1、22基本不等式第1课时基本不等式考点学习目标核心素养基本不等式理解基本不等式的内容及导出过程逻辑推理利用基本不等式求最值能够运用基本不等式求函数或代数式的最值数学运算 问题导学预习教材P44P46，并思考以下问题：1基本不等式的内容是什么？2基本不等式成立的条件是什么？3利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？1重要不等式与基本不等式名师点拨(1)两个不等式a2b22ab与成立的条件是不同的前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a0，b0即可)(2)两个不等式a2b22ab和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当ab时，等号成立”2基本不等式与最值已知x0，y0，则
2、(1)若xyS(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值(2)若xyP(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小名师点拨利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即：一正：符合基本不等式成立的前提条件，a0，b0；二定：化不等式的一边为定值；三相等：必须存在取“”号的条件，即“”号成立以上三点缺一不可 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意a，bR，a2b22ab均成立()(2)若a0，b0且ab，则ab2.()(3)若a0，b0，则ab.()(4)a，b同号时，2.()(5)函数yx的最小值为2.()答案：(1)
3、(2)(3)(4)(5) 如果a0，那么a2的最小值是()A2B2C3 D4解析：选D.因为a0，所以a222224，当且仅当a1时取等号 不等式(x2y)2成立的前提条件为()Ax2y Bx2yCx2y Dx0，即x2y，故选B. 已知0x1，则x(1x)的最大值为_，此时x_解析：因为0x1，所以1x0，所以x(1x)，当且仅当x1x，即x时“”成立，即当x时，x(1x)取得最大值.答案：对基本不等式的理解下列结论正确的是()A若xR，且x0，则x4B当x0时，2C当x2时，x的最小值为2D当0x2时，x无最大值【解析】对于选项A，当x0时，x4显然不成立；对于选项B，符合应用基本不等式的
4、三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x，则x1，均不满足x2；对于选项D，x在00)的最小值是2.(2)因为正数x，y满足2xy1，所以2xy12，所以，解得xy，当且仅当x，y时取等号(1)若abS(和为定值)，当ab时，积ab有最大值，可以用基本不等式求得(2)若abP(积为定值)，则当ab时，和ab有最小值2，可以用基本不等式ab2求得不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立 1已知x0，y0，且xy8，则(1x)(1y)的最大值为()A16 B25C9 D36解析：选B.因为x0，y0，且xy8，所以(1x)(1y)1xyxy9xy994225
5、，因此当且仅当xy4时，(1x)(1y)取最大值25.2若a，b都是正数，则的最小值为()A7 B8C9 D10解析：选C.因为a，b都是正数，所以5529，当且仅当b2a时取等号利用基本不等式求最值(1)已知x2，则yx的最小值为_(2)若0x2，所以x20，所以yxx222 26，当且仅当x2，即x4时，等号成立所以yx的最小值为6.(2)因为0x0，所以yx(12x)2x(12x)，当且仅当2x12x，即当x时，ymax.(3)因为x，y(0，)，x4y1，所以59，当且仅当，即x，y时取等号【答案】(1)6(2)(3)9若把本例(1)中的条件“x2”改为“x2”，求yx的最大值解：因为
6、x0，所以f(x)x2222，当且仅当2x，得x0或x4(舍去)，即x0时，等号成立故f(x)x的最大值为2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提 1已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为()A. B.C. D.解析：选B.由x(33x)3x(33x)，当且仅当3x33x，即x时取等号2函数y3x2的最小值是()A3
7、3 B3C6 D63解析：选D.y3(x21)3232363，当且仅当x21时等号成立，故选D.3已知x0，y0，且1，则xy的最小值为_解析：xy(xy)1010210616.即x4，y12时等号成立，所以xy的最小值为16.答案：161下列不等式中，正确的是()Aa4Ba2b24abC. Dx22解析：选D.a0，则a4不成立，故A错；a1，b1，a2b24ab，故B错，a4，b16，则，故C错；由基本不等式可知D项正确2若a0，b0，a2b5，则ab的最大值为()A25 B.C. D.解析：选D.a0，b0，a2b5，则aba2b，当且仅当a，b时取等号，故选D.3若a1，则a的最小值是
8、()A2 BaC. D3解析：选D.因为a1，所以a10，所以aa11213.当且仅当a1即a2时取等号4已知x，y为正实数，且xy4，求的最小值解：因为x，y为正实数，所以(xy)442.当且仅当，即x2(1)，y2(3)时取“”号又xy4，所以1，故的最小值为1.A基础达标1已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成立的是()Aa2b22abBab2C.D.2解析：选D.对于A，当ab时，a2b22ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab0，所以0，0，所以2，即2成立2.(6a3)的最大值为()A9B.C3 D.解析：选B
9、.因为6a3，所以3a0，a60，所以.即(6a3)的最大值为.3已知实数x，y满足x0，y0，且1，则x2y的最小值为()A2 B4C6 D8解析：选D.因为x0，y0，且1，所以x2y(x2y)4428，当且仅当时等号成立故选D.4设x0，则y33x的最大值是()A3 B32C32 D1解析：选C.y33x332 32，当且仅当3x，即x时取等号5设x0，则函数yx的最小值为()A0 B.C1 D.解析：选A.因为x0，所以x0，所以yx2220，当且仅当x，即x时等号成立，所以函数的最小值为0.6已知x0，y0，2x3y6，则xy的最大值为_解析：因为x0，y0，2x3y6，所以xy(2
10、x3y).当且仅当2x3y，即x，y1时，xy取到最大值.答案：7若点A(2，1)在直线mxny10上，其中mn0，则的最小值为_解析：因为点A(2，1)在直线mxny10上，所以2mn1，所以48.答案：88给出下列不等式：x2；2；2；xy；.其中正确的是_(写出序号即可)解析：当x0时，x2；当x0，b0，且2abab.(1)求ab的最小值；(2)求a2b的最小值解：因为2abab，所以1；(1)因为a0，b0，所以12，当且仅当，即a2，b4时取等号，所以ab8，即ab的最小值为8；(2)a2b(a2b)5529，当且仅当，即ab3时取等号，所以a2b的最小值为9.14已知a，b为正实
11、数，且2.(1)求a2b2的最小值；(2)若(ab)24(ab)3，求ab的值解：(1)因为a，b为正实数，且2，所以22，即ab(当且仅当ab时等号成立)因为a2b22ab21(当且仅当ab时等号成立)，所以a2b2的最小值为1.(2)因为2，所以ab2ab.因为(ab)24(ab)3，所以(ab)24ab4(ab)3，即(2ab)24ab4(ab)3，即(ab)22ab10，(ab1)20.因为a，b为正实数，所以ab1.C拓展探究15是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：ab10；1(x0，y0)且xy的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由解：因为1，所以xy(xy)abab2()2，又xy的最小值为18，所以()218.由得或故存在实数a2，b8或a8，b2满足条件
