1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。10.1.2复数的几何意义必备知识自主学习导思1.复数与向量之间具有怎样的对应关系?2.如何判断复数的实部、虚部的取值?1.复平面(1)复平面:建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.(2)实轴和虚轴:在复平面内,x轴上的点对应的都是实数,因此x轴称为实轴,y轴上的点除了原点外,对应的都是纯虚数,为了方便起见,称y轴为虚轴.(1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗?提示:不是.(2)象限内的点与复数有何对应关系?提示:第一象限的复数特点:实部为正,且虚部为正;第二象限
2、的复数特点:实部为负,且虚部为正;第三象限的复数特点:实部为负,且虚部为负;第四象限的复数特点:实部为正,且虚部为负.2.复数的几何意义3.共轭复数(1)定义:如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数.(2)表示方法:复数z的共轭复数用表示.即如果z=a+bi,那么=a-bi.(3)几何意义:在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称;反之,如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称,则这两个复数互为共轭复数.4.复数的模(1)定义:向量=(a,b)的长度称为复数z=a+bi的模(或绝对值),复数z的模用|z|表示,因此|z|=.如果b=0,|z|=|a|.(2)
3、共轭复数的模的关系:两个共轭复数的模相等,即|z|=|.注意:对复数模的两点说明(1)数的角度理解:复数a+bi(a,bR)的模|a+bi|=,两个虚数不能比较大小,但它们的模表示实数,可以比较大小.(2)几何角度理解:表示复数的点Z到原点的距离.|z1-z2|表示复数z1,z2对应的点之间的距离.复数的模的几何意义是什么?提示:复数z在复平面内对应的点为Z,复数z0在复平面内对应的点为Z0,r表示一个大于0的常数,则:满足条件|z|=r的点Z的轨迹为以原点为圆心,r为半径的圆,|z|r表示圆的外部;满足条件|z-z0|=r的点Z的轨迹为以Z0为圆心,r为半径的圆,|z-z0|r表示圆的外部.
4、1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.()(2)复数的模一定是正实数.()(3)若|z1|=|z2|,则z1=z2.()提示:(1).(2).复数0的模是0.(3).反例:|1-2i|=|1+2i|,但1-2i1+2i.2.已知复数z的实部为-1,虚部为2,则|z|=.【解析】|z|=.答案:3.(教材二次开发:例题改编)在复平面内,复数1+i和1+3i分别对应向量和,其中O为坐标原点,则=.【解析】因为复数1+i与1+3i分别对应向量和,所以向量=(1,1),=(1,3),所以=-=(0,2),所以=2.答案:2关键能力合作学习类型一复数的模(数学
5、运算)1.(2020南昌高一检测)复数z=-1+i(i是虚数单位),则z的模为()A.0B.1C.D.2【解析】选C.=.2.(2020武汉高一检测)已知复数z=-1+2i,则下列关系式中正确的是()A.|z|3C.|z|1+2i|D.|z|=|1-2i|【解析】选D.复数z=-1+2i,=.排除AB,=.故得到=.3.已知复数z=3+ai,且|z|4,求实数a的取值范围.【解析】方法一:因为z=3+ai(aR),所以|z|=,由已知得32+a242,所以a27,所以a(-,).方法二:利用复数的几何意义,由|z|4知,z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界),由z=
6、3+ai知z对应的点在直线x=3上,所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知-a.复数模的计算(1)计算复数的模时,应先确定复数的实部和虚部,再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.(2)设出复数的代数形式,利用模的定义转化为实数问题求解.类型二复平面的应用(逻辑推理)【典例】求实数a分别取何值时,复数z=+(a2-2a-15)i(aR)对应的点Z满足下列条件:(1)在复平面的第二象限内.(2)在复平面内的x轴上方.【思路导引】确定z的实部、虚部列方程、解不等式组【解析】(1)点Z在复平面的第二象限内,则解得a0,解得a5或a-3.(1)本例中题设条件不变
7、,求复数z表示的点在x轴上时,实数a的值.【解析】点Z在x轴上,所以a2-2a-15=0且a+30,所以a=5.故a=5时点Z在x轴上.(2)本例中条件不变,如果点Z在直线x+y+7=0上,求实数a的值.【解析】因为点Z在直线x+y+7=0上,所以+a2-2a-15+7=0,即a3+2a2-15a-30=0,所以(a+2)(a2-15)=0,故a=-2或a=.所以a=-2或a=时,点Z在直线x+y+7=0上.利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,bR)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.(2)列出式子:此类问题可建立复数的
