1、江苏省淮安市清江中学2019-2020学年高一数学下学期4月阶段测试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.1-8单选，9-12多选）1.已知直线和互相垂直，则的值为（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】分析：对分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出详解：时，方程分别化为： 此时两条直线相互垂直，因此满足题意时，由于两条直线相互垂直，可得： 解得，舍去综上可得：.故选A点睛：本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2.直线l：与圆C：的位置关系是A. 相切B. 相离C. 相交D. 不确定【答案】C【解析】
2、【分析】利用点到直线的距离公式求出直线和圆的距离，即可作出判断.【详解】圆C：的圆心坐标为：，则圆心到直线的距离，所以圆心在直线l上，故直线与圆相交故选C【点睛】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用3.在中，若a3，c7，C60，则边长b为A. 5B. 8C. 5或8D. 5或8【答案】B【解析】由余弦定理c2a2b22abcos C，得，即，因为b0，所以b8.故选B 4.如果直线经过点，那么直线的倾斜角的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据两点间斜率公式，可求得斜率的取值范围，即可由倾斜角与斜率关系求得倾斜角的范围.【详解
3、】直线经过点，由斜率公式可得，由二次函数性质可知，设倾斜角为，即，所以由正切函数图像与性质可知，故选：D.【点睛】本题考查了两点间斜率公式，倾斜角与斜率关系，属于基础题.5.在中，若，的面积为，则的大小为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据正弦定理求得角C，再根据面积公式求得角A，即可由三角形内角和求得角C.【详解】在中，由正弦定理可知，代入可得，解得，因为，所以或，因为的面积为，则，代入可得，解得，所以，则，故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题.6.圆上到直线的距离为的点共有( )A. 个B. 个C. 个D. 个
4、【答案】C【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.【详解】圆可变为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离，圆上到直线的距离为的点共有个.故选：C.【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.7.函数（且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A. 16B. 24C. 50D. 25【答案】D【解析】【分析】由题A（4，1），点A在直线上得4m+n1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值【详解】令x31，解得x4，y1，则函数yloga（x3）+1（a0且a1）的图象恒过定点A（4，1），4m+n1
5、，（）（4m+n）16+117+217+825，当且仅当mn时取等号，故则的最小值为25，故选D【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握8.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知，a=2，c=，则C=A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，sinB+sinA（sinCcosC）=0，sinAcosC+cosAsinC+sinAsinCsinAcosC=0，cosAs
6、inC+sinAsinC=0，sinC0，cosA=sinA，tanA=1，A，A= ，由正弦定理可得，a=2，c=，sinC= ，ac，C=，故选B点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.9.在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是( )A. B. C. D. 【答
7、案】BC【解析】【分析】根据相关关系的定义，结合图示即可判断是否具有相关性.【详解】A中两个变量为函数关系，不是线性相关，所以A错误；B中两个变量有明显的正相关，所以具有线性相关性，所以B正确；C中两个变量有明显的负相关，所以具有线性相关性，所以C正确；D中两个变量不具有相关性，所以D错误.综上可知，正确是为BC，故选：BC【点睛】本题考查了由散点图判断相关关系，属于基础题.10.在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，下列事件是随机事件的是( )A. 3件都是红色B. 3件都是白色C. 至少有1件红色D. 有1件白色【答案】AD【解析】【分析】根据随机事件定义，结合题
