1、综合检测(二)第二章空间向量与立体几何(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每个题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)1已知向量a(2，3,5)与向量b(4，x，y)平行，则x，y的值分别是()A6和10B6和10C6和10 D6和10【解析】由ab，得，x6，y10.【答案】A2已知直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，下列结论成立的是()A若an，则a B若an0，则aC若an，则a D若an0，则a【解析】由直线的方向向量与平面的法向量的定义知应选C，对于选项D，直线a在平面内，也满足an0.【答案】C3平面的一个法向量n(1，
2、1,0)，则y轴与平面所成的角的大小为()A.BC.D【解析】y轴的方向向量s(0,1,0)，cosn，s，即y轴与平面所成角的正弦值是，故其所成的角是.【答案】B4平行六面体ABCDA1B1C1D1，向量A、A、两两的夹角均为60，且|A|1，|A|2，|3，则|等于()A5 B6 C4 D8【解析】设Aa，Ab，c，则abc，a2b2c22ab2bc2ca25，因此|5.【答案】A5已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于()A. B C. D【解析】a，b不共线，存在x，y，使cxayB解得.【答案】D6已知平面，是两个不重合的平面，其法
3、向量分别为n1，n2，给出下列结论：若n1n2，则；若n1n2，则；若n1n20，则；若n1n20，则.其中正确的是()A B C D【解析】由平面的法向量的定义知正确【答案】A7正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sinC，的值为()A. B C. D【解析】设正方体棱长2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知C(2，2,1)，(2,2，1)，cosC，sinC，.【答案】B8点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s(1，1,1)的直线l的距离为，则点M的坐标是()A(0,0，2) B(0,0，3
4、)C(0,0，) D(0,0，1)【解析】设M(0,0，z)，直线的一个单位方向向量s0(，)，故点M到直线l的距离d，解得z3.【答案】B9. 如图1，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为()图1【解析】如图，以D为原点，DA、DC分别为x，y轴建立如图所示空间直角坐标系，设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则P(，0，a)，C(0，a,0)，则|MC|，|MP|.由|MP|MC|得x2y，所以M在正方形ABCD内的轨迹为一条直线yx.【答案】A10. 如图2
5、，在正三棱锥PABC中，D是侧棱PA的中点，O是底面ABC的中心，则下列四个结论中正确的是()图2AOD平面PBCBODPACODACDPA2OD【解析】连接AO、PO，依题意POAO，即POA90.D为PA的中点，点O在以PA为直径的圆上，ODDADP，即PA2OD【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)11若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)2，则x_.【解析】c(1,1,1)，a(1,1，x)，ca(0,0,1x)，(ca)(2b)(0,0,1x)(2,4,2)2(1x)2，x2.【答案】212若
6、直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角为_【解析】由题设，l与所成的角90(180120)30.【答案】3013平面经过点A(0,0,2)且一个法向量n(1，1，1)，则x轴与平面的交点坐标是_【解析】设交点M(x,0,0)，A(x,0，2)，平面的一个单位法向量是n0(，)，点M到平面的距离d|An0|x|0，得x2，故x轴与平面的交点坐标是(2,0,0)【答案】(2,0,0)14已知三棱锥PABC各顶点的坐标分别是P(1,0,0)，A(0,1,0)，B(4,0,0)，C(0,0,2)，则该三棱锥底面ABC上的高h_.【解析】由已知，A(1，1,0)，A(4，
7、1,0)，A(0，1,2)设平面ABC的法向量n(x，y，z)，则取x1，得n(1,4,2)则h.【答案】三、解答题(本大题4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小满分12分)如图3，在ABC中，ABC60，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.(1)证明：平面ADB平面BDC；(2)设E为BC的中点，求A与D夹角的余弦值图3【解】(1)证明：折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDCD，AD平面BDC，AD平面ABD，平面ABD平面BDC.(2)由BDC90及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|1
8、，以D为坐标原点，以D，D，D所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E(，0)，所以A(，)，D(1,0,0)，cos，所以A与D夹角的余弦值是.16(本小题满分12分)如图4，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点图4(1)证明：ADD1F；(2)求AE与D1F所成的角；(3)证明：面AED面A1FD1.【解】以D为原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则有A(1,0,0)，E(1,1，)，F(0，0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,
9、1)(1)证明：由A(1,0,0)，(0，1)，A0，ADD1F.(2)A(0,1，)，A0，AED1F，AE与D1F所成的角为90.(3)证明：由以上可知D1F平面AED，又D1F在平面A1FD1内，面AED面A1FD1.17. (本小题满分12分)如图5所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：图5(1)AECD；(2)PD平面ABE.【证明】AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PAABBC1，则P(0,0,1)，(1)ABC60，ABC为正三角形，C(，0)，E(，)，设D(0，y,0)，由ACC
10、D，得AC0，即y，则D(0，0)，C(，0)，又A(，)，AC0，AC，即AECD(2)法一P(0,0,1)，P(0，1)，又AP(1)0，PA，即PDAE，A(1,0,0)，PA0，PDAB，又ABAEA，PD平面AEB法二A(1,0,0)，A(，)，设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则令y2，则z，n(0,2，)，P(0，1)，显然Pn.Pn，P平面ABE，即PD平面ABE.18(2013辽宁高考)(本小题满分12分)如图6，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点图6(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)若AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值【解】(1
11、)证明：由AB是圆的直径，得ACBC，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.因为BC平面PBC.所以平面PBC平面PAC.(2)过C作CMAP，则CM平面ABC.如图(1)，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系在RtABC中，因为AB2，AC1，所以BC.又因为PA1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)故(，0,0)，(0,1,1)设平面BCP的法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以不妨令y11，则n1(0,1，1)因为(0,0,1)，(，1,0)，设平面ABP的法向量为n2(x2，y2，z2)，则所以不妨令x21，则n2(1，0)于是cosn1，n2.由图(1)知二面角CPBA为锐角，故二面角CPBA的余弦值为.
