1、第四节归纳与类比考纲传真1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性；掌握演绎推理的基本模式，并能用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异1归纳推理(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性的推理方式(2)特点：是由部分到整体，由个别到一般的推理利用归纳推理得出的结论不一定是正确的2类比推理(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程(2)特点：是两类事物特征之间的推理利用类
2、比推理得出的结论不一定是正确的3合情推理(1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理4演绎推理(1)定义：是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理()(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较
3、为合适()(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()答案(1)(2)(3)(4)2由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是()A归纳推理B类比推理C演绎推理D以上都不是B类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)所以，由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大
4、”是类比推理3(教材改编)已知数列an中，a11，n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()Aan3n1Ban4n3Cann2Dan3n1Ca11，a24，a39，a416，猜想ann2.4“因为指数函数yax是增函数(大前提)，而y是指数函数(小前提)，所以函数y是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A大前提错误导致结论错误B小前提错误导致结论错误C推理形式错误导致结论错误D大前提和小前提错误导致结论错误A“指数函数yax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的5(2014全国卷)甲、乙、丙三位同学被问到是
5、否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_A由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.归纳推理(1)(2016武汉4月调研)数列，的第20项是()A.B.C.D.(2)(2016山东高考)观察下列等式：12；23；34；45；照此规律，_.(1)C(2)n(n1)(1)数列在数列中是第123m项，当m5时，即是数列中第15项，则第20项是，故选C.(2)通过观察已给出等式
6、的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为n(n1)，即n(n1)规律方法1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性2归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题
7、变式训练1(1)已知x(0，)，观察下列各式：x2，x3，x4，类比得xn1(nN*)，则a_.(2)下面图形由小正方形组成，请观察图641(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是_. 【导学号：57962303】图641(1)nn(nN*)(2)(nN*)(1)第一个式子是n1的情况，此时a111；第二个式子是n2的情况，此时a224；第三个式子是n3的情况，此时a3327，归纳可知ann.(2)由题图知第n个图形的小正方形个数为123n.所以总个数为(nN*)类比推理(1)(2016陕西师大附中模拟)若数列an是等差数列，则数列bn也是等差数列，类比这一性质可知
8、，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为()AdnBdnCdnDdn(2)(2016贵州六校联考)在平面几何中，ABC的C的平分线CE分AB所成线段的比为.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图642)，DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是_. 【导学号：57962304】图642(1)D(2)(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn.法二：若an是等差数列，则a1a2anna1d，bna1dna1，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则c1c2cncq12(n1)cq，dnc1q，即
9、dn为等比数列，故选D.(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得.规律方法1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键2类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方)数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等变式训练2给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：“若a，bR，则ab0ab”类比推出“a，cC，则ac0ac”；“若a，b，c，dR，则复数abicdiac，bd”类比推出“a，b，c，dQ，则abcdac，bd”；“
10、a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”；“若xR，则|x|11x1”类比推出“若zC，则|z|11z1.”其中类比结论正确的个数为()A1B2C3D4B类比结论正确的有.演绎推理数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an. 【导学号：57962305】证明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2分2，又10，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)5分(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14
11、an(n2)，(小前提)8分又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)12分规律方法演绎推理的一般模式为三段论，三段论推理的依据是：如果集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论变式训练3如图643所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，BFDA，且DEBA.求证：EDAF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来). 【导学号：579623
12、06】图643证明(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)BFD与A是同位角，且BFDA，(小前提)所以DFEA.(结论)5分(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DEBA且DFEA，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形(结论)8分(3)平行四边形的对边相等，(大前提)ED和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以EDAF.(结论)上面的证明可简略地写成：四边形AFDE是平行四边形EDAF.12分思想与方法1合情推理的过程概括为2演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行易错与防范1在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误2合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明3演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严谨性，书写格式的规范性