8、意即可判断.【详解】在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，对于A，抽取3件有可能都是红色，也有可能出现白色，所以A是随机事件；对于B，因为只有2件是白色，所以不可能出现3件是白色，即B为不可能事件，所以B不是随机事件，对于C，因为只有2件是白色，所以取出的3件中至少有1件是红色，所以C为必然事件，所以C不是随机事件，对于D，抽出3件中白色可能有0，1，2三种可能，所以有1件白色随机事件，即D为随机事件，综上可知，随机事件为AD，故选：AD.【点睛】本题考查了随机事件的判断，属于基础题.11.在中，角的对边分别为，若，则角的值为( )A. B. C. D. 【答案】BD
9、【解析】【分析】根据余弦定理，代入即可求得角B.【详解】根据余弦定理可知，代入化简可得，即，因为，所以或，故选：BD【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.12.若曲线与曲线有四个不同的交点，则下面哪些实数可取( )A. B. C. 0D. 【答案】AD【解析】【分析】先将曲线化简变形，可知或.由与曲线必有两个交点，结合题意可知与曲线也必有两个交点；联立直线与曲线方程，由判别式即可确定的取值范围，结合选项即可得解.【详解】因，所以或.当时，显然与圆有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需与圆有两个不同的交点，且，由方程组消去，得关于的一元二次方程，令，即，解得，又因
10、为，所以.结合选项可知，只有AD在该范围内，故选：AD.【点睛】本题考查了直线与圆的交点判断，将直线方程变形后，注意的要求，属于中档题.二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上.）13.在中，若，则的形状是_.【答案】等腰三角形【解析】【分析】根据条件，结合正弦定理和正弦差角公式即可判断三角形形状.【详解】由正弦定理可知，而，所以，化简可得，由正弦差角公式可得，所以，即为等腰三角形，故答案为：等腰三角形.【点睛】本题考查了正弦定理在判断三角形形状的简单应用，属于基础题.14.甲五次考试成绩分别为86，94，88，92，90，乙五次
11、考试成绩分别为88，93，93，88，93，两人中成绩较稳定的一人的方差为_.【答案】6【解析】【分析】根据两人的成绩，结合方差的意义即可判断出乙的成绩较为稳定，再由方差公式即可求解.【详解】甲五次考试最低成绩为86，最高成绩为94；乙五次考试最低成绩为88，最高成绩为93.根据方差的意义可知，乙组数据的波动更小，因而成绩较为稳定.，所以，故答案为：6.【点睛】本题考查了方差的意义及简单计算，属于基础题.15.已知函数，不等式的解集为，则函数的解集为_.【答案】【解析】【分析】根据函数与不等式关系，即可得函数的解集.【详解】函数，不等式的解集为，根据不等式与方程的关系可知，的解集为，故答案为：
12、.【点睛】本题考查了函数与不等式关系的简单应用，属于基础题.16.已知两点，动点在线段上运动，则的范围是_，的范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，的几何意义为与距离的平方，即可由斜率公式及距离公式求解.【详解】根据题意画出线段AB如下图所示：直线AB的方程为，的几何意义为与连线斜率，所以；的几何意义为与距离的平方，由点到距离公式可知，,所以，故答案为： ；.【点睛】本题考查了斜率公式及距离公式几何意义的简单应用，注意本题求的是距离平方形式，属于中档题.三.解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写
13、出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩(假设考试成绩均在65，90)内)分组如下：第一组65，70)，第二组 70，75)，第三组75，80)，第四组 80，85)，第五组 85，90)得到频率分布直方图如图.(1)求测试成绩在80，85)内的频率；(2)从第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有1名学生被抽中的概率【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由所有频率的和为，
14、易得测试成绩在80，85）内的频率；（2）先分别求出第三组、第四组、第五组的人数，再由分层抽样方法得各组应该抽取的人数用字母表示所研究的事件，用列举法得基本事件的总数以及所研究事件含多少个基本事件，最后利用古典概型公式求得概率【详解】（1）测试成绩在80，85）内的频率为：（2）第三组的人数等于,第四组的人数等于，第五组的人数等于，分组抽样各组的人数为第三组3人，第四组2人，第五组1人. 设第三组抽到的人为，第四组抽到的人为,第五组抽到的人为.这6名同学中随机选取2名的可能情况有15种，如下：. 设“第四组2名同学至少有一名同学被抽中”为事件,事件包含的事件个数有9种，即：,. 所以, 事件的
