1、2.5等比数列的前n项和(二)自主学习 知识梳理1等比数列an的前n项和为Sn，当公比q1时，Sn_；当q1时，Sn_.2等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如Sm、S2mSm、S3mS2m)，仍构成_数列(注意：q1或m为奇数)(2)SmnSmqmSn(q为数列an的公比)(3)若an是项数为偶数、公比为q的等比数列，则_.3若an是等比数列，且公比q1，则前n项和Sn(1qn)A(qn1)其中A_.4解决等比数列的前n项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型 自主探究利用等比数列前n项公式证明anan1ban2b2bn，其中nN*a，b是不为0的常数，且ab.对点讲练
2、知识点一等比数列前n项和的证明问题例1设an是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明：log0.5Sn1.总结本题关键是证明SnSn20且c1)，那么数列cn是等比数列，公比qcd.(2)一般地，如果an是各项为正数的等比数列，公比为q，且cnlogaan(a0且a1)，那么数列cn为等差数列，公差dlogaq.变式训练3在等比数列an中，an0 (nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2 an，数列bn的前n项和为Sn，当最大时，求n的值1深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是
3、解题的关键两类数列的性质既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆同样，用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误2在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处3利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求an还是求Sn的问题. 课时作业一、选择题1某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为()A1.14a B1.15aC10(1.151)a D11(1.151)a2已知数列an的前n项和Sn2n1，则aaa等于()A(2n1)2
4、B.(2n1)2C4n1 D.(4n1)3一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)()A300米 B299米 C199米 D166米4若等比数列an的公比q0，且q1，又a1a3a5 Ba2a60，q0，当q1时，Snna1，从而SnSn2Sna1(n2)a1(n1)2aa0.当q1时，Sn，从而SnSn2Saqn0.综上知，SnSn2log0.5S.即log0.5Sn1.变式训练1证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q1时，Snna1，S2n2na1，S3n3na1，SSn2a4n2a5n2a，Sn
5、(S2nS3n)na1(2na13na1)5n2a，SSSn(S2nS3n)当q1时，则Sn(1qn)，S2n(1q2n)，S3n(1q3n)，SS2(1qn)2(1q2n)22(1qn)2(22qnq2n)又Sn(S2nS3n)2(1qn)2(22qnq2n)，SSSn(S2nS3n)方法二根据等比数列性质，有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，SSSSn(1qn)2S(22qnq2n)，Sn(S2nS3n)S(22qnq2n)SSSn(S2nS3n)例2解(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1a，公比q110%0.9，ana0.9n1 (n1)(2)
6、10年的出口总量S1010a(10.910)S1080，10a(10.910)80，即a，a12.3.故2010年最多出口12.3吨变式训练2解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an1an，因此，数列an是首项a125，公比q的等比数列热气球在前n分钟内上升的总高度为：Sna1a2an125125.故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.例3解设等差数列an的公差为d，则an1and.数列bn是等比数列，公比qd.b1b2b3b，b2.，解得或.当时，q216，q4(q40，a3a55.又a3与a5的等比中项为2，a3a54，而q(0,1)，a3a5，a34，a51.q，a1
7、16，an16n125n.(2)bnlog2 an5n，bn1bn1，bn是以b14为首项，1为公差的等差数列，Sn，当n8时，0；当n9时，0；当n9时，0.当n8或9时，最大课时作业1D注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a11(1.151)a.2D易知an为等比数列且an2n1.a也是等比数列，a1，公比为4.aaa(4n1)3A小球10次着地共经过100100501008299300(米)4B(a2a6)(a3a5)a1(qq5)a1(q2q4)a1q(q4q3q1)a1q
8、(q1)2(q2q1)a10且q1，q2q10，a1q(q1)2(q2q1)0，a2a61，解得n9.即a1a2a91a10a11.当n9时，Cn最大9证明设an、bn的公比分别为p、q，p0，q0，pq，cnanbn.要证cn不是等比数列，只需证c22c1c3成立即可事实上，c22(a1pb1q)2a21p2b21q22a1b1pq，c1c3(a1b1)(a1p2b1q2)a21p2b21q2a1b1(p2q2)由于c1c3c22a1b1(pq)20，因此c22c1c3，故cn不是等比数列10解(1)第一年投入为800万元，第二年投入为800万元，第n年投入为800n1万元所以n年内总投入为：an800800800n18004 000.第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400万元，第n年旅游业收入为400n1万元，所以n年内的旅游业总收入为：bn400400400n14001 600.(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，则bnan0，即1 6004 0000，化简得：2n5n70，设xn，则5x27x20，解得x1，n1，xn1(舍去)，即n，由此得n5.至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入
