1、课时跟踪检测(四十八)空间角的求法(分A、B卷，共2页)A卷：夯基保分1(2015云南模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点(1)求直线AD和直线B1C所成角的大小；(2)求证：平面EB1D平面B1CD.2(2014北京高考)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：ABFG；(2)若PA底面ABCDE，且PAAE.求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长3(2014新课标全国卷)如图三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C
2、.(1)证明：ACAB1；(2)若ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值B卷：增分提能1(2015深圳一调)如图所示，在多面体ABCDA1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1底面ABCD，AB2A1B12DD12a.(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中点，求证：FB1平面BCC1B1；(3)在(2)的条件下，求二面角FCC1B的余弦值2(2014山东高考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，M是线段AB的中点(1)求证：C1M平面
3、A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值3(2015兰州模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E是PB的中点(1)求证：平面EAC平面PBC；(2)若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值答案A卷：夯基保分1解：不妨设正方体的棱长为2个单位长度，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.根据已知得：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2
4、)(1)(2,0,0)，(2,0,2)，cos，.直线AD和直线B1C所成角为.(2)证明：取B1D的中点F，得F(1,1,1)，连接EF.E为AB的中点，E(2,1,0)，(1,0,1)，(0,2,0)，0，0，EFDC，EFCB1.DCCB1C，EF平面B1CD.又EF平面EB1D，平面EB1D平面B1CD.2解：(1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以ABDE.又因为AB平面PDE，所以AB平面PDE.因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDEFG，所以ABFG.(2)因为PA底面ABCDE，所以PAAB，PAAE.如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(
5、1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，(1,1,0)设平面ABF的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，得y1，所以n(0，1,1)设直线BC与平面ABF所成角为，则sin |cosn，|.因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.设点H的坐标为(u，v，w)因为点H在棱PC上，所以可设 (01)，即(u，v，w2)(2,1，2)，所以u2，v，w22.因为n是平面ABF的法向量，所以n0，即(0，1,1)(2，22)0.解得，所以点H的坐标为.所以PH 2.3解：(1)证明：连接BC1，交B1C于点O，连接AO.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且O为
6、B1C及BC1的中点又ABB1C，所以B1C平面ABO.由于AO平面ABO，故B1CAO.又B1OCO，故ACAB1.(2)因为ACAB1，且O为B1C的中点，所以AOCO.又因为ABBC，所以BOABOC.故OAOB，从而OA，OB，OB1两两相互垂直以O为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形又ABBC，则A，B(1,0,0)，B1，C.，.设n(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则即所以可取n(1，)设m是平面A1B1C1的法向量，则同理可取m(1，)则cosn，m.所以二面角AA1B1
7、C1的余弦值为.B卷：增分提能1解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2a，0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(a,0,0)，B1(a，a，a)，C1(0，a，a)(1)(a，a，a)，(0,0，a)，|cos，|，异面直线AB1与DD1所成角的余弦值为.(2)证明：(a，a，a)，(2a,0,0)，(0，a，a)，FB1BB1，FB1BC.BB1BCB，FB1平面BCC1B1.(3)由(2)知，为平面BCC1B1的一个法向量设n(x1，y1，z1)为平面FCC1的法向量，(0，
8、a，a)，(a,2a,0)，得令y11，则n(2,1,1)，cos，n，二面角FCC1B为锐角，二面角FCC1B的余弦值为.2.解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB2CD，所以ABDC，又由M是AB的中点，因此CDMA且CDMA.连接AD1，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因为CDC1D1，CDC1D1，可得C1D1MA，C1D1MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，因此C1MD1A.又C1M平面A1ADD1，D1A平面A1ADD1，所以C1M平面A1ADD1.(2)法一：连接AC，MC，由(1)知CDAM且CDAM，所以四边形AMCD为平行四边形可得BCADMC，由题
9、意知ABCDAB60，所以MBC为正三角形，因此AB2BC2，CA，因此CACB.以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Cxyz.所以A(，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，)因此M，所以，.设平面C1D1M的法向量n(x，y，z)由得可得平面C1D1M的一个法向量n(1，1)又(0,0，)为平面ABCD的一个法向量因此cos，n.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.法二：由(1)知平面D1C1M平面ABCDAB，过C向AB引垂线交AB于N，连接D1N.由CD1平面ABCD，可得D1NAB，因此D1NC为二面角C1ABC的平面角在RtBNC中，BC1，NBC
10、60，可得CN.所以ND1.在RtD1CN中，cosD1NC.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.3解：(1)证明：PC底面ABCD，PCAC，底面ABCD是直角梯形，且AB2AD2CD2，AC，BC.AB2AC2BC2，ACBC，PCBCC，AC平面PBC，AC平面EAC，平面EAC平面PBC.(2)建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设PCa，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，E，P(1,1，a)，B(0,2,0)(1,1,0)，(1,1，a)，(1，1,0)设平面EAC的法向量为v(x，y，z)，则即令x1，则v，BC平面PAC，平面PAC的一个法向量为u(1，1,0)，设二面角PACE的大小，则cos ，解得a2，直线PA与平面EAC所成角的正弦值为cosv，.