15、概率即第四组至少有一名同学被抽中的概率为考点：1、考查频率分布；2、频率分布直方图；3、古典概型18.在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，求：（1）a和c的值；（2）的值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由和，得ac=6.由余弦定理，得.解，即可求出a，c；（2） 中，利用同角基本关系得由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此，利用，即可求出结果.（1）由得，又，所以ac=6.由余弦定理，得.又b=3，所以.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为ac, a=3，c=2.（2）在中，由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此.于是=.考点：1.解三角形；2.三角恒
16、等变换.19.已知，直线.求：（1）直线关于点的对称直线的方程；（2）直线关于直线的对称直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设上任一点的坐标为，可求得关于点的对称点，再将对称点带入即可求得直线关于点的对称直线的方程；（2）设上任一点坐标为，可求得点关于直线的对称点的坐标，再将坐标代入直线，即可求得对称直线的方程.【详解】（1）设上任一点的坐标为，则关于点的对称点的坐标为，而点在上，所以，化简可得对称直线的方程为.（2）设上任一点坐标为，则点关于直线的对称点的坐标为，它在直线上，所以，即.【点睛】本题考查了直线关于点、直线关于直线的对称方程求法，属于基础题.20.已知函数，
17、.（1）若，求的解集；（2）若不等式当时都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）将因式分解，结合，即可得的解集；（2）将的解析式代入不等式，化简后分离参数，并结合基本不等式即可求得的取值范围.【详解】（1）函数，所以化为因为，所以，所以的解集为或（2）即，化简可得因为对都成立.所以分离参数可得，当时，则，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，由恒成立可知.【点睛】本题考查了含参数一元二次不等式的解法，分离参数法及基本不等式求最值的综合应用，属于中档题.21.某农场有一块等腰直角三角形的空地，其中斜边的长度为400米.为迎接“五一”观光游，欲在边界上选择一点，修建
18、观赏小径，其中分别在边界上，小径与边界的夹角都为.区域和区域内种植郁金香，区域内种植月季花.（1）探究：观赏小径与的长度之和是否为定值？请说明理由；（2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径，当点在何处时，三条小径的长度和最小？【答案】（1）为定值，理由见解析；（2）是的中点.【解析】【分析】（1）根据题意可得，结合正弦定理可分别用表示出与，即可确定是否为定值；（2）在中，由余弦定理可表示出，结合基本不等式即可得，根据（1）中为定值，即可知不等式取等号的条件，进而确定点的位置及三条小径的长度和.【详解】（1）为等腰直角三角形，小径与边界的夹角都为，在中，所以，故由正弦定理可得，即.同理.
19、故为定值.（2）在中，由余弦定理可得，即，所以，.又由（1）有，故，当且仅当时等号成立，故当点的中点位置时，三条小径的长度和最小为.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，由基本不等式确定和的最小值，属于中档题.22.已知圆和点.（1）过点向圆引切线，求切线的方程；（2）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆的方程；（3）设为（2）中圆上任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）或；（2）；（3）存在定点，此时为定值或定点，此时为定值.【解析】【分析】（1）讨论斜
20、率是否存在：当斜率不存在时，易判断为圆的切线；当斜率存在时，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径，即可求得斜率，进而确定直线方程.（2）由点到直线距离公式可先求得点到直线的距离，再根据所得弦长和垂径定理，即可确定半径，进而得圆的方程；（3）假设存在定点，使得为定值，设，根据切线长定理及两点间距离公式表示出，代入并结合圆M的方程，化简即可求得，进而代入整理的方程可得关于的一元二次方程，解方程即可确定的值，即可得定点坐标及的值.【详解】（1）若过点的直线斜率不存在，直线方程为，为圆的切线；当切线的斜率存在时，设直线方程为，即，圆心到切线的距离为，解得，直线方程为综上切线的方程为或，（2）点到直线的距离为，又圆被直线截得的弦长为8，圆的方程为，（3）假设存在定点，使得为定值，设，点在圆上，则为圆的切线，即整理得若使对任意恒成立，则，代入得，化简整理得，解得或，或，存在定点，此时为定值或定点，此时为定值.【点睛】本题考查了过圆外一点的切线方程求法，注意斜率不存在的情况，由几何关系确定圆的方程，圆中定点和定值问题的综合应用，属于难题.
