1、第2课时对数函数性质的应用(教师独具内容)课程标准：了解并掌握对数函数的图象、性质及单调性知道对数函数ylogax(a0，且a1)与指数函数yax(a0，且a1)互为反函数教学重点：对数函数的单调性及应用教学难点：对数函数性质的综合应用.【知识导学】知识点一对数函数ylogax(a0，且a1)的性质(1)定义域：(0，)(2)值域：(，)(3)定点：(1,0)(4)单调性：a1时，在(0，)上是增函数；0a1，x1时，y(0，)，0x1时，y(，0)；当0a1时，y(，0)，0x0，且a1)与指数函数yax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称对数函数ylogax的定义域是指数函数yax的值域
2、，而ylogax的值域是yax的定义域【新知拓展】(1)并非任意一个函数yf(x)都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数互为反函数的两个函数的定义域、值域的关系如下表所示： (2)一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性(3)若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数(4)求反函数的步骤：求出函数yf(x)的值域；由yf(x)解出xf1(y)；把xf1(y)改写成yf1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)(5)如何解以下三类不等式：形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0ab
3、的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助ylogax的单调性求解形如logaxlogbx的不等式，可利用图象求解1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数ylog2x与yx2互为反函数()(2)函数ylogax的图象与yax的图象关于直线yx对称()(3)函数ylogax的图象过定点(1,0)()答案(1)(2)(3)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知对数函数f(x)的图象过点(8,3)，则f_.(2)函数y2loga(x1)(a0，且a1)的图象过定点_(3)已知logaloga1，则a的取值范围为_答案(1)5(2)(2,0)(3)(1，)题型一 对数函数单调
4、性的应用例1(1)已知log0.7(2x)1，求a的取值范围；(3)求函数ylog (1x2)的单调递增区间解(1)函数ylog0.7x在(0，)上为减函数，由log0.7(2x)1.x的取值范围为(1，)(2)由loga1，得logalogaA当a1时，有a，此时无解当0a1时，有a，所以a0x211x1.函数的定义域为(1,1)令t1x2，x(1,1)在(1,0)上，x增大，t增大，ylogt减小，即在(1,0)上，y随x的增大而减小，为减函数；在0,1)上，x增大，t减小，ylogt增大，即在0,1)上，y随x的增大而增大，为增函数ylog (1x2)的单调递增区间为0,1)结论探究本例
5、(3)中改求此函数的值域解由ylogu，u1x2，可知00，解得x2或x0.因为yx22x在1，)上是增函数，在(，1上是减函数，而ylg x在(0，)上是增函数，所以ylg (x22x)的单调递增区间为(2，).题型二 对数函数性质的综合应用例2已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)log (x7)(1)求f(1)，f(1)；(2)求函数f(x)的表达式；(3)若f(a1)f(3a)0，求a的取值范围解(1)f(1)log83，f(1)f(1)3.(2)因为f(x)在R上为奇函数，所以f(0)0，令x0，则x0，所以f(x)f(x)log (x7)， (3)当x(0，)时，y
6、log (x7)，令ux7，则ylogu.由于ux7是增函数，ylogu是减函数，则ylog (x7)在(0，)上是减函数，又由于f(x)是奇函数且f(0)0，所以yf(x)是R上的减函数由f(a1)3a，解得a2.条件探究本例中，若函数f(x)是偶函数，试求当x0时，函数f(x)的表达式解令x0，则x0，因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)log (x7)log (7x)故当x0时，f(x)log (7x)金版点睛图象与性质是解决对数函数问题的常用方法对数函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考查对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等，熟悉对数函数的
7、图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提已知函数f(x)lg .(1)若f(x)为奇函数，求a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)在(m，n)上的值域为(1，)，求m，n的值解(1)f(x)为奇函数，f(x)f(x)0，即lg lg 0，1，解得a1(a1舍去)(2)由(1)知f(x)lg ，则0，即或解得1x0)(2)由ylogx得xy，所以函数ylogx的反函数为yx.金版点睛(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称.(2)若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象自身关于直线yx对称.已知函数f(x)axk(a0，且a1)的图象过点(1,3)，其反
8、函数的图象过点(2,0)，求函数f(x)的解析式解由于函数f(x)的反函数的图象过点(2,0)，f(x)的图象过点(0,2)，2a0k，即k1，f(x)ax1.又f(x)的图象过点(1,3)，3a1，即a2，f(x)2x1.1设f(x)是奇函数，当x0时，f(x)log2x，则当x0时，f(x)()Alog2xBlog2(x)Clogx2Dlog2(x)答案D解析令x0，根据题意f(x)log2(x)，f(x)log2(x)，即f(x)log2(x)，故选D2若函数yf(x)的图象与函数ylg (x1)的图象关于直线xy0对称，则f(x)()A10x1B110xC110xD10x1答案A解析若
9、两函数图象关于直线yx对称，则两函数互为反函数，故ylg (x1)，则x110y，x10y1，即y10x1.故选A3函数f(x)lg 的奇偶性是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数答案A解析f(x)的定义域为R，f(x)lg lg (x)lg 1lg f(x)，f(x)为奇函数，选A4设函数f(x)log2x的反函数为yg(x)，且g(a)，则a_.答案2解析函数f(x)log2x的反函数为y2x，即g(x)2x.又g(a)，2a，a2.5已知2loga(x4)loga(x2)，求x的取值范围解由题意，得x4，原不等式可变为loga(x4)2loga(x2)当a1时，ylogax为定义域内的增函数，解得x6.当0a1时，ylogax为定义域内的减函数，解得4x1时，x的取值范围为(6，)；当0a1时，x的取值范围为(4,6)
