1、2.2.2反证法1反证法是间接证明的一种基本方法假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法2用反证法证明命题的步骤，大体上分为：(1)反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)归谬：从假设出发，通过推理论证，得出矛盾；(3)结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确3反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等反证法中的“反设”和“归谬”(1)反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步，也是关键一步“反设”的结论将
2、是下一步“归谬”的一个已知条件“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明做好“反设”应注意：正确分清题设和结论；对结论实施正确否定；对结论否定后，找出其所有情况(2)反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的题设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)反证法属于间接证明问题的方法()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾()答案(1)(2)(3)2做一做(1)已知a0，证明关于x的方程axb
3、有且只有一解，适宜用_证明(2)用反证法证明命题“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有一个能被5整除”，则假设的内容是_(3)用反证法证明命题“如果ab，则”时，假设的内容是_答案(1)反证法(2)a，b都不能被5整除(3)探究用反证法证明否定性命题例1已知f(x)ax(a1)，证明方程f(x)0没有负数根证明假设x0是f(x)0的负数根，则x00，x01且ax0，由0ax01可知01，解得x02，这与x00矛盾，故假设不成立即方程f(x)0没有负数根拓展提升反证法属于逻辑方法范畴，它的本质体现在“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理
4、结果否定了假设”反证法属于“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”【跟踪训练1】已知a，b，c，dR，且adbc1.求证：a2b2c2d2abcd1.证明假设a2b2c2d2abcd1.因为adbc1，所以a2b2c2d2abcdadbc.所以a2b2c2d2abcdbcad0.所以2a22b22c22d22ab2cd2bc2ad0.所以(ab)2(bc)2(cd)2(ad)20.所以ab0，bc0，cd0，ad0，所以abcd0，所以adbc0，这与abbc1矛盾，从而假设不成立，原命题成立，即a2b2c2d2abcd1.探究用反证法证明“至多”“至少”型命题例2已知a，b
5、，c是互不相等且均不为0的实数，求证：由yax22bxc，ybx22cxa和ycx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点由yax22bxc，ybx22cxa，ycx22axb，得1(2b)24ac0，且2(2c)24ab0，且3(2a)24bc0.同向不等式求和得4b24c24a24ac4ab4bc0，2a22b22c22ab2bc2ac0，(ab)2(bc)2(ac)20，abc.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证拓展提升常见结论词与反设词列表如下：【跟踪训练2】求证下列三个方程：x2
6、4ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0至少有一个方程有实根时实数a的取值范围为.证明若方程没有一个有实根，则解得a1.所以若三个方程至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是.探究用反证法证明唯一性命题例3用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行证明由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行假设过点A还有一条直线b与已知直线a平行，即bbA，ba.因为ba，由平行公理知bb，这与假设bbA矛盾，所以假设错误，原命题成立拓展提升证明“唯一性”命题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思证明后一层意思时，采用直接
7、证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便【跟踪训练3】已知直线m与直线a和b分别交于A，B且ab，求证：过a，b，m有且只有一个平面证明如图，ab，过a，b有一个平面.又maA，mbB，Aa，Bb，A，B.又Am，Bm，m.即过a，b，m有一个平面.假设过a，b，m还有一个平面异于平面，则a，b，a，b，这与ab，过a，b有且只有一个平面相矛盾因此，过a，b，m有且只有一个平面1.“否定结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法否定
8、结论的步骤是：弄清结论本身的情况；找出结论的全部相反情况；正确否定上述结论.2.反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定“结论的反面是正确的”是错误的.3.在反证法证题的过程中，经常画出某些不合常理的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的是为了能清楚地说明问题在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观，这与用直接法通过图形找到证题的途径是完全不一样的.1用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是()A假设三个内角都不大于60B假设三个内角都大于60C假设三个内角至多有一个大于60D假设三个内角至多有
9、两个大于60答案B解析“至少有一个不大于”的否定为“都大于”，所以选B.2如果两个实数之和为正数，则这两个数()A一个是正数，一个是负数 B两个都是正数C至少有一个是正数 D两个都是负数答案C解析假设两个数都不是正数，则其和必为负数或零所以选C.3命题“关于x的方程axb(a0)的解是唯一的”的结论的否定是_答案无解或至少两解解析方程解的情况有：无解；唯一解；两个或两个以上的解4若下列两个方程x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_答案a|a2或a1解析假设两个一元二次方程均无实根，则有即解得a的取值集合为：a|2a1，所以其补集为a|a2或a1，即为所求的a的取值范围5如果非零实数a，b，c两两不相等，且2bac，求证：不成立证明假设成立，则.故b2ac.又b，所以2ac，即(ac)20，所以ac，这与a，b，c两两不相等矛盾，因此不成立
