1、六安市金安区名校2022-2023学年高三上学期12月第四次月考数学试卷时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数满足（为虚数单位），是的共轭复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限2已知空间中的两个不同的平面，直线平面，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）A B C8 D4如
2、图，已知是正方体，以下结论错误的是（ ）A向量与向量的夹角为60BCD若，则点是的中心5若不等式的解集为区间，且，则（ ）A B C D2 6过点作圆的切线，直线与切线平行，则切线与直线间的距离为（ ）A B2 C4 D7如图，已知平面，是直线上的两点，是平面内的两点，且是平面上的一动点，且直线与平面所成角相等，则四棱锥体积的最大值为（ ）A BC D8在正四棱台中，当该正四棱台的体积最大时，则其外接球的表面积为（ ）A B C D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9以下四个命题表述正确
3、的是（ ）A若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为B三棱锥中，分别为的中点，则平面将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即C若直线l过点且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l的方程为D在四面体中，若，则10在三棱锥中，已知底面ABC，分别是线段上的动点则下列说法正确的是（）A当时，B当时，一定为直角三角形C当时，平面平面D当平面AEF时，平面与平面不可能垂直11已知正方体的棱长为2，为线段的中点，其中，则下列选项正确的是（ ）A当时，三棱锥的体积为定值B当时，的最小值为C当时，直线与平面的交点轨迹长度为D当时，点到平面的距离为12若实数满足，则下列说法正确的是（ ）A的最小值是0B的最
4、大值是5C若关于的方程有一解，则的取值范围为D若关于的方程有两解，则的取值范围为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13若直线与圆分别交于M、N两点. 则弦MN长的最小值为 .14在四面体中，且异面直线与所成的角为60，分别是棱的中点，则线段MN的长为 15已知的一条内角平分线所在的直线方程为，两个顶点坐标分别为，则边所在的直线方程为 （结果用一般式表示）16已知数列满足：，若，则数列的前20项和 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧
5、面积为，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值18、（本小题满分12分）如图，为内的一点，记为，记为，且、在中的对边分别记为.（1）求；（2）若，求线段和的长19、（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆及点（1）若直线过点，与圆相交于两点，且，求直线l的方程；（2）圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由20、（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，且（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（2）设，求证：21、（本小题满分12分）在，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答如图，在五面体中，已知 ，且（1）设平面与
6、平面的交线为，证明：平面；（2）求证：平面平面；（3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，请说明理由22、（本小题满分12分）已知函数（1）求函数在处的切线方程；（2）若与的图象有公共点（i）当时，求的取值范围；（ii）求证：六安市金安区名校2022-2023学年高三上学期12月第四次月考数学参考答案一选择题123456789101112CBDACABDBDACDABDAB二 填空题13、4 14、1或 15、 16、 17、证明：（1）由题意可知，解得 .1分 在中，所以，又因为是的中点，所以因为是圆的直径，所以，由已知得，平面所以，所以平面， .3
7、分从而平面，证得. .5分（2）过作，则面 .6分连接，则就是直线与平面所成的角 .7分， .9分. .10分18、解：（1）由题知， .4分，. .6分（2）在中，由余弦定理得知： .8分又，且 .9分又， .10分在中，. .12分19、解：（1）若的斜率不存在时，此时符合要求. .2分当的斜率存在时，设的斜率为，则令， .4分 .5分所以直线的方程为或. .6分（2）假设圆上存在点，设，则， .8分即，即， .9分， .10分与相交，则点有两个.12分20、（1）证明：令，得. . 1分所以时， -得，即 . 3分所以，因为，所以数列是以1为首项为公差的等差数列 . 5分所以，所以. .
8、 6分（2）由 . 8分所以 . 10分因为，所以，得证. .12分21、证明:（1），平面 .1分又平面且平面平面， .2分又平面，平面，平面. .3分（2）若选，取中点，中点中点，连接，四边形为平行四边形，又，又，又，平面，平面，平面，平面平面，又平面，平面平面，平面，又，； . 5分若选，平面，平面，平面，平面平面，取中点，中点，连接，又平面，平面平面，平面，又，； . 5分若选，取中点，中点，连接，又，；分别为中点，又，四边形为平行四边形，；，又，又，平面，平面，平面，平面平面，又，平面，平面平面，平面，又，； . 5分综上所述：两两互相垂直.则以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直
9、角坐标系，则，平面，平面的一个法向量； . 6分设平面的法向量，则，令，解得：， . 7分，即，平面与平面. . 8分（3）设在线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，由（2）得：，设平面的法向量，则，令，则， . 9分面的法向量为 ，化简得，方程无解 . 11分线段以上不存在点F，使得平面AEF与平面ABF夹角的余弦值等于. .12分22、解：（1），故， .1分而，曲线在点处的切线方程为， .2分即. .3分（2）（i）当时， 因为曲线和有公共点，故有解，设，故，故在上有解，设，故在上有零点，.4分而，若，则恒成立，此时在上无零点， .5分若，则在上恒成立，故在上为增函数， .6分而
10、，故在上无零点，故，设，则，故在上为增函数，而，故在上存在唯一零点，且时，；时，；故时，；时，；所以在上为减函数，在上为增函数，故， .7分因为在上有零点，故，故，而，故即，设，则，故在上为增函数，而，故. . 8分另解：令，所以，.当时，即在上是单调递减的；当时，即在上是单调递增的；因为，所以有，解得.（ii）因为曲线和有公共点，所以有解，其中，若，则，该式不成立，故.故，考虑直线，表示原点与直线上的动点之间的距离，故，所以， . 9分下证：对任意，总有，证明：当时，有，故成立.当时，即证，设，则（不恒为零），故在上为减函数，故即成立.综上，成立. . 10分下证：当时，恒成立，则，故在上为增函数，故即恒成立. .11分下证：在上恒成立，即证：，即证：，即证：，而，故成立.故，即成立. . 12分第二问另证：方法一：柯西不等式：令交点横坐标为，则由柯西不等式：.即证：，因为，原命题得证.方法二：基本不等式：令交点横坐标为，则，则由基本不等式，因此有：，原命题得证.答案仅供参考，请各位老师按步骤给分！其它解法请酌情给分！