8、实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.类型三复数模的几何意义(直观想象)角度1与模有关的轨迹问题【典例】设zC,在复平面内对应点Z,试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.(1)|z|=3;(2)1|z|2.【思路导引】根据复数模的几何意义,即复数的模就是复数对应的点到原点的距离.【解析】(1)|z|=3,说明向量的长度等于3,即复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为3,这样的点Z的集合是以原点O为圆心,3为半径的圆.(2)不等式1|z|2可以转化为不等式组不等式|z|2的解集是圆|z|=2及该圆内部所有点的集合.不等式|z|1的解集是圆|z|=1及该圆外部所有点的集
9、合.这两个集合的交集,就是满足条件1|z|2的点的集合.如图中的阴影部分,所求点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,并且包括圆环的边界.角度2复数模的最值问题【典例】(2020广州高一检测)已知复数z满足|z-i|2(i是虚数单位),则的最大值为()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.由复数的模的几何意义可知,复数z在复平面内对应的点Z的轨迹为:以(0,1)为圆心,以2为半径的圆的内部(包括圆周).而表示点Z到点(0,0)的距离,所以当点Z为时,最大,故的最大值是3.解决复数模的几何意义的问题的两个关键点(1)|z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表
10、示的图形;(2)利用复数模的概念,把模的问题转化为几何问题来解决.1.已知复数z=x+yi(x,yR)且|z-2|=,则的最大值为()A.B.C.D.【解析】选D.因为|z-2|=,所以(x-2)2+y2=3,由图可知=.2.(2020南京高一检测)已知复数=1,i为虚数单位,则的最小值是()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.复数z满足=1(i是虚数单位),复数z表示的点的轨迹为复平面上的点到的距离为1的圆.|z-3+4i|的几何意义是圆上的点与(3,-4)的距离,所以最小值为:-1=4.【补偿训练】 若复数z满足|z|,则z在复平面所对应的图形的面积为.【解析】满足|z|的点Z的集合是以
11、原点O为圆心,以为半径的圆及其内部所有的点构成的集合,所以所求图形的面积为S=2.答案:2备选类型复数的转化应用(逻辑推理)【典例】已知复数z满足z+|z|=2+8i,求复数z.【思路导引】设出复数z的代数形式,根据复数相等的条件建立方程组进行求解.【解析】设z=a+bi(a,bR),则|z|=,代入方程得a+bi+=2+8i,所以解得所以z=-15+8i.复数模的求解及其应用1.复数z=a+bi模的计算:|z|=.2.复数的模的几何意义:复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离.3.转化思想:利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件,是一种复数问题实数化思想.若复数z=+(a
12、2-a-6)i是实数,则z1=(a-1)+(1-2a)i的模为.【解析】因为z为实数,所以a2-a-6=0,所以a=-2或3.因为a=-2时,z无意义,所以a=3,所以z1=2-5i,所以|z1|=.答案:课堂检测素养达标1.已知0a2,复数z=a+i(i是虚数单位),则|z|的取值范围是()A.(1,)B.(1,)C.(1,3)D.(1,5)【解析】选B.|z|=,因为0a2,所以1a2+15,所以|z|(1,).2.当m1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为m0,m-10,所以点(3m-2,m-1
13、)在第四象限.3.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i【解析】选C.复数6+5i对应的点为A(6,5),复数-2+3i对应的点为B(-2,3).利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4),故点C对应的复数为2+4i.4.若复数z=(m-2)+(m+1)i为纯虚数(i为虚数单位),其中mR,则|z|=.【解析】复数z=(m-2)+(m+1)i为纯虚数(i为虚数单位),所以m-2=0且m+10,解得m=2,所以z=3i,所以|z|=3.答案:35.(教材二次开发:练习改编)z=m2-2
