定理知，弧CD=2弧BC，由圆周角定理知，弧BC的度数等于BOC的度数，弧AD的度数等于CPD的2倍，可得：CPD=COB；（2）根据圆内接四边形的对角互补知，CPD=180CPD，而：CPD=COB，CPD+COB=180【解答】（1）证明：连接OD，AB是直径，ABCD，CO
21、B=DOB=COD又CPD=COD，CPD=COB（2）解：CPD+COB=180理由如下：连接OD，CPD+CPD=180，COB=DOB=COD，又CPD=COD，COB=CPD，CPD+COB=180【点评】本题利用了垂径定理和圆周角定理及圆内接四边形的性质求解18如图，已知ABC是等边三角形，以AB为直径作O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DEAC于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）若ABC的边长为4，求EF的长度【考点】切线的判定；等边三角形的性质【分析】（1）连接OD，根据等边三角形的性质求出ODE=90，根据切线的判定定理证明即可；（2）连接AD，BF，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据直角三角形的性质求出EC，结合图形计算即可【解答】（1）证明：如图1，连接OD，ABC是等边三角形，B=C=60OB=OD，ODB=B=60DEAC，DEC=90EDC=30ODE=90DEOD于点D点D在O上，DE是O的切线；（2）解：如图2，连接AD，BF，AB为O直径，AFB=ADB=90AFBF，ADBDABC是等边三角形，EDC=30，FE=FCEC=1【点评】本题考查的是切线的判定、等边三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键22