14、+i,其共轭复数对应复平面内的点在第二象限,则实数m的范围是.【解析】由已知得:=m2-2-i,且在第二象限,所以解得所以-m.答案: 五复数的几何意义 (15分钟30分)1.(2020成都高一检测)已知复数z=1-2i,则=()A.B.1+2iC.+iD.-i【解析】选B.复数z=1-2i则=1+2i.2.(2020巴楚高一检测)i是虚数单位,则复数i+i2在复平面内所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为i+i2=-1+i,所以复数i+i2在复平面内所对应的点为(-1,1),在第二象限.3.已知a是实数,a-1+i是纯虚数,则复数z=a+i的模等于
15、()A.2B.C.D.1【解析】选C.a-1+i是纯虚数,则实部为0,虚部不为0,即a=1,所以z=1+i,|z|=.4.已知复数z1=-2+3i的对应点为Z1,Z2与Z1关于x轴对称,Z3与Z2关于直线y=-x对称,则点Z3对应的复数为z=()A.3+2iB.3-2iC.2+3iD.2-3i【解析】选A.Z1(-2,3),Z2(-2,-3),Z3(3,2),所以z=3+2i.5.(2020南京高一检测)若mR,i为虚数单位,且=,则m的值为.【解析】由=,可得=,解得m=1.答案:16.在复平面内,O为坐标原点,向量对应的复数为3-4i,若点B关于原点的对称点为A,点A关于虚轴的对称点为C,
16、则向量对应的复数为.【解析】因为点B的坐标为(3,-4),所以点A的坐标为(-3,4),所以点C的坐标为(3,4),所以向量对应的复数为3+4i.答案:3+4i(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若x,yR,i为虚数单位,且x+y+(x-y)i=3-i,则复数x+yi在复平面内所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.因为x+y+(x-y)i=3-i,所以解得所以复数1+2i在复平面内所对应的点在第一象限.2.在复平面内,复数z1,z2的对应点分别为A,B.已知A(1,2),|AB|=2,|z2|=,则z2等于()A.4+5iB.5+4i
17、C.3+4iD.5+4i或+i【解析】选D.设z2=x+yi(x,yR),由条件得所以或所以z2=5+4i或+i.3.已知复数z满足|z|2-3|z|+2=0,则复数z对应点的轨迹是()A.一个圆B.两个圆C.两点D.线段【解析】选B.由|z|2-3|z|+2=0,得(|z|-1)(|z|-2)=0,所以|z|=1或|z|=2.由复数模的几何意义知,z对应点的轨迹是两个圆.4.(2020天津高一检测)设复数z在复平面内对应的点为,若x,y满足x2+(y+2)2=3,则有()A.|z+2|=3B.|z+2|=C.|z+2i|=3D.|z+2i|=【解析】选D.因为复数z在复平面内对应的点为,所以
18、z=x+yi,=,所以=.又x,y满足x2+(y+2)2=3,则|z+2i|=.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知复数z=x+yi,则()A.z20B.z的虚部是yiC.若z=1+2i,则x=1,y=2D.=【解析】选CD.对于A选项,取z=i,则z2=-1-,t2+2t+2=+10,所以复数z对应的点可能在第一象限,也可能在第二象限,故A错误;当即t=-3或t=时,z为纯虚数,故B错误;因为t2+2t+20恒成立,所以z一定不为实数,故C正确;由选项A的分析知,z对应的点在实轴的上方,所以对应的点在实轴的下方,故D正确.三、填空题(
19、每小题5分,共10分)7.在复平面内,把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数是.【解析】复数对应的点为(3,-),对应的向量按顺时针方向旋转,则对应的点为(0,-2),所得向量对应的复数为-2i.答案:-2i8.若复数z=(a-2)+(a+1)i,aR对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是.【解析】复数z=(a-2)+(a+1)i对应的点的坐标为(a-2,a+1),因为该点位于第二象限,所以解得-1a2.由条件得|z|=.因为-1a3,所以m的取值范围是m3;(2)因为z=+i,所以=m-2+(9-m2)i,因为与复数+5i相等,所以解得m=-2.10.(2020昌乐高
20、一检测)设复数z=lg+i,试求实数m取何值时:(1)z是纯虚数;(2)z是实数;(3)z对应的点位于复平面的第二象限.【解析】(1)若z=lg+i是纯虚数,则可得即解得m=3(舍去-1);(2)若z=lg+i是实数,则可得m2-2m-20且m2+3m+2=0,解得m=-1或m=-2;(3)因为z=lg+i对应的点坐标为,因为该对应点位于复平面的第二象限,则可得即解得-1m1-或1+m,即A-B,sin Acos B,cos B-tan A=cos B-cos B-sin A0,所以点(cos B-tan A,tan B)在第二象限.2.已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(aR).若与共线,求a的值.【解析】因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i,所以=(-3,4),=(2a,1).因为与共线,所以存在实数k使=k,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),所以所以即a的值为-.关闭Word文档返回原板块
